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第1章 绪论 1

1.1数值计算方法的任务与基本方法 1

1.2误差及有关概念 2

1.2.1误差的来源及分类 2

1.2.2误差的描述 3

1.3数值计算中的误差传播 6

1.3.1基本运算中的误差估计 6

1.3.2算法的数值稳定性 7

1.4设计算法应注意的问题 9

1.4.1避免两个相近的数相减 9

1.4.2绝对值太小的数不宜作除数 10

1.4.3避免大数“吃”小数的现象 10

1.4.4简化计算步骤，提高计算效率 11

本章小结 11

习题 12

第2章 线性方程组的直接解法 13

2.1引言 13

2.2 Gauss消去法及计算量 14

2.2.1 Gauss消去法 14

2.2.2 Gauss消去法的计算量 17

2.3 Gauss主元素消去法 17

2.3.1列主元素法 18

2.3.2全主元素法 19

2.4矩阵三角分解及其在解方程组中的应用 20

2.4.1 Gauss消去过程的矩阵表示 20

2.4.2矩阵的三角分解 22

2.4.3线性方程组的直接三角分解法 25

2.4.4解三对角方程组的追赶法 26

2.5平方根法与改进的平方根法 29

2.5.1平方根法（Cholesky分解法） 30

2.5.2改进的平方根法 31

2.6矩阵、向量和连续函数的范数 33

2.6.1范数的一般概念 33

2.6.2连续函数范数 36

2.6.3向量范数 36

2.6.4矩阵范数 38

2.7线性方程组的误差分析 43

2.7.1线性方程组的性态与条件数 43

2.7.2线性方程组解的误差估计 46

2.8应用实例 47

本章小结 51

习题 51

第3章 解线性方程组的迭代法 54

3.1迭代法的基本概念 54

3.1.1迭代法的一般形式 54

3.1.2向量序列与矩阵序列的收敛性 55

3.2几种常用的单步定常线性迭代法 56

3.2.1 Jacobi迭代法 56

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法 59

3.2.3超松弛（SOR）迭代法 60

3.3迭代法的收敛条件及误差分析 62

3.3.1迭代法的一般收敛条件 62

3.3.2几类特殊类型的迭代法收敛性判别 64

3.3.3简单迭代法的误差估计 69

3.4最速下降法与共轭梯度法 70

3.4.1最速下降法 70

3.4.2共轭梯度法 71

3.5应用实例 73

本章小结 75

习题 75

第4章 矩阵的特征值和特征向量计算 78

4.1幂法和反幂法 78

4.1.1幂法 78

4.1.2幂法的收敛加速 82

4.1.3反幂法 86

4.2 Jacobi方法 87

4.3 QR方法 93

4.3.1基本QR方法 93

4.3.2 Householder变换 95

4.3.3化一般矩阵为拟三角阵 96

4.3.4拟上三角矩阵的QR分解 97

4.3.5带原点移位的QR方法——QR加速收敛方法 100

4.4广义特征值问题的计算方法 100

4.5应用实例 101

本章小结 103

习题 103

第5章 插值法 105

5.1多项式插值问题的一般描述 106

5.1.1多项式插值问题 106

5.1.2插值多项式的误差估计 106

5.2几种常用插值多项式求法 107

5.2.1 Lagrange插值公式 107

5.2.2 Newton插值公式 109

5.2.3 Hermite插值 117

5.3分段低次插值 120

5.3.1分段线性插值 121

5.3.2分段三次Hermite插值 123

5.3.3三次样条 126

5.4应用实例 131

本章小结 136

习题 137

第6章 曲线拟合 139

6.1数据拟合的最小二乘法 139

6.1.1多项式拟合 140

6.1.2可化为多项式拟合类型 141

6.1.3线性最小二乘法的一般形式 143

6.2正交多项式 147

6.2.1正交多项式基本概念与性质 147

6.2.2正交多项式一般方法 148

6.3函数的最佳平方逼近 151

6.4应用实例 156

本章小结 159

习题 159

第7章 数值微分与数值积分 161

7.1 Newton-Cotes求积公式 161

7.1.1数值积分的基本思想 161

7.1.2 Newton-Cotes求积公式 162

7.1.3求积公式的误差估计 165

7.2复合求积公式 168

7.2.1复合梯形公式 168

7.2.2复合Simpson公式 169

7.2.3复合Cotes公式 170

7.2.4复合求积公式的逐次分半算法 173

7.3 Romberg求积公式 175

7.3.1 Richardson外推法 175

7.3.2 Romberg求积公式 176

7.4 Gauss型求积公式 178

7.4.1 Gauss型求积公式的一般提法 178

7.4.2 Gauss点与正交多项式的关系 180

7.4.3 Gauss型求积公式的稳定性和收敛性 182

7.4.4常用Gauss型求积公式 183

7.4.5 Gauss型求积公式余项 187

7.5数值微分 188

7.5.1插值型求导公式 188

7.5.2外推法 190

7.5.3用三次样条函数求数值导数 191

7.6应用实例 191

本章小结 193

习题 194

第8章 非线性方程和方程组的数值解法 197

8.1引言 197

8.1.1问题的背景 197

8.1.2一元方程的搜索法 197

8.1.3二分法 198

8.2一元方程的基本迭代法 200

8.2.1基本迭代法及其收敛性 200

8.2.2局部收敛性和收敛阶 203

8.2.3收敛性的改善——Steffensen迭代法 206

8.3一元方程Newton迭代法 207

8.3.1 Newton迭代法及其收敛性 207

8.3.2重根时的Newton迭代改善 210

8.3.3离散Newton法 211

8.4非线性方程组的解法 212

8.4.1不动点的迭代法 212

8.4.2 Newton迭代法 216

8.4.3最速下降法 219

8.5应用实例 220

本章小结 221

习题 221

第9章 常微分方程数值解法 223

9.1 Euler方法与改进的Euler方法 224

9.1.1 Euler方法 224

9.1.2 Euler方法的误差估计 226

9.1.3改进的Euler方法 227

9.2 Runge-Kutta法 229

9.3单步法的稳定性 233

9.3.1相容性与收敛性 233

9.3.2稳定性 235

9.4线性多步法 237

9.4.1线性多步公式的导出 237

9.4.2常用的线性多步公式 238

9.4.3预测-校正系统 241

9.5一阶微分方程组与高阶方程的数值解法 245

9.5.1一阶微分方程组的数值解法 245

9.5.2高阶微分方程的数值解法 246

9.5.3差分方程解常微分方程边界问题 247

9.6应用实例 248

本章小结 251

习题 252

第10章 瞬时扩散方程的差分解法简介 255

10.1引言 255

10.2差分格式建立 256

10.2.1显式格式 256

10.2.2隐式格式 256

10.2.3 Crank-Nicolson格式 257

10.3局部截断误差与收敛性 259

10.3.1局部截断误差 259

10.3.2差分格式的收敛性 260

10.4应用实例 263

习题 266

参考文献 267

附录Matlab软件简介 268