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第一章 算术和代数 1

1.1 实数 1

1.1.1 实数的分类 1

1.1.2 有序性(不等式) 1

1.1.3 区间 2

1.1.4 绝对值 3

1.1.5 符号 4

1.2 基本运算 4

1.2.1 加法和减法 4

1.2.2 乘法 5

1.2.3 除法 6

1.2.4 乘方(幂) 10

1.2.5 开方 13

1.2.6 二项式定理 17

1.2.7 二项式系数 19

1.3 比例和平均值 21

1.3.1 比例 21

1.3.2 线性插值法 23

1.3.3 平均值 24

1.4 常用(以10为底的)对数 26

1.5 复数 28

1.5.1 定义与表示法 28

1.5.2 复数的运算 31

1.5.2.1 加法与减法 31

1.5.2.2 乘法 31

1.5.2.3 乘方 31

1.5.2.4 除法 33

1.5.2.5 开方 33

1.6 排列与组合 35

1.6.1 全排列 35

1.6.2 组合 36

1.6.3 选排列 36

1.7 行列式 38

1.7.1 定义与记法 38

1.7.2 行列式的计算 39

1.7.3 行列式的性质 41

1.8 代数方程 42

1.8.1 一元方程 42

1.8.1.1 一元一次方程(线性方程) 43

1.8.1.2 一元二次方程(平方方程) 43

1.8.1.3 一元三次方程(立方方程) 45

1.8.1.4 一元四次方程 49

1.8.1.5 一元n次方程 52

1.8.2 方程组 55

1.8.2.1 线性方程(一次方程)组 55

1.8.2.2 非线性方程组 59

1.9 初等级数 61

1.9.1 算术级数 61

1.9.2 几何级数 65

1.9.3 复利与年金计算 66

第二章 平面几何与立体几何 68

2.1 平面几何 68

2.1.1 角与角间关系 68

2.1.2 三角形 69

2.1.2.1 角与边间相互关系 69

2.1.2.2 全等定理 70

2.1.2.3 相似定理 71

2.1.2.4 对称性 72

2.1.2.5 三角形的特殊线段 74

2.1.2.6 一般三角形公式 76

2.1.2.7 特殊三角形 79

2.1.3 四边形 80

2.1.3.1 一般四边形 80

2.1.3.2 梯形 81

2.1.3.3 平行四边形 82

2.1.3.4 菱形 82

2.1.3.5 矩形 82

2.1.3.6 正方形 82

2.1.3.7 圆内接四边形 83

2.1.3.8 外切四边形 83

2.1.4 正n边形 84

2.1.5 圆 86

2.1.5.1 一般性质 86

2.1.5.2 圆公式 87

2.2 立体几何 94

2.2.1 多面体 94

2.2.1.1 一般概念与定理 94

2.2.1.2 棱柱 94

2.2.1.3 棱锥 96

2.2.1.4 正多面体 98

2.2.2 曲面体 100

2.2.2.1 柱 100

2.2.2.2 锥 103

2.2.2.3 球 105

2.2.2.4 旋转体 108

第三章 三角 111

3.1 圆函数 111

3.1.1 角的度量 111

3.1.2 三角函数定义 114

3.1.3 三角函数的图象 117

3.1.4 振幅变化和周期变化，相位差 119

3.1.5 简谐振动 120

3.1.6 三角函数间关系 123

3.1.6.1 同角三角函数间关系 123

3.1.6.2 和角公式 125

3.1.6.3 和差化积公式 127

3.1.6.4 三角函数积公式 128

3.1.6.5 倍角公式 129

3.1.6.6 半角公式 129

3.1.6.7 三角函数乘方公式 130

3.1.6.8 三个角的三角函数间关系 131

3.2 平面三角 132

3.2.1 直角三角形 132

3.2.2 斜三角形 133

3.2.2.1 基本公式 133

