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第一章 行列式 1

第一节 问题的提出 1

一 二元线性方程组 1

二 三元线性方程组 2

第二节 全排列及其逆序数 4

一 全排列 4

二 逆序数与顺序数 4

三 对换 6

第三节 行列式的定义 7

第四节 行列式的性质 12

第五节 行列式的展开 19

一 k阶子式及其余子式和代数余子式 19

二 行列式的展开 20

第六节 解线性方程组的根本法则——克拉默法则 29

小结 34

习题一 35

第二章 矩阵 40

第一节 矩阵的概念 40

一 引例 40

二 矩阵的概念 41

第二节 矩阵的运算 43

一 矩阵的线性运算 43

二 矩阵与矩阵相乘 44

三 矩阵的转置 49

四 方阵的行列式 49

五 方阵的迹 53

第三节 几种特殊的矩阵 54

一 共轭矩阵 54

二 对称矩阵 54

三 反对称矩阵 55

四 对角形矩阵 56

第四节 逆矩阵 58

一 逆矩阵的概念 58

二 矩阵可逆的充要条件 59

三 运算律 62

四 用逆矩阵的结构式证明克拉默法则 63

第五节 矩阵的分块 64

一 分块矩阵的概念 64

二 分块矩阵的运算 65

三 分块对角矩阵的运算 70

小结 71

习题二 73

第三章 向量组的线性相关性 78

第一节 线性相关与线性无关 78

一 引例 78

二 n维向量 79

三 线性相关性 81

第二节 向量组线性相关性的判定定理 84

一 向量组的等价关系 92

第三节 向量组的等价关系与极大线性无关组 92

二 极大线性无关组 94

第四节 向量组的秩与矩阵的秩 98

一 向量组的秩 98

二 矩阵的秩 101

第五节 矩阵的初等变换 104

一 矩阵的初等变换 104

二 初等矩阵 105

三 矩阵的等价 106

四 用初等变换求逆矩阵 117

一 向量空间 118

第六节 向量空间 118

二 向量空间的基和维数 120

第七节 欧几里得向量空间 124

一 引言 124

二 概念 124

三 正交向量组 125

四 正交规范基 127

五 正交矩阵 131

小结 136

习题三 139

第一节 线性方程组有解的充要条件 143

第四章 线性方程组 143

第二节 齐次线性方程组 147

一 齐次线性方程组的解的结构 147

二 解齐次线性方程组 151

第三节 非齐次线性方程组 154

一 非齐次线性方程组的解的结构 154

二 解非齐次线性方程组 155

小结 159

习题四 161

一 n次代数方程 164

预备知识：n次代数方程概述 164

第五章 相似矩阵及二次型 164

二 综合除法 167

三 剩余定理 169

四 根的定理 171

五 根与系数的关系 172

第一节 方阵的特征值与特征向量 177

一 方阵的特征值与特征向量 177

二 特征值与特征向量的性质 182

一 相似矩阵 186

第二节 矩阵的相似对角形 186

二 矩阵与对角形矩阵相似的条件 188

第三节 实对称矩阵的对角化 191

一 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 191

二 主轴定理 193

第四节 二次型及其标准形 196

一 问题的提出 196

二 二次型的矩阵表示 197

三 二次型的标准化 198

第五节 二次型的分类及其规范形 207

一 惯性定理 207

二 二次型的分类 208

三 二次型的规范形 210

第六节 用初等变换求实对称矩阵的合同矩阵与其变换矩阵 211

小结 216

习题五 217

第六章 线性方程组的数值解法 219

第一节 主元素消去法 219

一 消去法 219

二 主元素消去法 222

一 简单迭代法 225

第二节 迭代法 225

二 逐个迭代法 230

小结 231

习题六 231

第七章 投入产出数学模型 233

第一节 引言 233

一 投入产出方法 233

二 历史背景 234

三 在经济工作中的应用 235

四 投入产出模型的种类 236

二 投入产出模型 237

第二节 投入产出模型 237

一 引列 237

三 投入产出平衡关系式 238

四 直接消耗系数 240

第三节 平衡方程组的解法 242

一 消耗平衡方程组的解法 242

二 分配平衡方程组的解法 242

一 概念 246

二 求完全消耗系数矩阵 246

第四节 完全消耗系数 246

三 评述 246

三 对某个部门最终产品量的变动的讨论 249

小结 251

习题七 251

第八章 线性空间与线性变换 253

第一节 线性空间的概念与性质 253

一 线性空间的概念 253

二 线性空间的性质 256

第二节 线性空间的维数、基与坐标 257

一 线性空间的维数、基与坐标 257

三 线性子空间 258

二 线性空间的同构 258

四 基变换与坐标变换 259

第三节 线性变换的概念、性质与运算 262

一 两个线性空间之间的线性变换 262

二 同一个线性空间中的线性变换 262

第四节 线性变换的矩阵表示 268

小结 273

习题八 274

习题答案 277

拐点理论的延拓 288

附录 高等数学拾遗 288

柯西中值定理的一个证明 292

底指、指幂、幂底函数的求导方法及底对数函数 294

分部积分法分部的诀窍——分割求导选u法 297

一 个命题的推广 300

二 元函数全微分的几何解释的矢量证明 301

定积分与曲线积分的关系 302

一轴与三轴相传动时的坐标计算 302

实数的几何模型及运算律 303

行列式与矩阵的运动 307