考研数学三常考题型解题方法技巧归纳 第2版PDF电子书下载

第1篇 微积分 2

1.1函数 2

1.1.1求几类函数的表达式 2

题型1.1.1.1已知函数，求其反函数的表达式 2

题型1.1.1.2求与复合函数有关的函数表达式 2

1.1.2奇、偶函数的判别及其性质的应用 4

题型1.1.2.1判别经四则运算后的函数的奇偶性 4

题型1.1.2.2判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性 4

题型1.1.2.3判别复合函数的奇偶性 5

题型1.1.2.4判别原函数F（x）=∫x0f（t）dt的奇偶性 5

题型1.1.2.5判别函数（akx±1）/（akx？1）的奇偶性（a＞0，a≠1，k≠0） 5

题型1.1.2.6奇、偶函数的几个性质的应用 5

1.1.3函数有界性的判定 6

题型1.1.3.1判定在有限开区间内连续函数的有界性 6

题型1.1.3.2判定在无穷区间内连续函数的有界性 7

题型1.1.3.3判定分段连续函数的有界性 7

1.1.4讨论函数的周期性 8

习题1.1 9

1.2极限、连续 11

1.2.1极限的概念与基本性质 11

题型1.2.1.1正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X’”语言的含义 11

题型1.2.1.2正确区别无穷大量与无界变量 11

题型1.2.1.3正确运用极限的保序性、保号性 12

题型1.2.1.4运用极限的四则运算法则或夹逼准则判别极限的存在性 13

1.2.2求未定式极限 14

题型1.2.2.1求0/0或∞/∞型极限 14

题型1.2.2.2求0·∞型极限 16

题型1.2.2.3求∞-∞型极限 16

题型1.2.2.4求幂指函数型（00型，∞0型，1∞型）极限 17

1.2.3求数列极限 19

题型1.2.3.1求无穷多项和的极限 19

题型1.2.3.2求由递推关系式给出的数列极限 22

1.2.4求几类子函数形式特殊的函数极限 22

题型1.2.4.1求需先考察左、右极限的函数极限 22

题型1.2.4.2求含1/x的函数极限 24

题型1.2.4.3求含根式差的函数极限 25

题型1.2.4.4求含指数函数差的函数极限 25

题型1.2.4.5求含幂指函数的函数极限 26

题型1.2.4.6求含lnf（x）的函数极限，其中lim fx→□（x）=1 26

题型1.2.4.7求含有界变量为因子的函数极限 26

题型1.2.4.8求含参变量x的函数极限lim？n→∞（x，n） 27

1.2.5已知含未知函数的极限求与该函数有关的极限 28

1.2.6求极限式中的待定常数 29

题型1.2.6.1求有理函数极限式中的待定常数 29

题型1.2.6.2确定分式函数极限式中的待定常数 30

题型1.2.6.3求∞±∞型的根式极限式中的待定常数 31

题型1.2.6.4求含变项积分的极限式中的待定常数 32

1.2.7比较和确定无穷小量的阶 32

题型1.2.7.1比较无穷小量的阶 33

题型1.2.7.2确定无穷小量为几阶无穷小量 34

题型1.2.7.3利用无穷小量阶的比较求待定常数 35

1.2.8讨论函数的连续性及间断点的类型 35

题型1.2.8.1判别初等函数的连续性 36

题型1.2.8.2讨论分段函数的连续性 37

题型1.2.8.3讨论含参变量的极限式所定义的函数的连续性 37

题型1.2.8.4判别函数间断点的类型 37

1.2.9连续函数性质的两点应用 39

题型1.2.9.1利用连续函数性质证明中值等式命题 39

题型1.2.9.2证明方程实根的存在性 40

1.2.10极限在经济活动分析中的应用 41

题型1.2.10.1计算连续复利 41

题型1.2.10.2求解贴现问题 41

习题1.2 43

1.3一元函数微分学 47

1.3.1导数定义的三点应用 47

题型1.3.1.1讨论函数在某点的可导性 47

题型1.3.1.2利用导数定义求某些函数的极限 50

题型1.3.1.3利用导数定义求函数表达式 51

1.3.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性 52

题型1.3.2.1讨论分段函数的可导性 52

题型1.3.2.2讨论分段函数的导函数的连续性 52

题型1.3.2.3讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性 53

