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第1章 误差 1

1.1误差的来源 1

1.1.1误差分析的重要性 1

1.1.2误差的来源 2

1.2误差 4

1.2.1绝对误差与相对误差 4

1.2.2有效数字与舍入误差 6

1.2.3条件数与病态问题 7

1.3数值计算中需要注意的问题 9

1.3.1避免两个相近的数相减 9

1.3.2防止大数“吃掉”小数 10

1.3.3注意简化计算步骤，减少运算次数 11

1.3.4避免误差的传播与积累 12

1.4科学计算与MATLAB程序 14

1.4.1二进制数与十进制数 14

1.4.2实数的浮点表示 16

1.4.3 MATLAB计算及产生的误差 19

习题1 22

数值实验1 23

第2章 非线性方程求根 25

2.1二分法 25

2.1.1基本概念与性质 25

2.1.2二分法的基本思想 28

2.1.3误差估计与收敛性分析 29

2.1.4算法 30

2.1.5算法的优缺点 30

2.2迭代法 31

2.2.1迭代法的基本思想 31

2.2.2迭代法的几何解释 32

2.2.3收敛定理 34

2.2.4误差估计 35

2.2.5算法 36

2.2.6局部收敛定理 37

2.2.7迭代收敛的阶 38

2.2.8迭代加速 40

2.3 Newton法 43

2.3.1算法介绍 43

2.3.2 Newton法的几何意义 44

2.3.3算法 44

2.3.4 Newton法的收敛速率 45

2.3.5重根情况 46

2.3.6 Newton下山法 48

2.4弦截法 49

2.5科学计算与MATLAB程序 52

2.5.1二分法 52

2.5.2迭代法 55

2.5.3 Newton法 58

2.5.4弦截法 59

2.5.5 fzero函数 60

2.5.6 roots函数 62

习题2 62

数值实验2 64

第3章 线性方程组的数值解法 67

3.1消去法 68

3.1.1顺序Gauss消去法 68

3.1.2列主元Gauss消去法 74

3.1.3 Gauss-Jordan消去法 77

3.2矩阵分解 83

3.2.1 LU分解 83

3.2.2 Cholesky分解 90

3.3向量范数与矩阵范数 96

3.3.1向量范数 96

3.3.2矩阵范数 99

3.4方程组的性态 103

3.4.1关于方程组解的精度 103

3.4.2矩阵的条件数 104

3.4.3方程组的性态 104

3.4.4病态方程组求解 108

3.5 科学计算与MATLAB程序 108

3.5.1求解线性方程组 108

3.5.2矩阵分解 112

3.5.3向量与矩阵范数、条件数 118

3.5.4病态方程组求解 119

习题3 123

数值实验3 126

第4章 解线性代数方程组的迭代法 129

4.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 129

4.1.1 Jacobi迭代法 129

4.1.2 Gauss-Seidel迭代法 132

4.1.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的进一步讨论 133

4.2迭代法的收敛性 135

4.2.1迭代收敛定理 135

4.2.2迭代收敛速度 139

4.2.3对角占优阵 141

4.3逐次超松弛迭代法 146

4.3.1逐次超松弛迭代法 146

4.3.2 SOR迭代法的收敛性 147

4.3.3逐次超松弛迭代中最优松弛因子的讨论 149

4.4科学计算与MATLAB程序 150

4.4.1有关的MATLAB函数 150

4.4.2 Jacobi迭代法 151

4.4.3 Gauss-Seidel迭代法 153

4.4.4逐次超松弛迭代法 154

4.4.5稀疏系数矩阵方程组的计算 155

4.5求解线性方程组的共轭梯度法 157

4.5.1共轭梯度法 157

4.5.2算法 158

4.5.3共轭梯度法的性质 159

4.5.4 MATLAB程序 159

习题4 160

数值实验4 162

第5章 非线性方程组数值解与最优化方法 165

5.1非线性方程组与最优化问题 165

5.1.1非线性方程组 165

5.1.2最优化问题 166

5.2求解非线性方程组的数值方法 167

5.2.1 Newton法 167

5.2.2拟Newton法 170

5.3最优化问题 172

5.3.1 Newton法 172

5.3.2拟Newton法 174

5.3.3非线性最小二乘问题 176

5.4科学计算与MATLAB程序 177

5.4.1求解非线性方程组 177

5.4.2求解无约束优化问题 179

5.4.3 MATLAB软件中的优化工具箱 183

习题5 187

数值实验5 188

第6章 插值方法 190

6.1 Lagrange插值 190

6.1.1 Lagrange插值多项式 190

6.1.2 Lagrange插值公式的计算 192

6.1.3插值余项 196

6.2 Newton插值 199

6.2.1均差 199

6.2.2 Newton基本插值公式 202

6.2.3差分 204

6.2.4等距节点的Newton插值公式 207

6.3 Hermite插值 210

6.3.1两点二次插值公式 210

6.3.2两点三次Hermite插值公式 213

6.3.3 Hermite插值公式 216

6.3.4 Newton形式的Hermite插值公式 217

