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序言 1

第1章 二阶线性椭圆型方程的古典解 1

1.1 全空间上的Laplace方程 1

1.1.1 基本解 1

1.1.2 Poisson方程 2

1.2 全空间上常系数二阶线性椭圆型方程的求解公式 5

1.3 Green公式与位势 7

1.4 调和函数的基本积分公式及一些基本性质 9

1.4.1 Neumann边值问题有解的必要条件 9

1.4.2 调和函数的平均值公式 10

1.4.3 调和函数的极值原理及位势方程的Dirichlet边值问题解的唯一性 10

1.4.4 位势方程的Neumann边值问题解的“唯一性” 11

1.5 Green函数 12

1.5.1 Green函数的概念 12

1.5.2 Green函数的性质 13

1.6 两种特殊区域上的Green函数及Dirichlet边值问题的可解性 16

1.6.1 球上的Green函数，Poisson公式 16

1.6.2 上半空间的Green函数，Poisson公式 18

1.7 调和函数的进一步性质—Poisson公式的应用 19

1.8 一般形式的二阶线性椭圆型方程 26

1.8.1 古典解的极值原理 27

1.8.2 古典解的最大模估计和解的唯一性 31

1.8.3 弱解的极值原理 36

1.9 能量方法 37

1.9.1 能量估计与解的唯一性 37

1.9.2 Dirichlet原理 38

习题一 40

第2章 二阶线性抛物型方程的古典解 43

2.1 Fourier变换及其应用 43

2.2 基本解方法与初值问题 47

2.2.1 基本解 47

2.2.2 初值问题 48

2.2.3 Cole-Hopf变换 52

2.3 热方程的平均值公式 53

2.4 初边值问题的极值原理 54

2.4.1 方程式的经典结论 55

2.4.2 抛物型方程组的极值原理 63

2.4.3 非经典边界条件的情形 67

2.4.4 带有非局部项的情形 68

2.5 初边值问题解的最大模估计与解的唯一性 73

2.6 初值问题的极值原理与解的唯一性 76

2.7 初边值问题的能量模估计与解的唯一性 78

2.8 初边值问题的基本解，热位势与Green函数 80

2.8.1 基本解与热位势 80

2.8.2 Green函数 84

习题二 85

第3章 二阶线性双曲型方程的古典解 89

3.1 初值问题的求解 89

3.1.1 一维齐次方程的初值问题，D′Alembert公式 89

3.1.2 球面平均法 90

3.1.3 非齐次方程，推迟势 96

3.1.4 Radon变换方法 98

3.2 初值问题的能量不等式，解的适定性 100

3.3 混合问题的能量模估计与解的适定性 104

3.3.1 能量守恒与解的唯一性 104

3.3.2 能量模估计与解的稳定性 106

习题三 108

第4章 一阶偏微分方程 111

4.1 一阶线性偏微分方程 111

4.2 输运方程 113

4.2.1 齐次方程的初值问题 113

4.2.2 非齐次方程的初值问题 113

4.3 一阶线性双曲型方程组 114

4.4 一阶拟线性偏微分方程 116

4.4.1 特征曲线与积分曲面 116

4.4.2 初值问题 118

习题四 119

第5章 二阶线性椭圆型方程的弱解 120

5.1 弱解的存在性 120

5.1.1 弱解的定义 120

5.1.2 变分方法 121

5.1.3 Lax-Milgram定理和弱解的第一存在定理 123

5.1.4 Fredholm二择一定理和弱解的第二、第三存在定理 125

5.2 解的正则性 130

5.2.1 差商和Wpl（Ω）空间 130

5.2.2 内部正则性 132

5.2.3 整体正则性 135

5.3 De Giorgi迭代和Moser迭代 139

5.3.1 弱解的极值原理 139

5.3.2 弱解的局部性质 142

5.3.3 Harnack不等式 147

5.3.4 内部H★lder连续性 152

5.4 Schauder理论和Lp理论的主要结果 155

5.4.1 Schauder估计 155

5.4.2 Lp估计 156

5.4.3 解的存在性和估计 157

5.5 一个应用 158

习题五 159

第6章 二阶线性抛物型方程的弱解 162

6.1 引言 162

6.2 能量不等式与弱解的唯一性 164

6.3 弱解的存在性 167

6.4 常系数方程弱解的W22，1（QT）正则性 173

6.5 Schauder理论和Lp理论的主要结果 177

6.5.1 Schauder估计和Lp估计 177

6.5.2 解的存在性 178

6.5.3 应用—非线性方程解的存在性 180

6.6 二阶线性抛物型方程的初值问题 182

习题六 183

第7章 二阶线性双曲型方程的弱解 185

7.1 弱解的定义 185

7.2 弱解的存在性和唯一性 186

7.2.1 Galerkin逼近 186

7.2.2 能量估计 187

7.2.3 弱解的存在性和唯一性 189

7.3 弱解的正则性 192

习题七 196

参考文献 197