概率论与数理统计中的反例PDF电子书下载

第一章 随机试验、随机事件与概率 1

1.1. 非随机试验 1

1.2. 非古典型随机试验 2

1.3. 非几何型随机试验 3

1.4. 不相互独立的随机试验 3

1.5. 一个随机试验的基本事件可以有不同取法 5

1.6. 基本事件未必都是事件 6

1.7. 概率不是频率的极限 7

1.8. 贝特朗奇论 8

1.9. 有限可加但不可列可加的集函数 10

1.10. 概率为1的事件未必是必然事件，概率为0的事件未必是不可能事件 11

1.11. 概率为1的事件的交事件的概率未必是1 12

1.12. 可交换事件但不是尾事件 12

第二章 随机变量及其分布 15

2.1. 同一概率空间上的不同随机变量可以有相同的分布函数 15

2.2. ξ的分布函数连续但不是连续型随机变量 19

2.3. 奇异型随机变量的函数不一定是奇异型随机变量 21

2.4. 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量 24

2.6. 非离散型、非连续型、非奇异型随机变量 26

2.5. 分布函数连续的随机变量的函数可以有任意分布函数 26

2.7. 概率分布函数序列的极限函数未必是概率分布函数 27

2.8. ξn的分布函数趋向于ξ的分布函数，而ξa的分布不趋向于ξ的分布 28

2.9. f(χy)在点(xo,yo)连续，但Fry?(xo,yo)≠f(xo,yo) 31

2.10. 边际分布不能唯一确定联合分布 36

2.11. 求边际密度公式中的勒贝格积分不能换为黎曼积分 38

2.12. 分量为连续型的二维随机变量未必是连续型的 39

2.13. ξ┼η是连续型随机变量而ξ和η不全是连续型随机变量 44

2.14. ξ与η都是连续型随机变量而(ξ，η)不是二维连续型随机变量 46

2.15. 两个不同的二维随机变量可以有相同的联合分布函数 48

2.16. ξ与η同分布而(ξ，η)与(η，ξ)不同分布 49

2.17. ξ与η是正态变量而(ξ，η)不是二维正态变量 51

2.18. 正态变量的和未必是正态变量 53

2.19. 非正态变量的和可能是正态变量 56

2.20. 独立随机变量ξ与η服从均匀分布而ξ+η不服从均匀分布 57

2.21. (ξ，η)服从均匀分布而ξ与η不服从均匀分布 58

2.22. 由F1？F2=F1？F3不能推出F2=F3 59

2.23. Fn→F而fn？f 61

2.24. ξ与η同分布而ξ-η不是对称随机变量 64

第三章 随机变量的数字特征 68

3.1. 随机变量的各阶矩不能唯一决定其分布 68

3.2. 任意阶绝对矩都不存在的随机变量 70

3.3. E︱ξ┼η︱α存在而E︱ξ︱α和E︱η︱α不存在 71

3.4. D(ξ+η)存在而Dξ和Dη不存在 73

3.5. Fξn(χ)→Fξ(χ)而Eξnk？Eξk(k=1，2，…) 74

3.6. Eξnk→Eξk(k=1,2,…)而Fξn(χ)？F(χ) 76

3.7. Eξn→Eξ而E︱ξn︱？E︱ξ︱，E︱ξn︱→E︱ξ︱而Eξn？Eξ 78

3.8. lim nkP(︱ξ︱〉n)=0而Eξk不存在 79

3.9. ρζ?≠0，ρ？ζ≠0而ρξ？ζ=0 80

3.10. ρξ?=0，ρ？ζξ=0而ρξ？ζ≠0 81

3.11.g(χ)不是凹函数而有g(Eξ)≤Eg(ξ) 82

第四章 独立性与相依性 84

4.1. n个事件两两独立而不相互独立 84

4.2. P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)而A1，A2，A3不相互独立 85

4.3. A与B独立且B与C独立而A与C不独立 86

4.4. 对有限交不封闭的事件类独立类的扩张定理不成立 87

4.5. n个随机变量两两独立而不相互独立 88

4.6. ξ与ζ独立且η与ζ独立而(ξ，η)与ζ不独立 90

4.7. f(ξ)与g(η)独立而ξ与η不独立 93

4.8. (ξ1，ξ2)与(ξ3，ξ4)相互独立而ξ1，ξ2，ξ3，ξ4不相互独立 95

4.9. f(ξ1，ξ2)与g(ξ1，ξ2)相互独立的例子 96

4.10. E(ξη)=EξEη而ξ与η不相互独立 97

4.11. 既是相关又不独立的两个随机变量 99

4.12. f(ξ)与g(ξ)不相关的例子 101

4.13. ξ与η独立且η与ζ独立而ξ与ζ不独立 101

4.14. 独立性与不相关性等价的随机变量 103

4.15. 两个同分布但不独立的随机变量 105

4.16. 次序统计量ξ(1)，ξ(2)，…，ξ(n)未必相互独立 107

4.17. 两个不相互独立而条件独立的随机变量 108

4.18. 两个相互独立而非条件独立的随机变量 109

4.19. E(η︱ξ)═══？Eη而ξ与η相互不独立 110

4.20. ξ与η不相关而E(η︱ξ)═══？Eη不成立 112

4.21. ξ与ζ相互独立而E(ξ︱η，ζ)═══？E(ξ︱η)不成立 114