3.2.2.2 一般三角形解法 135

3.2.2.3 三角形特殊量计算 137

3.2.2.4 大地测量的基本问题 138

3.3 球面三角 140

3.3.1 球面几何 140

3.3.2 球面直角三角形 141

3.3.3 球面斜三角形 143

3.3.4 绕大圆飞行、等角线飞行(斜航) 147

第四章 平面解析几何 150

4.1 坐标系与坐标变换 150

4.1.1 平面坐标系 150

4.1.2 直角坐标变换 153

4.2 平面上的点 155

4.2.1 直线上的点 155

4.2.2 多边形的重心与面积 160

4.3 直线 161

4.3.1 直线方程 161

4.3.2 直线的特性 165

4.3.2.1 两直线的交点 165

4.3.2.2 两直线夹角 166

4.3.2.3 直线的垂直与平行 166

4.3.2.4 点到直线的垂直距离 166

4.3.2.5 角平分线 166

4.3.2.6 三直线共点 167

4.3.2.7 直线束 167

4.4 圆 170

4.4.1 圆心方程 170

4.4.2 一般二次式 170

4.4.3 圆与直线相交 171

4.4.4 切线与法线 171

4.4.5 极点与极线 173

4.4.6 同心圆 173

4.4.7 圆束，根轴 173

4.5 椭圆与双曲线 176

4.5.1 一般性质 176

4.5.1.1 曲线方程 177

4.5.1.2 等边轴双曲线，共轭双曲线 177

4.5.1.3 一般二次式 179

4.5.1.4 焦点特性 181

4.5.1.5 切线与法线 181

4.5.1.6 直径与共轭直径 184

4.5.1.7 极点与极线 185

4.5.1.8 曲率圆 185

4.5.1.9 双曲线的渐近线和以渐近线为坐标轴的双曲线方程 186

4.5.2 作图 189

4.5.2.1 求作曲线上点 189

4.5.2.2 求准线 191

4.5.2.3 求与直线的交点 192

4.5.2.4 求切线 192

4.5.2.5 求共轭直径 194

4.5.2.6 求顶点处曲率圆 195

4.6 抛物线 196

4.6.1 顶点方程 196

4.6.2 一般二次式 197

4.6.3 直线与抛物线相交 198

4.6.4 切线与法线 199

4.6.5 极点与极线 200

4.6.6 直径 201

4.6.7 曲率圆 202

4.6.8 抛物线弓形面积 202

4.7 主轴变换 204

第五章 空间解析几何 211

5.1 坐标系 211

5.1.1 直角坐标系 211

5.1.2 一般曲线坐标系 212

5.1.3 球坐标系 212

5.1.4 圆柱坐标系 213

5.2 直角坐标变换 214

5.2.1 平移 214

5.2.2 旋转 215

5.3 空间中的点与方向 218

5.4 空间中的平面 219

5.4.1 平面方程 219

5.4.2 特殊性质 221

5.5 直线 224

5.5.1 直线方程 224

5.5.2 特性 227

5.6 空间曲面 229

5.6.1 概述 229

5.6.1.1 曲面方程 229

5.6.1.2 曲线坐标 230

5.6.1.3 切平面与法线 230

5.6.1.4 奇点 232

5.6.1.5 线元与面元，第一基本量 234

5.6.1.6 曲线坐标线的方向余统与夹角 234

5.6.1.7 法截线，主法截线，曲率 235

5.6.1.8 曲面的映像 240

5.6.2 二次曲面 240

5.7 空间曲线 245

5.7.1 表示法 245

5.7.2 主要量 246

5.7.2.1 切线 246

5.7.2.2 法平面 247

5.7.2.3 密切平面 247

5.7.2.4 主法线 248

5.7.2.5 次法线 248

5.7.2.6 从切平面 249

5.7.3 曲率与挠率 249

5.7.4 伴随三棱形主方程组 258

第六章 微分学 260

6.1 数列的极限 260

