经典位势论与概率位势论 上PDF电子书下载

第1部分 经典位势理论和抛物型位势理论 1

第Ⅰ章 经典位势理论数学背景的介绍 1

1.Green公式 1

2.函数平均 2

3.调和函数 3

4.调和函数的最大最小值定理 4

5.RN中的基本核和它的位势 4

6.Gauss积分定理 6

7.位势的光滑性；Poisson方程 6

8.调和测度和Riesz分解 10

第Ⅱ章 调和、次调和上调和函数的基本性质 14

1.球的Green函数；Poisson积分 14

2.Harnack不等式 16

3.调和函数有向集的收敛性 18

4.调和、次调和与上调和函数 19

5.上调和函数的最小值定理 20

6.运算？的应用 21

7.用调和函数刻画上调和函数 23

8.可微分上调和函数 24

9.Jensen不等式的应用 25

10.圆环上的上调和函数 25

11.例 27

12.Kelvin变换(N≥2) 28

13.Green集 29

14.球B上的调和函数类Lλ(μB-)和D(μB-)，Riesz-Herglotz定理 30

15.Fatou边界极限定理 34

16.最小调和函数 36

第Ⅲ章 上调和函数族的下确界 38

1.最小上调和强函数(LM)和最大次调和弱函数(GM) 38

2.定理1的一般化 39

3.基本收敛定理(初步) 40

4.约化运算 42

5.约化性质 45

6.紧集上约化的一个最小性质 47

7.正上调和函数的自然(逐点)序分解 48

第Ⅳ章 特殊开集上的位势 50

1.特殊开集及其上的位势 50

2.例 53

3.位势的一个基本最小性质 54

4.递增的位势列 54

5.位势的光滑 55

6.确定位势的测度的唯一性 55

7.与一个上调和函数相伴的Riesz测度 57

8.Riesz分解定理 58

9.R2上的上调和函数Riesz分解的补充 59

10.一个逼近定理 61

第Ⅴ章 极集及其应用 64

1.定义 64

2.和一个极集相位的上调和函数 65

3.极集的可数并 66

4.极集的性质 67

5.上调和函数的扩张 68

6.R2中的Green集作为非极集的补集 71

7.上调和函数最小值定理(定理11.5的推广) 71

8.Evans-Vasilesck定理 73

9.用连续位势逼近位势 74

10.控制原理 75

11.位势的无穷集和Riesz测度 77

第Ⅵ章 基本收敛定理及约化运算 79

1.基本收敛定理 79

2.内极集与极集 81

3.约化运算的性质 83

4.约化性质的证明 87

5.约化和容度 95

第Ⅶ章 Green函数 96

1.Green函GD的定义 96

2.GD的极值性质 98

3.GD的有界性质 99

4.GD的进一步性质 101

5.测试μ的位势GDμ 104

6.递增开集列及其对应的Green函数列 106

7.GD的存在性与D的Green特性 107

8.从特殊集到Green集 108

9.逼近引理 108

10.作为最小调和函数的函数GD(·，？)？D-？ 109

第Ⅷ章 关于相对调和函数的Dirichlet问题 111

1.相对调和、上调和与次调和函数 111

2.PWB方法 113

3.例 118

4.Euclid边界上的连续边界函数(h≡1) 120

5.h-调和测度零集 122

6.PWBh解的性质 125

7.第6节的证明 127

8.h-调和测度 130

9.h-可解边界 135

10.约化与Dirichlet解的关系 138

11.算子？的推广及应用于GMh 140

12.壁 141

13.h-壁与边界点h-规则性 143

14.壁与Euclid边界点的规则性 144

15.规则性的几何意义(Euclid 边界，h≡1) 147

16.第13节的继续 149

17.作为D的函数的h-调和测度μ？ 149

18.GD的扩张G？及当D？B时的调和平均μD(§，G？(η，·)) 151

19.D=R2时第18节的变动 155

20.ΦD作为具有极点∞的Green函数的解释(N=2) 159

21.算子τB的变式 159

第Ⅸ章 格与相关的函数类 161

1.引言 161

2.h-次调和函数u的LM？ 161

3.类(Dμ？-) 162

4.类Lp(μ？-)(p≥1) 164

5.格(S±，≤)和(S+，≤) 166

6.向量格(S，？) 167

7.向量格Sm 170

8.向量格Sp 170

9.向量格Sqb 171

10.向量格Ss 172

11.Riesz分解的一个细化 173

12.球上的h-调和函数格 174

第Ⅹ章 扫除运算 178

1.有关扫除的概念和术语 178

2.调和测度与扫除核的关系 180

3.扫除对称性定理 181

4.δ？的核性质 182

5.扫除测度与函数 183

6.δ？的一些性质 185

7.正调和函数的极点 186

8.极集上的相对调和测度 187

第Ⅺ章 细拓扑 190

1.定义与基本性质 190

2.薄性判别准则 192

3.ξ∈A′的条件 193

4.内极限定理 196

5.细拓扑到RN∪{∞}上的扩张 199

6.RN的子集的细拓扑导集 202

7.应用于基本收敛定理和约化 202

8.细拓扑极限和Euclid拓扑极限 203

9.细拓扑极限和Euclid拓扑极限(续) 204

10.用特殊函数u﹟识别A′ 205

11.拟Lindelōf性 206

12.用细拓扑表示的规则性 207

13.Green集在其Euclid边界集的薄性 208

14.扫除测度的支集 208

15.〖μ〗A的刻画 209

