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第一章 插值 1

1.1 引言 1

1.2 多项式插值 1

1.2.1 最简单的插值公式 2

1.2.2 一般的多项式插值和误差 5

1.2.3 关于多项式插值的运用 7

1.3 片段多项式插值 9

1.3.1 简单的片段多项式插值 9

1.3.2 三次样条插值 13

1.3.3 参数表达的样条插值 16

1.3.4 样条插值的物理背景 18

1.3.5 方法比较 19

1.4 数值微分 19

1.4.1 数值微分公式 19

1.4.2 数据误差对于微分的影响 22

1.5 一般样条和基样条 25

1.5.1 一些简单的样条函数 25

1.5.2 分节区间上的一般样条 29

1.5.3 山丘形基样条 31

1.5.4 等间距的基样条 35

1.6 多项式和样条的最小二乘法 37

1.6.1 最小二乘问题 37

1.6.2 多项式的最小二乘法 38

1.6.3 样条的最小二乘法 40

第二章 数值积分 43

2.1 引言 43

2.2 梯形求积公式 45

2.3 辛浦生求积公式 47

2.4.1 基于梯形和辛浦生公式的自动积分法 48

2.4 自动积分，逐次分半加速法 48

2.4.2 逐次分半加速法 50

2.5 高斯型求积公式 53

2.6 用切氏级数展开的积分法及方法比较 57

2.7 在离散点上给出函数的积分，平均抛物插值法 62

2.8 周期函数的积分 65

2.9 奇异积分，不连续的被积函数 66

2.9.1 存在有限个间断点的有界的被积函数 66

2.9.2 无界的被积函数 66

2.10 在无穷区间上的积分 71

2.11 计算重积分的累次积分法 74

2.12 计算高重积分的数论网格法 75

附表2.1 高斯-勒让德求积公式的结点和系数 78

附表2.2 高斯-拉盖尔积分公式的结点和系数 79

附表2.3 高斯-埃尔米特求积公式的结点和系数 81

附录2.4 数论网格法的最优系数 82

附录 积分程序 85

一 TRAP：梯形积分法(给定步长) 85

二 SEMP：辛浦生积分法(给定步长) 85

三 ASMP：辛浦生积分法(自动选步长) 86

四 ROMB：逐次分半加速积分法 87

五 CLEN：用切氏级数展开的积分法(计算定积分) 88

六 ITGL：用切氏级数展开的积分法(计算不定积分) 90

七 CHEB：计算切比雪夫级数值 92

八NITG：在离散点上给出函数的积分 93

第三章 谐波分析 96

3.1 傅氏级数 96

3.2 傅氏积分 99

3.2.1 傅氏变换的基本性质 99

3.2.2 一些初等函数的傅氏变换 103

3.2.3 广义微分 106

3.3.1 卷积的定义和性质 113

3.3 卷积与傅氏变换的对偶性质 113

3.3.2 样条函数及其傅氏变换 116

3.3.3 卷积的物理意义 121

3.3.4 傅氏变换的对偶关系 122

3.4 离散傅氏变换及其快速算法 124

3.4.1 离散傅氏变换 124

3.4.2 离散卷积 126

3.4.3 快速傅氏变换 128

3.5.1 离散取样与频谱混叠效应 133

3.5 取样效应 133

3.5.2 有限窗宽与频谱渗漏效应 137

3.5.3 连续与离散傅氏变换的关系 139

3.6 谱的近似计算 140

3.6.1 傅氏级数的近似计算 140

3.6.2 谱函数的近似计算 142

3.6.3 功率谱的估算 144

第四章 曲线拟合与经验公式 147

4.1 问题的提出 147

4.2.1 基本算法 149

4.2 线性模型中参数的确定 149

4.2.2 线性模型的推广 152

4.3 非线性模型中参数的确定 154

4.3.1 基本算法--高斯-牛顿法 154

4.3.2 算法改进--麦夸脱法 156

4.3.3 实例与算法比较 157

4.3.4 程序 160

4.4 借助数学方法选取表达式 162

4.4.1 问题的提出 162

4.4.2 变量的正交筛选法 163

4.4.3 筛选中的一些问题 166

4.4.4 表达式的半自动挑选 167

4.5 随机尝试法 168

4.5.1 一般的随机尝试法 169

4.5.2 改进的随机尝试法 169

4.5.3 在实际计算中应注意的事项 170

第五章 回归分析 173

5.1 回归问题 173

5.2 法方程 174

5.3 法方程解的统计性质 176

5.4 预报因子舍选和逐步回归计算 179

5.5 逐步回归计算中的几个问题 187

5.5.1 计算参量的选取 187

5.5.2 回归效果的检验 187

5.5.3 线性回归模型的推广 188

5.5.4 逐步回归计算一例 188

第六章 时间序列分析 192

6.1 时间序列 192

6.2.1 一维平稳时间序列分析 193

