应用数学与数学文化 第1分册PDF电子书下载

第一模块 一元函数微分学及其应用 2

第1章变量之间依存关系的数学模型——函数·数学模型方法概述 2

第1章学习提要 2

第1章概述 2

学习目标 3

1.1函数概念 3

1.1.1变量数学的产生 3

1.1.2变量之间依存关系的数学模型——函数 4

1.1.3基本初等函数 7

【能力训练1.1】 8

【数学文化聚焦】笛卡儿 9

1.2由已知函数产生的新函数——初等函数 9

1.2.1平移和伸缩 9

1.2.2函数的四则运算 10

1.2.3反函数 10

1.2.4函数的复合运算 11

1.2.5初等函数 13

【能力训练1.2】 13

【数学文化聚焦】解数学题——过程的比较 14

1.3数学模型方法概述 14

1.3.1分段函数 14

1.3.2构建函数模型的步骤和方法 16

【能力训练1.3】 18

【数学文化聚焦】数学模型与求解实际问题的描述 18

1.4拓展与提高 19

1.4.1邻域 19

1.4.2函数的解析式表示 19

1.4.3逆向思维的实例——反三角函数 20

1.4.4空间直角坐标系和二元函数 21

【能力训练1.4】 24

【数学文化聚焦】地震震级与对数 24

第1章学法建议 25

【数学文化聚焦】无处不在的数学技术——从CT扫描到飞行控制 25

【综合能力训练一】 26

第1章能力训练参考答案 28

第2章 变量无限变化的数学模型——极限·连续 30

第2章学习提要 30

第2章概述 30

学习目标 31

2.1极限思想概述 31

2.1.1微积分理论的创立 31

2.1.2中国古代极限思想 31

2.1.3芝诺悖论 32

【能力训练2.1】 34

【数学文化聚焦】芝诺悖论对数学发展的意义 34

2.2变量无限变化的数学模型——函数极限 35

2.2.1数列极限和等比级数 35

2.2.2 x→∞时函数f（x）的极限 38

2.2.3 x→x0时函数f（x）的极限 40

【能力训练2.2】 42

【数学文化聚焦】等比级数和的几何证明法 43

2.3无穷小与无穷大 44

2.3.1无穷小 44

2.3.2无穷大 46

2.3.3无穷大与无穷小的关系 46

【能力训练2.3】 47

【数学文化聚焦】祖冲之与圆周率 48

2.4求极限的方法——四则运算法则和两个重要极限公式 49

2.4.1求极限的基本方法 49

2.4.2两个重要极限公式 51

【能力训练2.4 】 55

【数学文化聚焦】Koch雪花曲线与分形几何学 56

2.5变量连续变化的数学模型——连续函数 57

2.5.1函数连续的概念 57

2.5.2函数的连续性 58

【能力训练2.5】 60

【数学文化聚焦】奥运会成绩的极限 60

2.6拓展与提高 61

2.6.1再谈函数极限 61

2.6.2函数的连续性 64

2.6.3无穷小的比较 65

【能力训练2.6】 68

【数学文化聚焦】数学对萤火虫同步闪光的解释 68

第2章学法建议 69

【数学文化聚焦】大学数学重在介绍思想 70

【综合能力训练二】 71

第2章能力训练参考答案 72

第3章 函数变化率和增量的估值描述——导数·微分 74

第3章学习提要 74

第3章概述 75

学习目标 75

3.1函数的局部变化率——导数 75

3.1.1关于导数的实例 75

3.1.2函数y=f（x）在点x0处的导数——导数值 77

3.1.3曲线在已知点的切线斜率——导数的几何意义 78

3.1.4函数y=f（x）在区间（a，b）内的导数——导函数 78

【能力训练3.1】 79

【数学文化聚焦】贝克莱悖论与第二次数学危机 80

3.2求导数的方法——求导基本公式和运算法则 81

3.2.1导数的基本公式 81

3.2.2导数的四则运算法则 82

【能力训练3.2】 84

【数学文化聚焦】导数显示表——汽车的车速表 84

3.3求导数的方法——复合函数和隐函数的导数 85

3.3.1复合函数的导数法则 85

3.3.2隐函数求导法 88

3.3.3二阶导数 90

【能力训练3.3】 91

【数学文化聚焦】百米赛跑数学模型 92

3.4微分及其计算 93

3.4.1微分的定义 93

3.4.2微分的计算 94

【能力训练3.4】 96

【数学文化聚焦】简单优美而深刻的欧拉公式 96

3.5提高与拓展 97

3.5.1再谈导数 97

3.5.2反函数的导数 99

3.5.3隐函数求导的另一种方法 100

3.5.4取对数求导法 102

3.5.5 n阶导数 102

3.5.6微分的应用 103

【能力训练3.5】 106

【数学文化聚焦】4×100米接力赛的困惑 107

第3章学法建议 108

【数学文化聚焦】陈希孺院士赠言学好数学重在多做习题 109

【综合能力训练三】 110

第3章综合能力训练参考答案 111

第4章 导数的应用问题——最值问题·函数的形态·曲率 113

第4章学习提要 113

第4章概述 113

学习目标 114

4.1工程中的最值问题 114

4.1.1最值问题的经典案例——输油管道的铺设 114

4.1.2最大值和最小值——函数的整体性质 115

4.1.3极大值和极小值——函数的局部性质 115

4.1.4如何求工程问题的最值 115

4.1.5油井问题的最优解 117

4.1.6其他例子 117

【能力训练4.1】 120

【数学文化聚焦】费马 120

4.2函数的形态描述——单调性与极值、凹向性与拐点 121

4.2.1函数的单调性与极值 121

4.2.2曲线的凹凸性与拐点 123

