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第一章 预备知识 1

第一节 集合与映射 1

1.1集合基本概念 1

1.2集合的运算 4

1.3映射 7

1.4集合的对等 10

习题 15

第二节 实数集的紧性理论 16

2.1集合的确界概念 16

2.2确界公理 18

2.3实数集的列紧性 19

2.4实数集的完备性 23

2.5有限覆盖定理 25

习题 26

第三节 连续函数集C0［α,b］的基本性质 26

3.1函数的一致连续性 26

3.2函数列的一致收敛性 28

习题 30

1.1代数运算 32

第一节 群与子群 32

第二章 代数基本概念简介 32

1.2群与半群 33

1.3群的例子 33

1.4交换群 37

1.5群的简单性质 37

1.6子群 39

1.7群的同构 41

习题 44

2.1环 45

第二节 环与域 45

2.2环的简单性质 47

2.3域 48

2.4子环 50

2.5环的同构 51

习题 52

第三章 Lebesque测度与积分 55

第一节 Lebesque测度 55

1.1Lebesque外测度 55

1.2Lebesque内测度 61

1.3Lebesque测度 63

1.4零测集 65

习题 65

第二节 Lebesque—可测函数 65

2.1可测函数 66

2.2可测函数的性质 69

习题 73

第三节 Lebesque积分 73

3.1Lebesque积分的定义 74

3.2Lebesque积分的性质 78

3.3无界函数的Lebesque积分 80

习题 82

第四章 距离空间 84

第一节 距离空间基本概念 84

1.1距离空间 84

1.2某些赋距离空间举例 86

1.3极限概念 90

1.4连续映射 94

1.5保距映射，保距同构 95

习题 95

2.1线性空间 96

第二节 赋范线性空间 96

2.2赋范线性空间 98

2.3依范数收敛 101

习题 103

第三节 距离空间中的点集 104

3.1内点、开集 104

3.2聚点（极限点） 105

3.3点集间距离 106

3.4开映射 106

3.5稠密集 108

3.6可析集 111

习题 111

第四节 完备性 112

4.1Cauchy基本列 112

4.2Banach空间 113

习题 117

第五节 Lp—空间 118

5.1H？lder不等式 118

5.2Minkowski不等式 120

5.3Lp空间 121

5.4Lp—空间 122

第六节 不动点定理及应用 123

6.1不动点定理 123

6.2由二元函数表示的隐函数存在定理 125

6.3行和判据法 126

6.4非线生微分方程解的存在性 127

习题 128

第一节 拓扑空间基本概念 130

1.1拓扑空间 130

第五章 点集拓扑学初步 130

1.2邻域 132

1.3闭集 135

习题 136

第二节 连续映射和同胚 137

2.1连续映射 137

2.2同胚 139

2.3拓扑空间中的序列 140

习题 141

1.1内积空间 143

第一节 基本概念 143

第六章 Hilbert空间 143

1.2平行四边形公式 145

1.3Hilbert空间 150

习题 150

第二节 正交化 151

2.1正交与正交集 151

2.2Bessel不等式 154

2.3Parseval等式 155

2.5几个正交规范基的例子 157

2.4正交化 157

习题 158

第三节 Hilbert空间中的最佳逼近 160

3.1投影定理 160

3.2最小二乘法 164

习题 166

第七章 线性算子与线性泛函 168

第一节 线性算子基本概念 168

1.1线性算子 168

1.2有界线性算子 172

1.3有界线性算子空间 175

1.4赋范线性空间的共轭空间 183

1.5弱收敛与弱*收敛 186

习题 189

第二节 Riesz定理 190

习题 193

第三节 闭图像定理 194

习题 201

第四节 共鸣定理 202

习题 204

第五节 赋范空间中线性算子的谱论初步 205

5.1特征值问题 206

5.2算子的谱 206

5.3Hilbert空间中自共轭紧算子的谱 208

习题 214

第八章 非线性分析基本概念 215

第一节 非线性映像的微分 215

1.1Frechet导算子 215

1.2Gateaux微分 219

1.3Frechet导数的连锁规则 219

习题 220

第二节 抽象函数的积分 221

2.1抽象函数的Riemann积分 221

2.2抽象函数Riemann积分的性质 223

2.3NewtonLeibiniz公式 225

习题 226

第三节 隐函数存在定理 226

3.1偏导算子 227

3.2隐函数存在定理 227

3.3反函数存在定理 229

习题 230

第四节 变分方法 231

4.1泛函的局部极小问题 231

4.2Palaissmale条件及变分原理 232

第五节 Sobolev空间 239

5.1L∞[α,b] 239

5.2Cm[α,b]空间 240

5.3Cm,z[α,b]空间 240

5.4Wm,p[α,b]空间 241

参考文献 243