6.2 平稳时间序列分析 193

6.2.2 多维平稳时间序列分析 197

6.3 时间序列的平稳性检验 198

6.4 非平稳时间序列分析 200

6.4.1 参数模型方法 201

6.4.2 差分模型方法 205

6.5 时间序列分析中的几个问题 207

第七章 蒙特卡洛方法 211

7.1 概论 211

7.2 随机数的产生 213

7.3.2 连续随机变量抽样 215

7.3.1 离散随机变量抽样 215

7.3 随机变量抽样 215

7.4 随机向量抽样 221

7.4.1 一般抽样方法 221

7.4.2 正态向量抽样 223

7.5 随机过程模拟 224

7.5.1 正态马尔科夫过程的模拟 225

7.5.2 有理谱正态平稳过程的模拟 226

7.5.3 非平稳过程的模拟 227

7.6 随机数的检验 227

7.6.1 参数检验 228

7.6.2 均匀性检验 229

7.6.3 独立性检验 230

7.6.4 组合规律性检验 231

7.6.5 连检验 232

7.7 加速收敛原理 233

7.8 蒙特卡洛应用 237

第八章 线性代数方程组的数值解法 243

8.1 解线性代数方程组的直接法 243

8.1.1 三角形方程组的解法 244

8.1.2 高斯消去法 245

8.1.3 主元素消去法 250

8.1.4 直接分解法 252

8.1.5 对称正定矩阵的平方根法和LDLT分解法 254

8.1.6 镜像映射法 255

9.8 方法的选择 257

8.1.7 求逆矩阵问题 259

8.1.8 特殊形状矩阵和高阶矩阵问题的直接解法 261

8.1.9 关于结果精度的某些问题 270

8.2 解线性代数方程组的迭代法 278

8.2.1 前言 278

8.2.2 一阶线性定常迭代法 282

8.2.3 一阶线性定常迭代法的加速--切比雪夫半迭代法 294

8.2.4 分块迭代法 300

8.2.5 共轭斜量法 303

8.3 线性矛盾方程组的最小二乘解法 308

8.3.1 法方程组的建立 309

8.3.2 法方程组的求解 309

附录 线性代数方程组的求解程序 317

一 列主元素消去法解线性代数方程组程序 317

二 全主元素消去法解线性代数方程组程序 318

三 直接分解法解线性代数方程组程序 319

四 平方根法解对称正定线性代数方程组程序 321

五 LDLT分解法解对称正定线性代数方程组程序 323

六 解线性代数方程组的镜像映射法程序 324

七 对称正定矩阵原地求逆程序 326

八 全主元素消去法求逆矩阵程序 327

九 平方根法解带型对称正定线性代数方程组程序 328

十 变带宽对称正定线性方程组求解程序 330

十一 追赶法解三对角线方程组程序 332

十二 列主元素法解非对称带状方程组程序 333

十三 共轭斜量法解线性代数方程组程序 335

十四 解线性矛盾方程组的镜像映射法程序 338

十五 解线性矛盾方程组的正交化法程序 340

十六 共轭斜量法解线性矛盾方程组程序 342

9.1 引言 345

第九章 非线性方程和非线性方程组的解法 345

9.2 求实根的区间分半法 346

9.2.1 方法简述 346

9.2.2 执行步骤 347

9.3 线性插值法(弦位法) 347

9.3.1 方法简述 347

9.3.2 方法的收敛性 348

9.3.3 计算步骤 349

9.4 牛顿法 350

9.4.2 方法的收敛性 350

9.4.1 方法简述 350

9.4.3 计算步骤 351

9.5 二次插值法 351

9.5.1 方法简述 351

9.5.2 方法的收敛性 352

9.5.3 方法的若干细节处理 353

9.5.4 计算步骤 353

9.6 线性分式插值法 354

9.6.1 方法简述 354

9.6.2 方法的收敛性 355

9.6.3 方法的异常情况和处理 355

9.6.4 计算步骤 355

9.7 求非线性方程全部解的处理方法 356

9.7.1 应用二次插值法求函数f(z)在复平面上的有限个零点 356

9.7.2 应用线性分式插值法求f(x)在给定区间［a，b］上的全部实零点 357

9.10 解非线性方程组的牛顿迭代法 359

9.9 非线性方程组的解法 359

9.11 最速下降法 361

9.12 DFP方法 363

附录 解非线性方程和方程组程序 367

一 HITL：区间分半法 367

二 HYPE：线性分式插值法(求一个实零点) 368

三 HPBL：线性分式插值法(求区间上全部单零点) 369

四 NWTN：求函数零点(实或复的)的牛顿法 373

五 MULR：二次插值法程序(求函数f(z)在复平面上的n个零点) 375

六 SNWT：解非线性方程组的牛顿法 379

七 DSNT：解非线性方程组的最速下降法和牛顿迭代法 382

八 VMTC：DFP方法 385

第十章 代数特征值问题的解法 390