6.4分段低次插值 219

6.4.1高次插值多项式的问题 219

6.4.2分段线性插值 220

6.4.3分段三次Hermite插值 222

6.5三次样条插值 224

6.5.1三次样条插值函数 224

6.5.2三次样条插值函数的求法 225

6.5.3三次样条插值的收敛性 235

6.6科学计算与MATLAB程序 237

6.6.1自编程序 237

6.6.2有关插值运算的MATLAB函数 241

6.6.3高维插值函数 245

习题6 250

数值实验6 253

第7章 数据拟合与函数逼近 255

7.1数据拟合及最小二乘原理 255

7.1.1最小二乘原理与线性拟合 255

7.1.2多项式拟合 257

7.1.3可化为线性拟合 259

7.2用正交多项式作最小二乘拟合 262

7.2.1基本概念 262

7.2.2一般形式的最小二乘拟合 263

7.2.3正交多项式拟合 264

7.3多变量的数据拟合 267

7.3.1多变量的数据拟合 267

7.3.2不相容方程组求解 269

7.4连续函数的最佳平方逼近 271

7.4.1最佳平方逼近的概念及计算 272

7.4.2正交多项式 274

7.4.3用正交函数作最佳平方逼近 278

7.5三角多项式与快速Fourier变换 280

7.5.1最佳平方逼近 280

7.5.2离散Fourier变换 283

7.5.3快速Fourier变换 285

7.5.4用Fourier变换构造三角插值多项式 287

7.6科学计算与MATLAB程序 289

7.6.1最小二乘拟合多项式 289

7.6.2数据拟合的MATLAB实现 291

7.6.3非线性数据拟合的MATLAB实现 293

7.6.4快速Fourier变换 295

习题7 297

数值实验7 299

第8章 数值积分和数值微分 302

8.1 Newton-Cotes求积公式 302

8.1.1数值求积公式的构造及其代数精确度 302

8.1.2梯形求积公式 304

8.1.3 Simpson求积公式 306

8.1.4 Cotes求积公式 308

8.1.5 Newton-Cotes求积公式 309

8.1.6数值计算的稳定性问题 311

8.2复化求积公式 312

8.2.1复化梯形公式 312

8.2.2复化Simpson公式 314

8.2.3复化Cotes公式 315

8.3 Romberg求积法 318

8.3.1变步长的梯形公式 318

8.3.2 Romberg求积公式 319

8.3.3 Romberg求积法 320

8.3.4 Richardson外推加速法 323

8.4 Gauss求积公式 325

8.4.1 Gauss点 326

8.4.2 Gauss-Legendre公式 327

8.4.3 Gauss-Legendre公式的使用 329

8.4.4 Gauss型求积公式的余项及稳定性 330

8.4.5 Lobatto求积公式 331

8.5数值微分 332

8.5.1数值微分的两点公式 333

8.5.2数值微分的三点公式 333

8.5.3步长h的选取 334

8.5.4用样条函数求导数 335

8.6科学计算与MATLAB程序 335

8.6.1求积公式编程 335

8.6.2数值积分的MATALB实现 341

8.6.3反常积分的数值方法 344

8.6.4数值微分 347

习题8 351

数值实验8 353

第9章 常微分方程的数值解 355

9.1 Euler方法 355

9.1.1 Euler方法 355

9.1.2梯形公式和改进Euler方法 360

9.2 Runge-Kutta方法 363

9.2.1 Runge-Kutta方法的基本思想 363

9.2.2二阶Runge-Kutta法 364

9.2.3四阶Runge-Kutta法 366

9.2.4变步长的Runge-Kutta法 368

9.3单步法的收敛性和稳定性 368

9.3.1单步法的收敛性 368

9.3.2单步法的稳定性 371

9.3.3稳定性的意义 374

9.4线性多步法 375

9.4.1线性多步法的一般公式 375

9.4.2 Adams外推公式 377

9.4.3 Adams内插公式 379

9.4.4预报-校正公式 380

9.5常微分方程组和高阶微分方程的数值方法 381

9.5.1常微分方程组 381

9.5.2高阶方程 382

9.5.3刚性方程组 383

9.6科学计算与MATLAB程序 384

9.6.1自编程序 384

9.6.2算法的稳定性 387

9.6.3初值问题计算的MATLAB实现 388

习题9 392

数值实验9 394

第10章 矩阵特征值与特征向量的计算 397

10.1幂法和反幂法 397

10.1.1幂法 397

10.1.2加速方法 401

10.1.3反幂法 402

10.2 Jacobi方法 405

10.2.1 Jacobi方法的基本思想 405

10.2.2 Jacobi方法 406

10.2.3算法的收敛性质 407

10.2.4有关公式的计算与简化 408

10.2.5 Jacobi过关法 411

10.3 QR方法 412

10.3.1 QR方法 412

10.3.2 Householder矩阵 413

10.3.3上Hessenberg阵 414

10.3.4矩阵的QR分解 416

10.4科学计算与MATLAB程序 418

10.4.1自编程序 418

10.4.2求矩阵特征值的MATLAB实现 422

习题10 424

数值实验10 425

答案 426

参考文献 445