1.3.3讨论含绝对值的函数的可导性 54

题型1.3.3.1讨论绝对值函数|f（x）|的可导性 54

题型1.3.3.2讨论f（x）=|？（x）|g（x）的可导性 54

1.3.4求一元函数的导数和微分 55

题型1.3.4.1求复合函数的一阶导数与二阶导数 55

题型1.3.4.2求反函数的导数 56

题型1.3.4.3求由一个方程所确定的隐函数的导数 57

题型1.3.4.4求分段函数的一阶、二阶导数 58

题型1.3.4.5求带绝对值的函数的导数 58

题型1.3.4.6求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数 58

题型1.3.4.7求由参数方程所确定的函数的导数 59

题型1.3.4.8求某些简单函数的高阶导数 60

题型1.3.4.9求一元函数的微分 62

1.3.5利用函数的连续性、可导性确定其待定常数 63

题型1.3.5.1利用函数的连续性确定其待定常数 63

题型1.3.5.2根据函数的可导性确定待定常数 64

1.3.6利用微分中值定理的条件及其结论解题 65

1.3.7利用罗尔定理证明中值等式 66

题型1.3.7.1证明存在ξ∈（a，b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数 66

题型1.3.7.2证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）g′（ξ）+f′（ξ）g（ξ）=0 67

题型1.3.7.3证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0 （g（ξ）≠0） 68

题型1.3.7.4证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）f（ξ）=0 68

题型1.3.7.5证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）[f（ξ）-bξ]=b 69

题型1.3.7.6已知函数在端点和在别处的取值情况，证明有关的中值等式 69

题型1.3.7.7证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）+ξf′（ξ）=0（n为正整数） 70

题型1.3.7.8利用定积分等式或变限定积分证明中值等式 70

题型1.3.7.9证明存在ξ∈（a，b），使F（k）（ξ）=0（k≥2） 72

1.3.8拉格朗日中值定理的几点应用 72

题型1.3.8.1证明与函数差值有关的中值命题 73

题型1.3.8.2证明函数与其导数的关系 74

题型1.3.8.3证明含或可化为函数差值的不等式 75

题型1.3.8.4求中值的（极限）位置 76

1.3.9利用柯西定理证明中值等式 77

题型1.3.9.1证明两函数差值之比的中值等式 77

题型1.3.9.2证明两函数导数之比的中值等式 77

1.3.10证明多个中值所满足的中值等式 78

1.3.11利用导数讨论函数性态 80

题型1.3.11.1证明函数在区间I上是一个常数 80

题型1.3.11.2证明（判别）函数的单调性 80

题型1.3.11.3利用极限式讨论函数是否取得极值 82

题型1.3.11.4利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 83

题型1.3.11.5利用导数（值）的不等式，讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 83

题型1.3.11.6求函数的单调区间、极值、最值 84

题型1.3.11.7求曲线凹凸区间与拐点 85

题型1.3.11.8求曲线的渐近线 88

题型1.3.11.9利用函数性态作函数图形 89

题型1.3.11.10已知函数的图形，确定其函数或其导函数性质 90

题型1.3.11.11利用导函数的图形，确定原来函数的性态 91

1.3.12利用函数性态，讨论方程的根 91

题型1.3.12.1讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数 91

题型1.3.12.2讨论含参数的方程实根的个数及其所在区间 92

1.3.13利用导数证明不等式 93

题型1.3.13.1已知F（a）≥0（或F（b）≥0），证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞0 93

