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第1章 绪论 1

1.1 科学计算的基本概念 1

1.1.1 科学计算 1

1.1.2 科学计算过程 1

1.1.3 科学计算软件 4

1.1.4 科学计算方法的主要思想 4

1.2 科学计算与误差 8

1.2.1 误差的基本概念 8

1.2.2 误差的传播问题 11

习题一 16

第2章 非线性方程求根 19

2.1 引言 19

2.1.1 非线性方程的基本概念 19

2.1.2 解非线性方程的一般方法 20

2.2 二分法求根 22

2.2.1 二分法的算法 22

2.2.2 线性插值二分法 24

2.3 不动点迭代法及其收敛性 25

2.3.1 不动点迭代法 25

2.3.2 收敛性 27

2.3.3 收敛阶 28

2.3.4 迭代的加速 29

2.4 Newton迭代法及其变形 31

2.4.1 Newton迭代法 31

2.4.2 收敛性 33

2.4.3 弦截法 34

2.5 Newton迭代法用于代数方程的求根 36

2.5.1 综合除法与余数定理 36

2.5.2 在Excel中解代数方程 37

习题二 38

第3章 线性方程组的数值解 41

3.1 引言 41

3.1.1 线性方程组的分类 41

3.1.2 线性方程组的数值解法 42

3.2 直接法与三角形方程组求解 42

3.3 Gauss消去法 44

3.3.1 消元与回代计算 44

3.3.2 Gauss消去法的运算量 46

3.3.3 Gauss列主元素消去法 48

3.4 三角分解法 51

3.4.1 基本三角分解法 51

3.4.2 对称矩阵的三角分解法 58

3.4.3 追赶法 62

3.5 三角形矩阵求逆 64

3.5.1 上三角形矩阵求逆 65

3.5.2 下三角形矩阵求逆 66

3.6 解线性方程组的迭代法 68

3.6.1 简单迭代法 68

3.6.2 迭代的收敛性 72

3.6.3 超松弛迭代法 75

习题三 77

第4章 方阵的特征值 80

4.1 引言 81

4.1.1 方阵特征值的基本概念 81

4.1.2 方阵特征值的基本结论 81

4.2 求矩阵特征值的幂法 82

4.2.1 幂法 82

4.2.2 幂法的加速 85

4.2.3 幂法的降阶 91

4.3 反幂法 93

4.3.1 求最小模特征值及相应的特征向量 93

4.3.2 求任一特征值及相应特征向量 95

习题四 97

第5章 数据的插值与拟合 99

5.1 插值的基本概念 99

5.2 Lagrange插值 101

5.3 Newton插值 108

5.3.1 Newton插值公式 108

5.3.2 等距节点的Newton插值公式 112

5.4 Hermite插值 116

5.4.1 两点三次Hermite插值 117

5.4.2 分段两点三次Hermite插值 117

5.5 三次样条插值 121

5.5.1 三次样条插值函数 121

5.5.2 三次样条插值多项式 121

5.6 数据拟合的最小二乘法 128

5.6.1 数据拟合的基本概念 128

5.6.2 数据拟合 130

5.6.3 利用正交多项式作最小二乘拟合 138

习题五 141

第6章 数值积分与微分 144

6.1 引言 145

6.1. 1 构造数值求积公式的基本方法 145

6.1.2 求积公式的余项 145

6.1.3 求积公式的代数精度 145

6.2 Newton-Cotes公式 146

6.2.1 Newton-Cotes公式与Cotes系数 146

6.2.2 Newton-Cotes公式的稳定性 149

6.2.3 低阶Newton-Cotes公式的余项 149

6.3 复合求积法 150

6.3.1 复合求积公式 150

6.3.2 复合求积公式的余项及收敛的阶 152

6.3.3 步长的自动选择 152

6.4 Romberg算法 155

6.4.1 复合梯形公式的递推化 155

6.4.2 外推加速公式 157

6.5 Gauss求积法 160

6.5.1 Gauss型求积公式的基本概念 160

6.5.2 Gauss型求积公式 163

6.6 数值微分 170

6.6.1 插值型求导公式 170

6.6.2 样条求导公式 173

习题六 177

第7章 常微分方程数值解法 180

7.1 引言 180

7.1.1 基本概念 181

7.1.2 数值解法的构造途径 181

7.1.3 截断误差 183

7.2 Runge-Kutta法 185

7.2.1 Runge-Kutta法 185

7.2.2 经典Runge-Kutta求解公式 187

7.3 线性多步法 189

7.3.1 数值积分法构造线性多步法 189

7.3.2 Taylor展开法构造线性多步法 194

7.3.3 预测校正系统 198

7.4 常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法 204

7.4.1 一阶常微分方程组 204

7.4.2 高阶方程 208

7.5 常微分方程边值问题的数值解法 210

7.5.1 常微分方程边值问题 211

7.5.2 边值问题的差分法 211

7.5.3 边值问题的打靶法 214

习题七 218

附录1 Excel科学计算基础 220

一、Excel的公式与函数 220

二、使用Excel的矩阵、数组函数 223

三、使用Excel的逻辑函数 224

四、使用Excel的查找引用函数 226

五、使用Excel画函数图形 229

附录2 Excel科学计算中的常用函数 235