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目录 1

第一篇 微积分研究的主要对象与工具——函数、极限与连续 1

基本内容一览表 1

一、基本概念 2

1．映射与函数 2

2．数列极限 3

3．函数极限 5

4．函数连续性 9

二、基本计算 10

1．极限计算 10

题型一 利用极限表达函数并讨论其性质 19

三、综合题与证明题举例 19

2．函数间断点求法及类型的判别 19

题型二 利用无穷小比较求极限或确定极限式中的参数 20

题型三 利用连续函数的性质证明命题 22

四、应用 23

综合测试题一 24

第二篇 一元函数微分学 26

基本内容一览表 26

一、基本概念 27

1．导数与微分 27

2．中值定理 28

3．极值、极值点与驻点关系 30

1．导数与微分计算 31

二、基本计算 31

2．单调区间、极值，凹凸区间和拐点，最大最小值的求法 34

3．利用洛必达法则求极限 36

4．曲率计算 39

三、综合题、证明题举例 40

1．中值等式、不等式证明 40

2．函数性态研究 43

3．方程根的讨论 43

四、应用 45

1．变化率与相关变化率 45

2．最大值最小值应用题举例 47

3．经济上的应用 48

综合测试题二 49

第三篇 一元函数积分学 51

基本内容一览表 51

一、基本概念 52

1．不定积分 52

2．定积分 53

3．微积分基本定理 55

4．广义积分 56

二、基本计算 57

1．求不定积分 57

2．定积分计算 64

3．用定义计算广义积分或判定其敛散性 67

1．变上限积分求导数以及与此有关的极限问题 68

三、综合题与证明题举例 68

2．求变上限积分有关的极值或最值 69

3．利用换元法或分部积分法证明积分等式 69

4．证明包含积分的不等式 71

四、应用 73

1．元素法 73

2．元素法在几何中的应用 74

3．元素法在物理中的应用 77

综合测试题三 79

基本内容一览表 81

第四篇 常微分方程 81

一、基本概念 82

1．微分方程与解 82

2．微分方程的类型 82

3．线性微分方程解的结构 82

二、基本计算 83

1．解一阶微分方程的基本方法 83

2．高阶微分方程 85

三、综合题与证明题举例 86

1．一题含多类方程的题型 86

3．凑微分题型 87

4．变量代换题型 87

2．一题多解题型 87

5．积分方程题型 88

四、应用 88

1．微分方程的几何应用 88

2．微分方程的物理应用 89

综合测试题四 90

第五篇 多元函数微分学 92

第一部分 向量代数与空间解析几何 92

基本内容一览表 92

一、基本概念 92

1．向量的概念及运算 92

2．空间曲面与空间曲线的方程 94

3．平面与直线 96

二、基本计算 98

1．向量代数的基本运算 98

2．各种条件下平面方程的求法 99

3．各种条件下直线方程的求法 100

三、综合题与证明题举例 101

1．平面、直线综合题举例 101

2．空间立体及其在坐标面上的投影 102

综合测试题五（一） 103

第二部分 多元函数微分学及其应用 106

基本内容一览表 106

一、基本概念 106

1．函数、极限与连续 106

2．偏导数与全微分 108

3．方向导数与梯度 110

4．极值 111

二、基本计算 112

1．简单显函数的微分法 112

2．复合函数微分法 113

3．隐函数微分法 115

4．极值的计算 117

三、综合题与证明题举例 118

1．多元复合函数、隐函数求偏导综合题型 118

2．全微分与微分方程、变限积分综合题型 120

1．微分法在几何上的应用 121

四、应用 121

2．求最大值最小值的应用题 123

综合测试题五（二） 125

第六篇 多元函数的积分学 127

第一部分 多元实值函数积分 127

基本内容一览表 127

一、基本概念 127

1．二重积分 127

2．三重积分 129

3．第一类曲线积分 130

二、基本计算 131

1．二重积分的计算 131

4．第一类曲面积分 131

2．三重积分计算 134

3．第一类曲线积分的计算 137

4．第一类曲面积分的计算 138

三、综合与证明题举例 139

1．多元实值函数的各类积分计算 139

2．二重积分的证明 142

四、应用 142

1．几何应用 142

2．物理应用 144

综合测试题六（一） 145

一、基本概念 148

1．第二类曲线积分 148

基本内容一览表 148

第二部分 多元向量值函数的积分 148

2．第二类曲面积分 151

二、基本计算 153

1．第二类曲线积分的计算 153

2．原函数求法和全微分方程解法 156

3．第二类曲面积分的计算 158

三、综合题与证明题举例 162

1．利用曲线积分计算二重积分和平面图形的面积 162

2．曲线积分与常微分方程综合题型 163

3．曲面积分与多元函数微分学综合题型 163

5．曲线积分与最大最小值综合题型 164

4．曲面积分与旋转曲面、旋转体的综合题型 164

四、应用 165

第二类曲线积分和曲面积分的应用 165

综合测试题六（二） 167

第七篇 无穷级数 169

基本内容一览表 169

一、基本概念 170

1．常数项级数 170

2．正项级数 170

3．交错级数 171

4．任意项级数 172

5．函数项级数与幂级数 174

6．傅里叶级数 176

二、基本计算 177

1．级数收敛性判别方法 177

2．幂级数收敛半径、收敛域、和函数的求法 180

3．函数的幂级数展开 182

4．傅里叶级数展开式 184

三、综合证明 186

1．级数收敛性综合题 186

2．级数收敛半径、收敛域、和函数举例 187

四、应用 188

1．函数值的近似计算 188

综合测试题七 189

2．级数在积分计算中的应用 189

第八篇 习题选解 191

选解一 微积分研究的主要对象与工具 191

选解二 一元函数的微分学 194

选解三 一元函数的积分学 197

选解四 常微分方程 200

选解五 多元函数的微分学 202

选解六 多元函数的积分学 205

选解七 无穷级数 209

选解八 教材Ⅱ题目选解 214

微积分A第一学期期中考试模拟试卷 216

附录一 216

微积分A第一学期期末考试模拟试卷 218

微积分A第一学期期末考试全真试卷 220

微积分B第一学期期中考试模拟试卷 222

微积分B第一学期期末考试模拟试卷 224

微积分B第一学期期末考试全真试卷 226

附录二 228

微积分A第二学期期中考试模拟试卷 228

微积分A第二学期期末考试模拟试卷 230

微积分A第二学期期末考试全真试卷 232

微积分B第二学期期中考试模拟试卷 234

微积分B第二学期期末考试模拟试卷 236

微积分B第二学期期末考试全真试卷 238