10.1 引言 390

10.2 振动问题的提法 391

10.2.1 有限自由度系统 391

10.2.2 连续系统 393

10.2.3 化为代数特征值问题 396

10.3.1 概述 397

10.3 代数特征值问题的数值解法 397

10.3.2 几种变换矩阵及其特性 398

10.3.3 幂法及其推广 402

10.3.4 旋转法及其推广 420

10.3.5 化对称矩阵为三对角线型的方法 425

10.3.6 广义代数特征值问题Ax=λBx的解法 433

附录 代数特征值问题计算程序 439

一 实对称矩阵的雅可比法程序 439

二 任意实矩阵的广义雅可比法程序 442

三 化实对称矩阵为三对角型程序 446

四 对称三对角型矩阵的区间分半法程序 448

五 求对称三对角型矩阵特征向量的反幂法程序 450

六 化带型实对称矩阵为三对角型程序 453

七 化Ax=λBx为普通特征值问题程序 456

八 QR方法求任意实矩阵全部特征值程序 459

第十一章 常微分方程初值问题数值解法 465

11.1 一些典型过程的微分方程 465

11.1.1 生灭过程与稳定性 465

11.1.2 简谐振动和阻尼谐振 466

11.2.1 常系数线性微分方程组 468

11.2 一般的微分方程组及其稳定性 468

11.2.2 变系数及非线性微分方程组 469

11.2.3 病态微分方程 470

11.3 差分方法和有关的概念 470

11.3.1 尤拉方法 471

11.3.2 截断误差 471

11.4 数值稳定性 471

11.3.3 显式和隐式 472

11.3.4 单步与多步 472

11.4.1 判稳方法 473

11.4.2 尤拉公式的稳定性 474

11.4.3 非线性方程差分解法的判稳问题 475

11.5 隐式方程和相应解法 476

11.5.1 比卡迭代法和预估校正公式 476

11.5.2 牛顿迭代法与预估校正公式 478

11.6 基于数值积分的方法 478

11.7 基于数值微分的方法 483

11.8 基于幂级数展开的方法 485

11.9 方法概述 487

12.1 几个典型方程的特点 488

第十二章 偏微分方程初值问题数值解法 488

12.2 过程的稳定性和定解条件的恰当性 490

12.3 差分格式 492

12.4 差分格式的稳定性 494

12.5 守恒型差分格式 496

12.5.1 守恒律的积分形式与微分形式 497

12.5.2 守恒律的离散形式 500

12.6 扩散方程的差分格式 504

12.7 对流方程的差分格式 509

12.8 双曲型方程组 517

12.9 双曲型方程组的差分格式 520

第十三章 偏微分方程边值问题数值解法 526

13.1 问题的来源 526

13.1.1 椭圆方程及其定解条件 526

13.1.2 守恒原理 527

13.1.3 变分原理 529

13.2 离散化和差分格式 530

13.3 基于守恒原理的差分格式 532

13.4 基于变分原理的差分格式 537

13.5.1 简单迭代法和松弛法 541

13.5 松弛法 541

13.5.2 迭代法概述 544

13.5.3 模型问题的频谱和矩阵表达 546

13.5.4 收敛性分析 548

13.5.5 变参数松弛法 550

13.5.6 初期收敛性的比较 551

13.6 实际计算中的处理 553

13.6.1 收敛控制和问题规模的估计 553

13.6.2 迭代参数的试选方法 554

13.6.3 关于复杂情况的处理 555

13.7.1 简单迭代的加速 556

13.7 变参数简单迭代法 556

13.7.2 平均收敛速度 560

13.7.3 有关参数的试选方法 562

13.7.4 不稳定性和稳化方法 563

13.7.5 递推的切氏迭代法 565

第十四章 有限元方法 569

14.1 变分原理 569

14.1.1 椭圆方程的变分原理 569

14.1.2 关于变分问题的正定性 573

14.2.1 三角剖分 575

14.2 几何剖分与分片插值 575

14.2.2 三角形上的线性插值 576

14.2.3 线元上的线性插值 579

14.2.4 重心坐标 580

14.2.5 三角形上的二次插值 583

14.3 变分问题的离散化 584

14.3.1 单元分析 585

14.3.2 总体合成 587

14.3.3 强加条件和缝隙的处理 591

14.3.4 代数计算和结果解释 592

14.3.5 方法的特点 593

14.4 有限元法的一些应用 593

14.4.1 轴对称问题 594

14.4.2 本征值问题 596

14.4.3 平面弹性问题 599

14.4.4 二次插值的应用 606

附录 算法语言BCY简介 608

1 概述 608

2 BCY中的几种主要成分 610