6.2 函数的一般性质 263

6.2.1 函数概念及其分类 263

6.2.2 函数的极限 269

6.2.2.1 右极限与左极限 269

6.2.2.2 一般极限运算法则 270

6.2.2.3 渐近逼近 272

6.2.2.4 函数的阶 272

6.2.2.5 一些特殊极限 273

6.2.3 连续 275

6.2.4 反函数 277

6.3 初等函数 278

6.3.1 整有理函数(多项式) 278

6.3.2 分式有理函数 281

6.3.3 无理函数 284

6.3.4 指数函数和对数函数 287

6.3.5 三角函数和反三角函数 290

6.3.6 双曲函数和反双曲函数 297

6.3.6.1 双曲函数的定义和一般性质 297

6.3.6.2 双曲函数间关系 298

6.3.6.3 反双曲函数 302

6.3.6.4 反双曲函数间关系 304

6.4 导数与微分 305

6.4.1 差商、微商与微分 305

6.4.2 右导数和左导数，可微性 308

6.4.3 一般求导数法 310

6.4.4 初等函数的一阶导数 315

6.4.5 高阶导数与高阶微分 317

6.4.6 微分学的基本定理 320

6.5 微分法的特殊应用 321

6.5.1 极大值与极小值 321

6.5.2 曲线讨论 325

6.5.3 求不定式的极限 328

6.5.4 平面曲线的微分几何 332

6.5.4.1 切线方程与法线方程 332

6.5.4.2 弧元，弧长 333

6.5.4.3 两曲线的相切 333

6.5.4.4 曲率与曲率圆 334

6.5.4.5 渐屈线与渐开线 335

6.5.4.6 包络线 337

6.5.4.7 奇点 339

6.5.4.8 渐近线 341

6.6 函数的参数表示式 342

6.6.1 定义与一般性质 342

6.6.2 导数 343

6.6.3 极值，曲线讨论 344

6.6.4 微分几何 344

6.6.4.1 切线与法线 344

6.6.4.2 弧元，弧长 345

6.6.4.3 曲率与曲率圆 345

6.6.4.4 渐屈线，渐开线，包络线 345

6.6.4.5 渐近线 345

6.6.5 用参数表示的特殊曲线 347

6.6.5.1 摆线 347

6.6.5.2 圆外摆线，圆内摆线 351

6.7 函数的极坐标表示式 355

6.7.1 定义与一般性质 355

6.7.2 导数 355

6.7.3 微分几何 356

6.7.4 特殊曲线的极坐标表示式 357

6.8 函数的级数展开 363

6.8.1 泰勒级数与马克劳林级数 363

6.8.2 一些重要的幂级数 366

6.9 多变量函数 375

6.9.1 几何表示、一般性质 375

6.9.2 偏导数，全微分 377

6.9.2.1 一阶偏导数 377

6.9.2.2 高阶偏导数 378

6.9.2.3 微分 380

6.9.2.4 复合函数的全微分 381

6.9.2.5 隐函数的微分 382

6.9.2.6 对给定方向的导致 383

6.9.3 泰勒级数 383

6.9.4 极值 384

6.9.4.1 自由极值 384

6.9.4.2 条件极值 387

6.9.5 变量变换 389

6.9.5.1 单变量函数 389

6.9.5.2 两个变量的函数 392

第七章 积分学 396

7.1 不定积分 396

7.1.1 定义与一般性质 396

7.1.2 基本积分表 397

7.1.3 积分法 398

7.1.3.1 变量替换法 399

7.1.3.2 分部积分法 400

7.1.3.3 部分分式展开 403

7.1.3.4 通过展开成级数求积分 407

7.1.4 初等函数的积分 408

7.1.4.1 有理函数的积分 408

7.1.4.2 无理函数的积分 411

7.1.4.3 三角函数和双曲函数的积分 415

7.1.4.4 其它超越函数的积分 418

7.2 积分表 420

7.2.1 有理函数的积分 420