题型1.3.13.2证明含常数加项的不等式 94

题型1.3.13.3利用函数导数值的大小比较函数值的大小 95

题型1.3.13.4证明含两个变量（常数）的函数（数值）不等式 96

1.3.14一元函数微分学的几何应用 97

题型1.3.14.1求平面曲线的切线方程和法线方程 97

题型1.3.14.2求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 98

题型1.3.14.3求解与两曲线相切的有关问题 99

1.3.15导数在经济活动分析中的应用 99

题型1.3.15.1计算弹性 100

题型1.3.15.2计算边际函数 101

题型1.3.15.3求解与边际和弹性有关的应用题 101

题型1.3.15.4求解经济应用中一元函数的最值问题 103

习题1.3 104

1.4一元函数积分学 108

1.4.1原函数的判定及其求法 108

题型1.4.1.1函数存在原函数的条件 108

题型1.4.1.2原函数的判定 108

题型1.4.1.3求分段函数的原函数 109

题型1.4.1.4利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数的有关问题 110

题型1.4.1.5已知函数的原函数，求该函数或与该函数有关的不定积分 111

1.4.2计算不定积分 111

题型1.4.2.1计算∫f（x）g（x）dx 111

题型1.4.2.2计算简单无理函数的不定积分 112

题型1.4.2.3求∫1/（ax+b）kf[1/（ax+b）k-1]dx，其中k≠1为正实数 114

题型1.4.2.4求∫f（x）/g（x）dx 114

题型1.4.2.5求被积函数的分母为相差常数的两函数乘积的积分 116

题型1.4.2.6求被积函数含反三角函数为因子函数的积分 116

1.4.3利用定积分性质计算定积分 117

题型1.4.3.1利用其几何意义计算定积分 117

题型1.4.3.2计算对称区间上的定积分 118

题型1.4.3.3计算周期函数的定积分 118

题型1.4.3.4利用定积分的常用计算公式求其值 119

题型1.4.3.5计算被积函数含函数导数的积分 120

题型1.4.3.6比较和估计定积分的大小 121

题型1.4.3.7求解含积分值为常数的函数方程 121

题型1.4.3.8计算几类需要分子区间积分的定积分 122

题型1.4.3.9计算含参数的定积分 123

题型1.4.3.10求需换元计算的定积分 124

题型1.4.3.11求连续函数的定积分的极限 125

1.4.4求解与变限积分有关的问题 126

题型1.4.4.1求含变限积分的未定式极限 126

题型1.4.4.2求变限积分的导数 127

题型1.4.4.3求变限积分的定积分 129

题型1.4.4.4计算分段函数的变限积分 129

题型1.4.4.5讨论变限积分函数的性态 130

1.4.5证明定积分等式 131

题型1.4.5.1证明定积分的变换公式 131

题型1.4.5.2证明定积分中值等式 133

1.4.6定积分不等式的常用证法 133

1.4.7计算反常积分 136

题型1.4.7.1计算无穷区间上的反常积分 137

题型1.4.7.2判别∫+∞adx/xp与∫+∞adx/x（lnx）p（a＞0）的敛散性 139

题型1.4.7.3计算无界函数的反常积分 139

题型1.4.7.4判别∫badx/（b-x）p与∫badx/（x-a）p的敛散性 141

题型1.4.7.5判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值 141

1.4.8定积分的应用 142

题型1.4.8.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积 142

题型1.4.8.2求旋转体体积 143

题型1.4.8.3求解几何应用与最值问题相结合的应用题 145

题型1.4.8.4已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线 146

题型1.4.8.5求函数在区间上的平均值 147

题型1.4.8.6由变化率求原经济函数或其变化值 147

题型1.4.8.7由边际函数求（最优）总函数 148

习题1.4 148

1.5多元函数微积分学 152

1.5.1二（多）元函数微分学中的几个概念 152

题型1.5.1.1判别二元函数的极限、连续、可偏导及可微之间的相互关系 153

题型1.5.1.2用定义判别二元函数在某点是否可微 154

1.5.2计算偏导数与全微分 155

题型1.5.2.1计算显函数的偏导数 155

题型1.5.2.2求带抽象函数记号的复合函数偏导数 155

题型1.5.2.3计算由一个方程确定的隐函数的（偏）导数 158

题型1.5.2.4求由方程组确定的隐函数的（偏）导数 159

题型1.5.2.5变换含一阶、二阶偏导数的表达式 160

题型1.5.2.6求二元函数的全微分 161

1.5.3多元函数微分学的应用 162

题型1.5.3.1求二元函数的极值和最值 162

题型1.5.3.2求二（多）元函数的条件极值 163

1.5.4用直角坐标系计算二重积分 165

题型1.5.4.1根据积分区域选择积分次序计算二重积分 165

题型1.5.4.2根据被积函数选择积分次序计算二重积分 166

题型1.5.4.3证明二次积分等于单积分 167

题型1.5.4.4利用对称性简化计算二重积分 168

题型1.5.4.5分块计算二重积分 170

题型1.5.4.6计算无界区域上较简单的二重积分 171

1.5.5用极坐标系计算二重积分 173

题型1.5.5.1计算圆域x2+y2≤a（a＞0）上的二重积分 173