第五章 随机变量的特征函数 119

5.1. 特征函数列的极限未必是特征函数 119

5.2. 连续型随机变量的特征函数不一定绝对可积 120

5.3. ？ζ+η+(t)=？ζ(t)? η(t)而ξ与η不相互独立 121

5.4. 公式？ζ(k)(0)=ikEξk不能推广到多元特征函数的情形 125

5.5. 特征函数可微而数学期望不存在的随机变量 126

5.6. 特征函数在有限区间上的值不能唯一决定分布函数 130

5.7. 由φ1φ2=φ1φ3不能推出φ2=φ3 132

5.8. 不取零值但不是无穷可分的特征函数 133

5.9. φ1φ2无穷可分而φ1和φ2不都是无穷可分 135

5.10. ︱φ︱无穷可分而φ不无穷可分 141

5.11. 无穷可分而有不可分解因子的特征函数 141

6.1. 依概率收敛而不几乎处处收敛 144

第六章 随机变量序列的收敛性 144

6.2. 依概率收敛而不r-阶平均收敛 147

6.3. 几乎处处收敛而不r-阶平均收敛 148

6.4. r-阶平均收敛而不几乎处处收敛 149

6.5. 依分布收敛而不依概率收敛 150

6.6. 弱收敛而不完全收敛 152

6.7. ζn→?ξ和ηn→?η而ξn+ηn→?ξ+η不成立 154

6.8. ξn→？0而？Sa→？0不成立 156

6.9. ξa→ξ而f(ξn)→f(ξ)不成立 158

6.10. 几乎处处收敛而矩不收敛 161

6.11. 依概率收敛而数学期望和方差都不收敛 162

6.12. 几乎一致收敛而不r-阶平均收敛 163

6.13. ∑？(ξn-Eξn)a.s.收敛而∑？Dξn发散 164

第七章 极限定理 166

7.1. 波雷尔--康特立引理中事件独立性的条件不能少 166

7.2. 不满足马尔可夫条件而服从大数定律 170

7.3. 不满足车贝晓夫大数定律的条件而服从大数定律 171

7.4. 不满足辛钦大数定律的条件而服从广义大数定律 173

7.5. 服从弱大数定律而不服从强大数定律 175

7.6. Kolmogoroo强大数定律中的独立性条件不能少 178

7.7. Kolmogoroo强大数定律之逆不真 179

7.8. 服从强大数定律而不服从中心极限定理 181

7.9. 服从中心极限定理而不服从大数定律 184

7.10. 服从中心极限定理而不满足林德贝格条件 186

7.11. 满足林德贝格条件而不满足李雅普诺夫条件 187

7.12. 满足费勒条件而不满足林德贝格条件 191

7.13. 既不服从大数定律又不服从中心极限定理 192

7.14. 既服从强大数定律又服从中心极限定理 196

7.15. 服从中心极限定理的相依随机变量序列 198

7.16. 服从大数定律的相依随机变量序列 202

7.17. 服从强大数定律与中心极限定理的相依随机变量序列 204

7.18. 不服从大数定律与中心极限定理的相依随机变量序列 207

第八章 数理统计 214

8.1. 样本均值？与样本方差Sn2未必独立 214

8.2. 矩估计不唯一 216

8.3. 矩估计未必存在 217

8.4. 极大似然估计(MLE)不唯一 218

8.5. 无偏估计未必存在 220

8.6. 无偏估计存在但未必合理 222

8.7. 非一致估计是存在的 223

8.8. 一致估计不唯一 224

8.9. 若？是θ的无偏估计而u(？)未必是u(θ)的无偏估计 224

8.10. MLE的另一种求法 225

8.11. MLE未必是一致估计 227

8.12. 非指数型分布族是存在的 229

8.13. 不完备的分布族是存在的 231

8.14. 充分而不完备的统计量 233

8.15. 不充分而完备的统计量 236

8.16. 既不充分也不完备的统计量 238

8.17. 不完备的分布族可能有完备的统计量 241

8.18. 联合充分统计量的分量未必是充分统计量 242

8.19. 有界完备未必是完备的 244

8.20. 若可测函数f(X)的分布与未知参数θ有关，f(X)也可能与有界完备统计量t(X)的独立 246

8.21. 极大似然估计未必是充分估计量 247

8.22. 非有效估计的例 248

8.23. 无偏估计的方差可能低于C-R下界 253

8.24. 有效估计未必存在 254

8.25. Rao-Cramér不等式的条件不满足也可能存在一致最小方差无偏估计 257

8.26. 若θ是θ的有效估计，u(？)未必是u(θ)的有效估计 260

8.27. 极大似然估计未必是有效估计 263

8.28. 充分估计量未必是有效估计 264

8.29. 若θ的估计量？渐近地服从正态分布N(θ？)，也不能说？是θ的渐近有效估计 266

8.30. 次序统计量(X(1)，X(2)，…，X(n))未必完备 269

8.31. 总体分布为连续型MP检验也可能是随机化检验 271

8.32. UMP检验可能不存在 277

8.33. UMP检验是无偏检验但反之不真 279

8.34. UMP检验不存在而UMP无偏检验存在 282

参考文献 286