7.2.2 无理函数的积分 428

7.2.3 指数函数的积分 439

7.2.4 对数函数的积分 441

7.2.5 三角函数的积分 443

7.2.6 反三角函数的积分 452

7.2.7 双曲函数的积分 454

7.2.8 反双曲函数的积分 459

7.3 定积分 461

7.3.1 定义与基本性质 461

7.3.2 定积分运算法则 464

7.3.3 中值定理.特殊中值 465

7.3.4 积分不等式.估值 466

7.3.5 广义积分 468

7.3.5.1 无穷限积分 468

7.3.5.2 无界函数的积分 470

7.3.5.3 定积分表 471

7.3.6 特殊函数 473

7.3.6.1 正弦积分与余弦积分 473

7.3.6.2 双曲正弦积分与双曲余弦积分 474

7.3.6.3 指数积分与对数积分 474

7.3.6.4 Γ-函数与P P函数 475

7.3.6.5 椭圆积分 476

7.3.7 依赖于(含)参数的积分 478

7.3.7.1 对参数的微商 479

7.3.7.2 对参数的积分 479

7.4 积分在几何和物理中的应用 480

7.4.1 求面积 480

7.4.2 求弧长 484

7.4.3 求旋转体体积 485

7.4.4 卡瓦利原理 486

7.4.5 求旋转体面积 486

7.4.6 求静力矩 487

7.4.7 求转运惯量 488

7.4.8 求重心(坐标) 489

7.5 曲线积分与多重积分 491

7.5.1 曲线积分 491

7.5.1.1 第一类曲线积分 491

7.5.1.2 一般曲线积分 493

7.5.1.3 势 495

7.5.2 重积分 498

7.5.3 三重积分 501

7.5.3.1 多重积分变换 504

7.5.4 曲面积分 505

7.5.4.1 对曲面面积的曲面积分 505

7.5.4.2 一般曲面积分 506

7.5.5 曲线积分.曲面积分和空间积分间关系 508

7.6 重积分在力学和物理学中的应用 510

第八章 向量 516

8.1 向量代数 516

8.1.1 基本概念 516

8.1.2 向量的加减 517

8.1.3 向量与标量相乘 518

8.1.4 单位向量 518

8.1.5 向量的分量表示式 518

8.1.6 方向余弦 520

8.1.7 线性关系 521

8.1.8 向量乘法 522

8.1.8.1 标量(内)积 522

8.1.8.2 向量(外)积 525

8.1.8.3 向量的多重复合积 526

8.2 向量分析 528

8.2.1 微分法 528

8.2.1.1 向量函数及其导数 528

8.2.1.2 标量场，梯度 531

8.2.2 向量场·流·散度·旋度 534

8.2.2.1 向量场 534

8.2.2.2 散度 537

8.2.2.3 流 537

8.2.2.4 源和漏 538

8.2.2.5 无源场 539

8.2.2.6 旋度 540

8.2.2.7 环流 542

8.2.2.8 无涡场 543

8.2.2.9 拉普拉斯场 543

8.2.3 算子运算 544

8.2.4 积分定理 545

8.2.4.1 高斯定理 545

8.2.4.2 斯托克斯定理 547

8.2.4.3 格林定理 547

第九章 无穷级数 549

9.1 数项级数 549

9.1.1 定义 549

9.1.2 一般收敛定理 550

9.1.3 绝对收敛和条件收敛 553

9.1.4 一些特殊数项级数 555

9.2 函数项级数 557

9.2.1 定义 557

9.2.2 一致收敛 557

9.2.3 幂级数 559

9.2.3.1 收敛性 559

9.2.3.2 幂级数运算 560

9.3 傅立叶级数 561

9.3.1 定义与一般性质 561

9.3.2 收敛性 565

9.3.3 一些特殊傅立叶级数 566

第十章 常微分方程 570

10.1 分类·记法·一般性质 570

10.2 一阶微分方程 571