题型1.5.5.2计算圆域x2+y2≤2ax（a＞0）上的二重积分 174

题型1.5.5.3计算圆域x2+y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分 174

题型1.5.5.4计算圆域x2+y2≤2by（b＞0）上的二重积分 175

题型1.5.5.5计算圆域x2+y2≤-2by（b＞0）上的二重积分 175

题型1.5.5.6计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重积分 176

1.5.6交换二次积分次序与转换二次积分 177

题型1.5.6.1交换二（累）次积分的积分次序 177

题型1.5.6.2转换二次积分 178

1.5.7求含二重积分的极限 179

习题1.5 179

1.6无穷级数 182

1.6.1判别常数项级数的敛散性 182

题型1.6.1.1判别正项级数的敛散性 182

题型1.6.1.2判别交错级数的敛散性 186

题型1.6.1.3判别任意项级数的敛散性 187

1.6.2求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 192

1.6.3求级数的和函数 194

题型1.6.3.1求∞∑n=1P（n）xn的和函数，其中P（n）为n的多项式 194

题型1.6.3.2求∞∑n=01/Q（n）xn的和函数，其中Q（n）为n的多项式 195

题型1.6.3.3求其系数分母为连乘积的幂级数的和函数 197

题型1.6.3.4求数项级数的和 198

1.6.4初等函数展为幂级数与简单幂级数求和 199

题型1.6.4.1初等函数f（x）展为幂级数 199

题型1.6.4.2求函数f（x）的n阶导数f（n）（x0） 202

习题1.6 202

1.7常微分方程与差分方程 205

1.7.1求解一阶线性微分方程 205

题型1.7.1.1求解变量可分离的微分方程 205

题型1.7.1.2求解齐次微分方程 205

题型1.7.1.3求解一阶线性微分方程 206

题型1.7.1.4求解以x为因变量，y为自变量的一阶微分方程 208

题型1.7.1.5求以分段函数为非齐次项或系数的一阶微分方程的连续解 208

题型1.7.1.6求解可化为一阶微分方程的函数方程 209

1.7.2求解二阶常系数线性微分方程 210

题型1.7.2.1求解二阶常系数齐次线性微分方程 210

题型1.7.2.2求解二阶常系数非齐次线性微分方程 211

题型1.7.2.3求解含或可化为含变限积分的方程 212

题型1.7.2.4已知线性微分方程，求具有某性质的特解 214

1.7.3已知特解，反求其二阶线性常系数方程 214

题型1.7.3.1已知特解，反求其二阶齐次方程 214

题型1.7.3.2已知特解，反求其二阶非齐次方程 215

1.7.4微分方程的简单应用 216

题型1.7.4.1求解与几何量有关的问题 216

题型1.7.4.2求解简单的经济应用题 216

1.7.5一阶常系数线性差分方程 217

题型1.7.5.1求解一阶常系数线性齐次差分方程 218

题型1.7.5.2求解一阶非齐次差分方程 218

习题1.7 221

第2篇 线性代数 226

2.1计算行列式 226

2.1.1计算数字型行列式 226

题型2.1.1.1计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式 226

题型2.1.1.2计算非零元素在三条线上的行列式 228

题型2.1.1.3计算行（列）和相等的行列式 229

题型2.1.1.4计算范德蒙行列式 229

题型2.1.1.5求代数余子式之和的值 230

题型2.1.1.6计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和 231

题型2.1.1.7求行列式中含某因子的所有项 231

2.1.2计算抽象矩阵的行列式 232

题型2.1.2.1计算由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值 232

题型2.1.2.2计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 233

题型2.1.2.3计算含零子块的四分块矩阵的行列式 233

题型2.1.2.4证明方阵的行列式等于零 234

2.1.3克莱姆法则的应用 235

习题2.1 237

2.2矩阵 239

2.2.1证明矩阵的可逆性 239

题型2.2.1.1证明矩阵可逆 239

题型2.2.1.2证明和（差）矩阵可逆 241

题型2.2.1.3证明方阵为不可逆矩阵 241

2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法 242

2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题 243

题型2.2.3.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 244

题型2.2.3.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵 245

题型2.2.3.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩 246

题型2.2.3.4求伴随矩阵 246

题型2.2.3.5证明伴随矩阵的性质 247

2.2.4计算方阵高次幂的方法 247

2.2.5求矩阵的秩 251

题型2.2.5.1求元素具体给定的矩阵的秩 251

题型2.2.5.2求抽象矩阵的秩 252

题型2.2.5.3已知矩阵的秩，求其待定常数 254

2.2.6分块矩阵乘法运算的应用 255