【能力训练4.2】 126

【数学文化聚焦】数学——严密的、系统的理论体系 126

4.3曲线弯曲程度的描述——曲率 127

4.3.1曲率 127

4.3.2曲率半径 130

【能力训练4.3】 131

【数学文化聚焦】数学工具 131

4.4计算未定式极限的一般方法——洛必达法则 132

【能力训练4.4】 134

【数学文化聚焦】数学对其他学科和高科技的影响 134

4.5提高与拓展 135

4.5.1闭区间上连续函数的最值问题 135

4.5.2再谈函数的极值 137

4.5.3再谈曲线的凹凸性 140

4.5.4函数图形的综合认识 143

【能力训练4.5】 146

【数学文化聚焦】蜂窝猜想 146

第4章学法建议 147

【数学文化聚焦】能诗善文的华罗庚 148

【综合能力训练四】 149

第4章能力训练参考答案 151

第二模块 一元函数积分学及其应用 154

第5章 微分的逆运算问题——不定积分 154

第5章学习提要 154

第5章概述 154

学习目标 155

5.1不定积分及其性质 155

5.1.1积分学的创立 155

5.1.2逆向思维又一例——原函数与不定积分的概念 155

5.1.3不定积分的基本性质与几何意义 158

5.1.4基本积分公式与运算性质 159

5.1.5求不定积分的基本方法 160

【能力训练5.1】 161

【数学文化聚焦】莱布尼茨 162

5.2凑微分法 163

【能力训练5.2】 167

【数学文化聚焦】微积分学在中国的最早传播人——李善兰 168

5.3分部积分法 168

5.3.1分部积分公式 168

5.3.2如何正确使用分部积分公式 169

【能力训练5.3】 171

【数学文化聚焦】数学解题策略：转化 171

5.4提高与拓展 172

5.4.1第二换元法 172

5.4.2分部积分法的其他例子 174

【能力训练5.4】 175

【数学文化聚焦】李大潜院士谈学数学的目的 175

第5章学法建议 176

【数学文化聚焦】数学大师丘成桐的数学强国梦 177

【综合能力训练五】 178

第5章能力训练题参考答案 178

第6章 求总量的问题——定积分及其应用 181

第6章学习提要 181

第6章概述 181

学习目标 182

6.1定积分的概念 182

6.1.1定积分的起源 182

6.1.2定积分的定义 183

6.1.3定积分的几何意义 183

6.1.4定积分的性质 184

6.1.5如何求定积分∫baf（x） dx的值 185

【能力训练6.1】 186

【数学文化聚焦】牛顿 187

6.2计算定积分的一般方法——换元法和分部积分法 188

6.2.1定积分的换元法 188

6.2.2定积分的分部积分法 191

【能力训练6.2】 192

【数学文化聚焦】微积分符号史漫谈 192

6.3定积分概念的拓展——无穷区间上的反常积分 194

【能力训练6.3】 196

【数学文化聚焦】谁先创立微积分？ 197

6.4定积分的魅力展现——定积分的应用 197

6.4.1定积分的微元法 197

6.4.2平面图形的面积 198

6.4.3旋转体的体积 199

6.4.4平面曲线的弧长 201

6.4.5变力做功 201

6.4.6液体对侧面的压力 202

6.4.7其他实例 202

【能力训练6.4】 204

【数学文化聚焦】定积分——存储和积累过程 205

6.5拓展与提高 206

6.5.1再谈定积分的概念 206

6.5.2再续定积分的应用 208

【能力训练6.5】 210

【数学文化聚焦】近代数学巨匠——希尔伯特 210

第6章学法建议 211

【数学文化聚焦】哲学角度认识极限法 212

【综合能力训练六】 213

第6章能力训练题参考答案 214

第7章 含变化率的方程问题——常微分方程 216

第7章学习提要 216

第7章概述 216

学习目标 217

7.1微分方程的初步认识——基本概念 217

7.1.1微分方程的定义 217

7.1.2微分方程的解与通解 218

7.1.3初始条件与特解 218

【能力训练7.1】 219

【数学文化聚焦】生物学中的数学 220

7.2一阶微分方程 220

7.2.1可分离变量的微分方程 221

7.2.2一阶线性微分方程 223

【能力训练7.2】 225

【数学文化聚焦】材料科学中的数学 225

7.3用微分方程解决实际问题的方法 226

【能力训练7.3】 229

【数学文化聚焦】微积分发展与应用编年史（1615—1883年） 230

7.4拓展与提高 231

7.4.1二阶常系数齐次线性微分方程 232

7.4.2二阶常系数非齐次线性微分方程 233

【能力训练7.4】 237

【数学文化聚焦】欧拉——我们大家的老师 237

第7章学法建议 238

【数学文化聚焦】数学技术的巨大作用 239

【综合能力训练七】 240

第7章能力训练参考答案 241

附录一用MATLAB数学软件来认识应用数学（一） 243

一、MATLAB简介 243

实验一MATLAB操作入门 243

实验二 变量与函数 246

二、函数的MATLAB计算与作图 248

实验三 利用MATLAB进行基本数学运算 248

实验四 利用MATLAB绘制平面曲线的图形 249

三、利用MATLAB计算一元函数微积分问题 251

实验五 求解函数极限 251

实验六 求解函数导数 253

实验七 导数的应用 255

实验八 求解函数积分 258

附录二 希腊字母及其发音、意义 261

附录三 初等数学常用公式 262