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第1章 行列式 1

1.1二阶和三阶行列式 1

1.1.1二阶行列式 1

1.1.2三阶行列式 2

习题1.1 4

1.2排列 4

1.2.1排列及其逆序数 5

1.2.2对换 5

习题1.2 6

1.3n阶行列式 6

习题1.3 9

1.4行列式的性质 10

习题1.4 16

1.5行列式按行（列）展开 17

习题1.5 24

1.6克莱姆法则 25

习题1.6 29

本章小结 29

复习题一 31

第2章 几何空间 34

2.1预备知识 34

2.1.1共线（共面）的向量 34

2.1.2向量与向量的夹角 35

2.1.3向量的投影及其性质 35

2.1.4极坐标系 36

习题2.1 37

2.2向量的向量积、混合积 37

2.2.1向量积 37

2.2.2向量积的应用举例 39

2.2.3混合积 41

2.2.4双重向量积 42

习题2.2 44

2.3空间坐标系 44

2.3.1空间直角坐标系 44

2.3.2空间向量运算的坐标表示 46

2.3.3向量的长度、方向角和方向余弦 47

2.3.4空间解析几何中的几个常用公式 48

2.3.5柱面坐标系与球面坐标系 50

习题2.3 51

2.4平面和直线 52

2.4.1平面方程 52

2.4.2空间直线方程 54

2.4.3点、直线、平面间的位置关系 56

2.4.4点、直线、平面间的度量关系 60

习题2.4 63

2.5常见曲面 64

2.5.1曲面、空间曲线与方程 64

2.5.2球面 66

2.5.3柱面 67

2.5.4旋转曲面 68

2.5.5锥面 70

2.5.6二次曲面 72

2.5.7二次曲面的种类 75

习题2.5 76

2.6空间区域的简图 76

2.6.1空间曲线在坐标面上的投影 76

2.6.2空间区域的表示和简图的画法 77

2.6.3曲面或空间区域在坐标面上的投影 79

习题2.6 79

本章小结 80

复习题二 82

第3章 矩阵 84

3.1矩阵及其运算 84

3.1.1矩阵的概念 84

3.1.2几种特殊的矩阵 86

3.1.3矩阵的运算 87

3.1.4矩阵的行列式 94

3.1.5共轭矩阵 94

习题3.1 95

3.2矩阵的初等变换与初等矩阵 96

3.2.1初等变换 96

3.2.2初等矩阵 96

习题3.2 100

3.3可逆矩阵 100

3.3.1可逆矩阵的概念及性质 100

3.3.2可逆矩阵的判定及其求法 102

3.3.3用初等变换法求解矩阵方程 107

习题3.3 108

3.4矩阵的秩 109

习题3.4 112

3.5矩阵的分块 113

习题3.5 117

本章小结 118

复习题三 120

第4章线性方程组 122

4.1消元法 122

4.1.1线性方程组基本概念 122

4.1.2消元法解线性方程组 123

习题4.1 130

4.2n维向量空间 130

4.2.1 n维向量 130

4.2.2向量空间 131

习题4.2 132

4.3线性相关性 132

4.3.1线性组合 132

4.3.2向量组的线性相关性 134

习题4.3 138

4.4向量组的秩 139

4.4.1向量组的极大线性无关组 139

4.4.2向量组的秩 140

4.4.3向量组的秩与矩阵的秩的关系 140

4.4.4向量空间的基与维数 143

习题4.4 144

4.5线性方程组解的结构 144

4.5.1线性方程组有解的判定 144

4.5.2齐次线性方程组解的结构 146

4.5.3非齐次线性方程组解的结构 150

习题4.5 152

本章小结 153

复习题四 154

第5章 矩阵的特征值与特征向量 156

5.1 n维向量的内积 156

5.1.1内积 156

5.1.2标准正交基 158

5.1.3正交矩阵与正交变换 162

习题5.1 162

5.2矩阵的特征值与特征向量 163

习题5.2 168

5.3矩阵的相似对角化 168

5.3.1相似矩阵 168

5.3.2矩阵的相似对角化 169

5.3.3实对称矩阵的对角化 172

习题5.3 175

本章小结 176

复习题五 178

第6章 二次型 180

6.1二次型及其矩阵 180

习题6.1 182

6.2二次型的标准形 182

习题6.2 187

6.3二次型的规范形 187

6.3.1复二次型的规范形 187

6.3.2实二次型的规范形 188

习题6.3 190

6.4正定二次型 190

习题6.4 195

6.5二次曲面一般方程的讨论 196

习题6.5 199

本章小结 199

复习题六 201

第7章 一元多项式 203

7.1整数的整除性 203

7.1.1整除 203

7.1.2最大公因数 204

7.1.3因数分解唯一性定理 205

习题7.1 206

7.2数域 206

习题7.2 207

7.3一元多项式的定义及运算 207

习题7.3 209

7.4多项式的整除 209

7.4.1多项式整除定义及性质 209

7.4.2带余除法 210

7.4.3综合除法 212

习题7.4 213

7.5最大公因式 214

7.5.1最大公因式 214

7.5.2互素 216

习题7.5 217

7.6多项式的因式分解 218

7.6.1不可约多项式 218

7.6.2多项式的因式分解 218

7.6.3重因式 219

习题7.6 221

7.7多项式函数 多项式的根 222

习题7.7 223

7.8复数域与实数域上多项式的因式分解 224

习题7.8 225

7.9有理数域上的多项式 225

习题7.9 230

本章小结 231

复习题七 232

第8章线性空间 234

8.1集合的映射 234

8.1.1映射 234

8.1.2映射的合成 235

习题8.1 236

8.2线性空间的定义和性质 236

8.2.1线性空间的定义及例子 236

8.2.2线性空间的简单性质 237

8.2.3子空间 238

习题8.2 239

8.3基与坐标 239

8.3.1向量的线性相关性 239

8.3.2基与坐标 240

习题8.3 243

8.4基变换与坐标变换 243

8.4.1过渡矩阵 243

8.4.2坐标变换 245

习题8.4 247

8.5子空间的交与和 直和 247

8.5.1生成子空间 247

8.5.2子空间的交 248

8.5.3子空间的和 249

8.5.4维数公式 250

8.5.5子空间的直和 251

习题8.5 252

8.6线性空间的同构 252

习题8.6 255

本章小结 255

复习题八 257

第9章线性变换 259

9.1线性变换的定义及性质 259

9.1.1线性变换的定义 259

9.1.2线性变换的基本性质 260

习题9.1 261

9.2线性变换的运算 261

9.2.1线性变换的运算 261

9.2.2线性变换的多项式 263

习题9.2 264

9.3线性变换的矩阵 264

9.3.1线性变换的矩阵 264

9.3.2向量的像的坐标 268

9.3.3线性变换在不同基下的矩阵 269

习题9.3 271

9.4线性变换的特征值与特征向量 272

习题9.4 276

9.5线性变换的对角化 276

习题9.5 280

9.6线性变换的值域与核 280

习题9.6 282

9.7不变子空间 283

习题9.7 286

本章小结 287

复习题九 288

第10章 欧几里得空间 291

10.1基本概念 291

习题10.1 294

10.2标准正交基 294

10.2.1正交 294

10.2.2标准正交基 295

10.2.3正交补 299

10.2.4欧氏空间的同构 300

习题10.2 300

10.3正交变换 301

习题10.3 303

10.4对称变换 303

习题10.4 305

本章小结 305

复习题十 307

附录 数学归纳法 309

部分习题参考答案与提示 311

参考文献 330