2.2.7初等变换与初等矩阵的关系的应用 257

题型2.2.7.1用初等矩阵表示初等变换 257

题型2.2.7.2利用初等矩阵的性质计算矩阵 257

题型2.2.7.3利用矩阵的初等变换性质解题 258

2.2.8求解矩阵方程 258

题型2.2.8.1求解含单位矩阵E加项的矩阵方程 258

题型2.2.8.2求解只含一个未知矩阵的矩阵方程 259

题型2.2.8.3求解含多个未知矩阵的矩阵方程 260

题型2.2.8.4求与已知矩阵可交换的所有矩阵 262

题型2.2.8.5已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式 263

2.2.9求解与矩阵等价的有关问题 263

题型2.2.9.1判别两矩阵等价 264

题型2.2.9.2利用矩阵等价的性质求解有关问题 264

习题2.2 264

2.3向量 268

2.3.1判别向量组线性相关、线性无关 268

题型2.3.1.1用线性相关性定义做选择题、填空题 268

题型2.3.1.2判别分量已知的向量组的线性相关性 269

题型2.3.1.3证明几类向量组的线性相关性 270

题型2.3.1.4已知向量组的线性相关性，求其待定常数 275

2.3.2判定向量能否由向量组线性表示 276

题型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量组线性表示 276

题型2.3.2.2判断一抽象向量能否由向量组线性表示 277

题型2.3.2.3判别一向量组可否由另一向量组线性表示 278

2.3.3两向量组等价的判别方法及常用证法 279

2.3.4向量组的秩与极大线性无关组的求（证）法 281

题型2.3.4.1求分量给出的向量组的秩及其极大无关组 282

题型2.3.4.2将向量用极大线性无关组线性表示 283

题型2.3.4.3求解（证明）与向量组的秩有关的问题 283

题型2.3.4.4证一向量组为一极大无关组 285

2.3.5将线性无关向量组正交规范化 285

习题2.3 286

2.4线性方程组 289

2.4.1判定线性方程组解的情况 289

题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况 289

题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况 291

2.4.2由其解反求方程组或其参数 292

题型2.4.2.1已知AX=0的解的情况，反求A中参数 293

题型2.4.2.2已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数 293

题型2.4.2.3已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵 294

2.4.3证明一组向量为基础解系 295

2.4.4基础解系和特解的简便求法 297

2.4.5求解含参数的线性方程组 298

题型2.4.5.1求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组 298

题型2.4.5.2求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组 302

题型2.4.5.3求解参数仅出现在常数项的线性方程组 302

题型2.4.5.4求解通解满足一定条件的含参数的方程组 303

2.4.6求抽象线性方程组的通解 304

题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解 304

题型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解 305

题型2.4.6.3利用线性方程组的向量形式求（证明）其解 306

2.4.7求两线性方程组的非零公共解 307

题型2.4.7.1求两齐次线性方程组的非零公共解 307

题型2.4.7.2证明两齐次线性方程组有非零公共解 308

题型2.4.7.3讨论两方程组同解的有关问题 308

习题2.4 310

2.5矩阵的特征值、特征向量 314

2.5.1求矩阵的特征值、特征向量 314

题型2.5.1.1 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量 314

题型2.5.1.2求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量 316

2.5.2由特征值和（或）特征向量反求其矩阵 317

题型2.5.2.1由特征值和（或）特征向量反求其矩阵的待定常数 317

题型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩阵 318

2.5.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量 320

2.5.4判别或证明方阵是否可对角化 322

题型2.5.4.1判别元素给定的矩阵是否可对角化 322

题型2.5.4.2判别或证明含重特征值的矩阵是否可对角化 322

题型2.5.4.3判别或证明满足抽象矩阵等式的矩阵是否可对角化 323

2.5.5相似矩阵的判别及其性质的简单应用 324

题型2.5.5.1判定两方阵是否相似 324

题型2.5.5.2相似矩阵性质的简单应用 325

2.5.6与两矩阵相似有关的计算 326

题型2.5.6.1 n阶矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1 AP=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值） 326

