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第1章 预备知识 1

1.1 复数及其运算 1

1.1.1 复数及其共轭 1

1.1.2 复数的运算 1

1.2 复变函数的导数和积分 2

1.2.1 复变函数 2

1.2.2 复变函数的微商（导数） 3

1.2.3 复变函数的积分 4

1.2.4 平面标量场 9

1.3 级数 10

1.3.1 复数项级数 10

1.3.2 泰勒级数 11

1.3.3 洛朗级数 12

1.4 留数定理及其应用 13

1.4.1 奇点的类型 13

1.4.2 留数定理 14

1.4.3 留数定理在实变函数定积分计算中的应用 16

1.5 傅里叶级数与积分 19

1.5.1 傅里叶级数 20

1.5.2 复数形式的傅里叶级数 21

1.5.3 实数傅里叶级数与复数傅里叶级数的比较 22

1.5.4 傅里叶积分 22

1.6 傅里叶变换 24

1.7 拉普拉斯变换 27

习题1 32

第2章 定解问题 34

2.1 定解问题的提法 34

2.2 数学物理方程的导出与归类 34

2.2.1 波动方程 34

2.2.2 运输方程 42

2.2.3 稳定分布问题 45

2.2.4 其他常见的数学物理方程 46

2.3 定解条件 47

2.3.1 初始条件 47

2.3.2 边界条件 47

2.4 定解问题的适定性 49

2.5 线性偏微分方程与叠加原理 49

2.6 δ函数 50

2.6.1 δ函数的定义及其性质 50

2.6.2 δ函数的导数及其性质 52

2.6.3 δ函数在定解问题中的应用 53

2.7 二阶线性偏微分方程的分类 54

2.7.1 方程的分类 54

2.7.2 方程的标准形式 55

习题2 59

第3章 分离变量法 61

3.1 齐次方程齐次边界条件的定解问题 61

3.1.1 问题的提出 61

3.1.2 解的物理意义 64

3.2 分离变量法应用实例 67

3.3 非齐次波动方程和输运方程的解法 73

3.4 非齐次边界条件的处理 78

3.5 具有非齐次边界条件的定解问题 82

3.6 泊松方程的特解法 88

3.6.1 泊松方程任意特解的构造 88

3.6.2 泊松方程的解 89

3.7 施图姆-刘维尔本征值问题 92

3.7.1 施图姆-刘维尔方程 92

3.7.2 施图姆-刘维尔本征值问题 93

3.7.3 施图姆-刘维尔本征值问题的普遍性质 93

3.7.4 施图姆-刘维尔本征值问题与厄米算符本征值问题的关系 97

习题3 100

第4章 行波法与积分变换法 102

4.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 102

4.2 三维无界空间中的波动方程 106

4.3 积分变换法 113

4.3.1 傅里叶变换的应用 113

4.3.2 拉普拉斯变换的应用 116

习题4 120

第5章 格林函数法 122

5.1 拉普拉斯方程两种常见的定解问题 122

5.1.1 内问题 122

5.1.2 外问题 123

5.2 调和函数的基本性质 124

5.3 格林函数 128

习题5 133

第6章 贝塞尔函数 134

6.1 贝塞尔方程的导出 134

6.2 贝塞尔方程的解 136

6.3 n为整数时贝塞尔方程的通解 139

6.4 贝塞尔函数的递推公式 140

6.5 将函数展为贝塞尔函数的级数 144

6.5.1 贝塞尔函数的零点 144

6.5.2 贝塞尔函数的正交性 145

6.5.3 广义傅里叶级数 147

6.6 虚宗量贝塞尔函数与开尔文函数 151

习题6 153

第7章 勒让德多项式 155

7.1 勒让德方程的导出 155

7.2 勒让德方程的解 157

7.2.1 勒让德方程的解 157

7.2.2 勒让德多项式 159

7.3 勒让德多项式的性质 162

7.3.1 勒让德多项式的几条基本性质 162

7.3.2 勒让德多项式的正交性 162

7.3.3 勒让德多项式的母函数（或生成函数） 164

7.3.4 勒让德多项式的递推公式 166

7.4 勒让德多项式的应用 168

7.5 连带勒让德方程的解 171

7.5.1 连带勒让德函数 171

7.5.2 球函数 175

习题7 177

第8章 求解线性偏微分方程近似方法简介 179

8.1 变分法 179

8.1.1 泛函 179

8.1.2 变分问题 179

8.1.3 变分法的类型及例子 180

8.1.4 带有附加条件的变分问题 184

8.2 差分法 185

8.2.1 将微分方程化为差分方程 185

8.2.2 差分方程的求解方法 187

习题8 194

第9章 非线性微分方程 195

9.1 特殊高次一阶微分方程的解法 195

9.2 非线性数学物理方程 199

9.2.1 非线性常微分方程 199

9.2.2 非线性偏微分方程 202

9.2.3 函数方程 204

9.3 某些非线性微分方程的求解方法 205

9.4 椭圆方程及其雅可比椭圆函数解 210

9.4.1 第一类椭圆方程 210

9.4.2 第二类椭圆方程 216

9.4.3 第三类椭圆方程 219

9.4.4 第四类椭圆方程 220

9.5 二阶非线性微分方程及其解法 222

9.6 非线性微分方程的物理分析 226

9.7 非线性微分方程的行波法 236

习题9 238

习题参考答案 240

参考书目 251

附录 252

附录A 矢量微分算符？的相关公式 252

附录B Γ函数 254

附录C 椭圆积分与椭圆函数 256

附录D 拉普拉斯变换简表 258