10.2.1 表示法·存在定理 571

10.2.2 一阶一次微分方程 571

10.2.2.1 直接积分法 572

10.2.2.2 分离变量法 572

10.2.2.3 变量替换法 573

10.2.2.4 齐次微分方程 574

10.2.2.5 全(恰当)微分方程 577

10.2.2.6 积分因子 578

10.2.2.7 线性微分方程 579

10.2.2.8 伯努利微分方程 581

10.2.2.9 黎卡提微分方程 582

10.2.3 一阶高次微分方程 584

10.2.3.1 按y 可解的方程 584

10.2.3.2 按y可解的方程 585

10.2.3.3 按x可解的方程 586

10.2.3.4 不显含y的方程 587

10.2.3.5 不显含x的方程 588

10.2.3.6 二次齐次方程 588

10.2.3.7 奇解 590

10.2.4 特殊应用 591

10.2.4.1 曲线族的微分方程 591

10.2.4.2 正交轨线族 592

10.2.4.3 等角轨线族 592

10.3 二阶微分方程 593

10.3.1 一般解法 593

10.3.2 二阶线性微分方程 599

10.3.2.1 齐次方程的解 599

10.3.2.2 非齐次方程的解 600

10.3.3 常系数线性微分方程 602

10.3.3.1 齐次方程的解 602

10.3.3.2 非齐次方程的解 603

10.4 高阶微分方程 606

10.4.1 一般解法 606

10.4.2 特殊解法 608

10.4.3 线性微分方程 611

10.4.4 常系数线性微分方程 613

10.5 微分方程组 616

10.5.1 一般一阶微分方程组 616

10.5.2 常系数一阶微分方程组 618

第十一章 数值解法 621

11.1 一般方程数值解法 621

11.1.1 图解法 621

11.1.2 和纳表 621

11.1.3 修正法(逐步逼近法) 625

11.1.3.1 弦位法(线性插值) 625

11.1.3.2 二次插值法 626

11.1.3.3 牛顿法 627

11.1.3.4 迭代法 629

11.1.3.5 复根的处理 633

11.1.4 格拉也费法 634

11.1.5 零点的个数与位置 637

11.1.5.1 鲍丹-傅立叶法则 637

11.1.5.2 笛卡尔(哈里奥特)符号法则 638

11.1.5.3 斯图姆链 638

11.2 线性方程组 640

11.2.1 高斯消去法 640

11.2.2 简化高斯法 643

11.2.3 齐次方程组的解 645

11.2.4 用迭代法求解 648

11.3 插值法 650

11.3.1 多项式定理 650

11.3.2 拉格朗日插值法 651

11.3.3 牛顿插值法 653

11.3.4 等距横标时插值公式 655

11.4 数值微分 664

11.5 数值积分 667

11.5.1 近似公式 667

11.5.2 特殊积分公式 668

11.6 微分方程的数值积分 671

11.6.1 一阶微分方程 671

11.6.1.1 图示等倾(斜)线法 671

11.6.1.2 欧拉-柯西法(折线法) 672

11.6.1.3 迭代法 673

11.6.1.4 龙格-库塔法 676

11.6.1.5 阿达姆斯法 679

11.6.2 二阶微分方程 683

11.6.2.1 尼于斯兑姆法 683

11.6.2.2 斯兑默尔法 684

11.6.3 微分方程组 685

第十二章 误差计算与修匀(补偿)计算 687

12.1 误差计算与平均值 687

12.1.1 等精密度观测 687

12.1.2 不等精密度观测 688

12.2 相关观测的修匀 693

12.2.1 误差方程 693

12.2.2 标准方程组 694

12.3 附有条件方程组的修匀 698

第十三章 复变函数初步 702

13.1 复数列 702

13.2 单变量复变函数 702

13.3 初等复变函数 705