题型2.5.6.2求n阶实对称矩阵A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1 AQ=QTAQ=diag（λ1.λ2，…，λn）（λi为A的特征值） 328

题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵A 329

题型2.5.6.4已知矩阵A和可逆阵P，使P-1AP=B，求方阵B 330

题型2.5.6.5计算相似矩阵的高次幂（详见2.2.4节） 330

习题2.5 330

2.6二次型 333

2.6.1求二次型的矩阵及其秩 333

题型2.6.1.1用矩阵形式表示二次型 333

题型2.6.1.2求二次型的秩 334

2.6.2化标准形及由标准形确定二次型 334

题型2.6.2.1化二次型为标准形、规范形 335

题型2.6.2.2将实对称矩阵合同对角化 340

题型2.6.2.3由二次型的标准形确定该二次型 342

2.6.3判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性 342

题型2.6.3.1判别或证明具体给定的二次型或其矩阵的正定性 343

题型2.6.3.2判别或证明抽象的二次型（实对称矩阵）的正定性 343

题型2.6.3.3确定参数值或其取值范围使二次型或其矩阵正定 346

2.6.4判别两矩阵是否合同 347

题型2.6.4.1判别（证明）两实对称矩阵合同 347

题型2.6.4.2判别（证明）两矩阵不合同 348

2.6.5讨论矩阵等价、相似及合同的关系 348

习题2.6 350

第3篇 概率论与数理统计 354

3.1随机事件和概率 354

3.1.1随机事件间的关系及其运算 354

题型3.1.1.1描绘随机试验的样本空间 354

题型3.1.1.2用式子表示事件关系 354

题型3.1.1.3利用事件运算的性质或图示法简化事件算式 355

题型3.1.1.4求满足一定条件的事件关系 355

3.1.2直接计算随机事件的概率 356

题型3.1.2.1计算古典型概率 356

题型3.1.2.2计算几何型概率 357

题型3.1.2.3计算伯努利概型中事件的概率 359

3.1.3间接计算随机事件的概率 359

题型3.1.3.1计算和、差、积事件的概率 359

题型3.1.3.2求与包含关系有关的事件的概率 362

题型3.1.3.3计算与互斥事件有关的事件的概率 362

题型3.1.3.4求与条件概率有关的事件的概率 362

题型3.1.3.5求与他事件有关的单个事件的概率 363

题型3.1.3.6判别或证明事件概率不等式 363

3.1.4几个计算概率公式的实际应用 364

题型3.1.4.1用加法公式求解实际应用题 364

题型3.1.4.2用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题 365

题型3.1.4.3用全概率公式和逆概率（贝叶斯）公式求解实际应用题 365

题型3.1.4.4利用抽签原理计算事件概率 368

3.1.5判别事件的独立性 368

题型3.1.5.1判别（证明）两事件相互独立 368

题型3.1.5.2判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立 370

习题3.1 371

3.2一维随机变量及其分布 375

3.2.1分布列、概率密度及分布函数性质的应用 375

题型3.2.1.1判别分布列、概率密度及分布函数 376

题型3.2.1.2利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件 377

题型3.2.1.3求随机变量落在某点或某区间上的概率 378

3.2.2求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数 379

题型3.2.2.1求概率分布（分布律）及分布函数 379

题型3.2.2.2求连续型随机变量的分布函数或其取值 381

题型3.2.2.3求概率密度 382

3.2.3利用常用分布计算事件的概率 383

题型3.2.3.1利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率 383

题型3.2.3.2利用超几何分布计算事件的概率 385

题型3.2.3.3利用几何分布计算事件的概率 385

题型3.2.3.4利用泊松分布计算事件的概率 386

题型3.2.3.5利用均匀分布计算事件的概率 387

题型3.2.3.6利用指数分布计算事件的概率 387

题型3.2.3.7利用正态分布计算事件的概率 388

题型3.2.3.8利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率 391

