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第六章 不定积分 1

第一节 不定积分的概念与性质 1

一、原函数与不定积分的概念 1

二、不定积分的性质与基本积分表 4

三、直接积分法 5

习题6-1 7

第二节 换元积分法 8

一、第一类换元法 8

二、第二类换元法 15

习题6-2 20

第三节 分部积分法 21

习题6-3 26

第四节 有理函数的积分 27

习题6-4 31

第五节 可化为有理函数的积分举例 32

一、三角函数有理式的积分举例 32

二、简单无理式的积分举例 33

习题6-5 35

总习题六 35

历年考研题六 36

第七章 定积分 37

第一节 定积分的概念与性质 37

一、引出定积分概念的典型问题 37

二、定积分定义 39

三、定积分的近似计算 42

四、定积分的性质 44

习题7-1 46

第二节 微积分基本公式 48

一、变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系 48

二、积分上限函数及其导数 49

三、牛顿-莱布尼茨公式 52

习题7-2 54

第三节 定积分的换元法和分部积分法 55

一、定积分的换元法 55

二、定积分的分部积分法 61

习题7-3 64

第四节 反常积分 64

一、无穷区间上的反常积分 65

二、无界函数的反常积分 67

三、反常积分的审敛法 70

习题7-4 72

总习题七 72

历年考研题七 74

第八章 定积分的应用 77

第一节 元素法 77

第二节 定积分在几何上的应用 78

一、平面图形的面积 78

二、两种特殊立体的体积 83

三、平面曲线的弧长 87

习题8-2 90

第三节 定积分在物理学上的应用 91

一、变力做功问题 91

二、水压力 93

三、引力 93

习题8-3 95

总习题八 95

历年考研题八 96

第九章 重积分 98

第一节 二重积分的概念与性质 98

一、二重积分的概念 98

二、二重积分的性质 102

习题9-1 104

第二节 二重积分的计算 105

一、利用直角坐标系计算二重积分 105

二、利用极坐标计算二重积分 110

三、二重积分的换元法 114

习题9-2 117

第三节 三重积分 120

一、三重积分的概念 120

二、三重积分的计算 121

习题9-3 128

第四节 重积分的应用 130

一、曲面的面积 130

二、质心 134

三、转动惯量 136

四、引力 138

习题9-4 139

总习题九 140

历年考研题九 143

第十章 曲线积分与曲面积分 146

第一节 对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分 146

一、对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分的概念与性质 146

二、对弧长的曲线积分的计算方法 148

三、对面积的曲面积分的计算方法 150

习题10-1 153

第二节 对坐标的曲线积分 154

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 154

二、对坐标的曲线积分的计算方法 158

三、两类曲线积分之间的联系 162

习题10-2 163

第三节 对坐标的曲面积分 164

一、预备知识 164

二、引例——流向曲面一侧的流量 165

三、对坐标的曲面积分的概念及性质 167

四、对坐标的曲面积分的计算方法 169

五、两类曲面积分之间的联系 172

习题10-3 174

第四节 多元函数积分间联系的三大公式 175

一、格林公式及其应用 175

二、高斯公式 184

三、斯托克斯公式 187

习题10-4 189

第五节 场论初步 192

一、场的概念 192

二、向量场的散度与旋度 193

习题10-5 196

总习题十 197

历年考研题十 199

第十一章 无穷级数 202

第一节 常数项级数的概念和性质 202

一、常数项级数的概念 202

二、级数的基本性质 205

三、级数收敛的必要条件 207

习题11-1 208

第二节 正项级数的审敛法 208

一、正项级数概念和基本审敛法则 209

二、比较审敛法 209

三、比值审敛法 212

四、根值审敛法 214

习题11-2 214

第三节 一般项级数的审敛法 215

一、交错级数审敛法 215

二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 217

三、绝对收敛级数的性质 218

习题11-3 219

第四节 幂级数 219

一、函数项级数的概念 219

二、幂级数及其收敛性 220

三、幂级数的运算 224

四、幂级数的性质 225

习题11-4 226

第五节 函数的幂级数展开 227

一、泰勒（Taylor）级数 227

二、函数的幂级数展开式 229

习题11-5 234

第六节 傅里叶级数 235

一、三角级数和三角函数系 235

二、以2π为周期的函数的傅里叶级数 236

三、以2l为周期的函数的傅里叶级数 241

四、正弦级数和余弦级数 243

习题11-6 245

总习题十一 246

历年考研题十一 247

第十二章 微分方程初步 251

第一节 微分方程及其相关概念 251

习题12-1 255

第二节 可分离变量方程 256

习题12-2 258

第三节 齐次方程 258

一、齐次方程 258

二、可化为齐次的方程 260

习题12-3 263

第四节 一阶线性微分方程 264

一、线性方程 264

二、伯努利方程 266

习题12-4 269

第五节 全微分方程 270

习题12-5 274

第六节 可降阶的高阶微分方程 274

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 275

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程 275

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程 277

习题12-6 279

第七节 线性微分方程解的结构 280

一、二阶齐次线性微分方程解的结构 280

二、二阶非齐次线性微分方程解的结构 281

三、二阶非齐次线性微分方程通解的求法 282

习题12-7 284

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 285

习题12-8 291

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 292

习题12-9 298

第十节 欧拉方程 299

习题12-10 301

总习题十二 301

历年考研题十二 302

部分习题答案与提示 304