3.2.4求随机变量函数的分布 392

题型3.2.4.1求离散型随机变量函数的概率分布 392

题型3.2.4.2求连续型随机变量函数的分布 393

题型3.2.4.3讨论随机变量函数分布的性质 396

习题3.2 396

3.3二维随机变量的联合概率分布 400

3.3.1求二维随机变量的分布 400

题型3.1.1.1求二维离散型随机变量的联合分布律 400

题型3.3.1.2求二维随机变量的边缘分布 403

题型3.3.1.3由联合分布、边缘分布求条件分布 405

题型3.3.1.4由条件分布反求联合分布、边缘分布 408

题型3.3.1.5已知分区域定义的联合密度，求其分布函数 409

3.3.2随机变量的独立性 410

题型3.3.2.1判别两随机变量的独立性 410

题型3.3.2.2利用独立性确定联合分布中的待定常数 414

3.3.3计算二维随机变量取值的概率 415

题型3.3.3.1计算两离散型随机变量运算后取值的概率 415

题型3.3.3.2求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率 416

题型3.3.3.3求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率 417

题型3.3.3.4求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率 418

题型3.3.3.5已知系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率，反求该随机变量的分布 418

3.3.4求二维随机变量函数的分布 418

题型3.3.4.1已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律 418

题型3.3.4.2求两连续型随机变量的简单函数的分布 420

题型3.3.4.3已知X，Y的分布，求max（X，Y）与min（X，Y）的分布 424

习题3.3 425

3.4随机变量的数字特征 429

3.4.1求一维随机变量的数字特征 429

题型3.4.1.1求随机变量的数学期望与方差 429

题型3.4.1.2求随机变量函数的数学期望与方差 433

题型3.4.1.3计算随机变量的矩 435

3.4.2求二维随机变量的数字特征 436

题型3.4.2.1求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差 436

题型3.4.2.2计算协方差和相关系数 440

3.4.3计算两类分布的数字特征 447

题型3.4.3.1计算二维正态分布的数字特征 447

题型3.4.3.2计算Z=max（X，Y）或（和）W=min（X，Y）的数字特征 448

3.4.4讨论随机变量相关性与独立性的关系 450

题型3.4.4.1确定两随机变量相关与不相关 450

题型3.4.4.2讨论相关性与独立性的关系 451

3.4.5已知数字特征，求分布中的待定常数 452

3.4.6求解两类综合应用题型 453

题型3.4.6.1求解与数字特征有关的实际应用题 453

题型3.4.6.2求解概率论与其他数学分支的综合应用题 455

习题3.4 457

3.5大数定律和中心极限定理 461

3.5.1用切比雪夫不等式估计事件的概率 461

3.5.2大数定律成立的条件和结论 463

题型3.5.2.1利用三个大数定律成立的条件解题 464

题型3.5.2.2求随机变量序列依概率的收敛值 466

3.5.3两个中心极限定理的简单应用 467

题型3.5.3.1利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件的概率 467

题型3.5.3.2已知随机变量取值的概率，估计取值范围 468

题型3.5.3.3应用列维-林德伯格中心极限定理的条件和结论解题 468

题型3.5.3.4近似计算n个随机变量之和取值的概率 469

题型3.5.3.5已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n 470

习题3.5 471

3.6数理统计初步 473

3.6.1求解统计量分布有关的问题 473

题型3.6.1.1求解与统计量分布有关的基本概念问题 473

题型3.6.1.2求统计量的分布及其分布参数 475

题型3.6.1.3求统计量取值的概率 479

题型3.6.1.4已知统计量取值的概率，反求取值范围 481

题型3.6.1.5求统计量的数字特征 481

题型3.6.1.6求经验分布函数 483

3.6.2参数估计 484

题型3.6.2.1求总体分布中未知参数的矩估计量（值） 484

题型3.6.2.2求未知参数的极（最）大似然估计量（值） 487

习题3.6 490

习题答案与提示 493