16.一个特殊约化 210

17.上调和函数常值集的细内部 210

18.扫除测度的支集(第14节的续) 211

19.细开集上的上调和函数 213

20.一个广义约化 214

21.上调和函数在其定义域上非规则边界点处的极限 216

22.极限调和测度′μD 218

23.控制原理的推广 221

第Ⅻ章 Martin边界 222

1.动机的形成 222

2.Martin函数 223

3.Martin空间 224

4.正调和函数及其约化的初步表示 226

5.最小调和函数及其极点 228

6.引理4的推广 229

7.非最小Martin边界点集 230

8.最小Martin边界点集上的约化 231

9.Martin表示 231

10.Martin边界的可解性 234

11.Martin边界点处的极小薄性 236

12.极小细拓扑 238

13.定理X1.4(c)与(d)的第一个Martin边界对应结果 241

14.定理X1.4(c)的第二个Martin边界对应结果 242

15.最小Martin边界点上的极小细拓扑极限与Martin拓扑极限 244

16.最小Martin边界点上的极小细拓扑极限与Martin拓扑极限(续) 245

17.极小细Martin边界极限函数 245

18.位势的细边界函数 247

19.Martin空间的Fatou边界极限定理 248

20.关于RN中-球上的相对上调和函数的经典边界极限定理与极小细拓扑边界极限定理 250

21.在半空间边界的非切线方向极限与极小细极限 252

22.半空间的法向边界极限 252

23.半空间上的位势的边界极限函数(极小细与法向的) 254

第ⅩⅢ章 经典能量和容度 256

1.物理背景 256

2.测度及其能量 257

3.负荷及其能量 258

4.位势不等式及对应的能量不等式 259

5.函数D→GDμ 260

6.能量的经典赋值；Hilbert空间方法 261

7.能量泛函(关于RN的任一Green子集D) 264

8.定理7(b+)的另一证明 266

9.引理4的加强 268

10.经典容度函数 268

11.内容度和外容度(第10节的记号) 271

12.平衡位势的极值性质特征表示(第10节的记号) 272

13.C(A)的表达式 274

14.Gauss极小问题及其与约化的关系 275

15.C？对D的依赖 279

16.与R2相关的能量 280

17.Wiener薄性判别准则 282

18.Robin常数及与R2相关的平衡测度(N=2) 284

第ⅩⅣ章 一维位势理论 289

1.引言 289

2.调和、上调和与次调和函数 289

3.收敛定理 289

4.上调和函数和次调和函数的光滑性质 290

5.Dirichlet问题(Euclid边界) 291

6.Green函数 291

7.测度的位势 292

8.定义位势的测度的识别 293

9.Riesz分解 294

10.Martin边界 294

第ⅩⅤ章 抛物型位势理论：基本事实 296

1.约定 296

2.抛物型算子与共抛物算子 297

3.共抛物型多项式 298

4.？N上的抛物型Green函数 300

5.抛物型函数的最大最小值定理 302

6.Green定理的应用 304

7.光滑区域的抛物型Green函数；Riesz分解与抛物型测度(形式的处理) 305

8.区间上的Green函数 307

9.区间的抛物型测度 309

10.抛物型平均 310

11.抛物型情形的Harnack定理 312

12.上抛物型函数 313

13.上抛物型函数最小值定理 315

14.运算？与上抛物型函数平均性质的解释 316

15.柱体上的上抛物型函数与抛物型函数 318

16.Appell变换 319

17.定义于柱体上的抛物型函数的扩张 320

第ⅩⅥ章 平板上的次抛物型、上抛物型与抛物型函数 322

1.平板上的抛物型Poisson积分 322

2.广义上抛物型函数不等式 324

3.次抛物型函数上确界准则 325

4.正抛物型函数恒等于零的一个边界极限准则 326

5.正抛物型函数可用Poisson积分表示的条件 327

6.平板上的抛物型函数类L1(？-)与D(？-) 328

7.抛物型边界极限定理 330

8.平板上的最小抛物型函数 331

第ⅩⅦ章 抛物型位势理论(续) 333

1.最大弱函数与最小强函数 333

2.抛物型基本收敛定理(初步的描述)与约化运算 333

3.抛物型情形的约化运算 334

4.抛物型Green函数 336

5.位势 340

6.位势的光滑性 342

7.Riesz分解定理 345

8.抛物型极集 345

9.抛物型细拓扑 348

10.半极集 350

11.约化性质的初步列举 351

12.抛物型薄性准则 354

13.抛物型基本收敛定理 355

14.基本收敛定理在约化和Green函数上的应用 357

15.基本收敛定理在抛物型细拓扑上的应用 358

16.抛物型约化性质 359

17.16节中约化性质的证明 362

18.经典Green函数用抛物型Green函数的表示(N≥1) 368

19.拟Lindelō？性 371

第ⅩⅧ章 抛物型Dirichlet问题、扫除及例外集 372

1.抛物型情形的相对化与PWB方法 372

2.？-抛物型测度 375

3.抛物型壁 377

4.经典Dirichlet问题和抛物型Dirichlet问题之间的关系 378

5.抛物型情形的经典约化 379

6.边界点的抛物型规则性 381

7.用细拓扑描述规则性 385

8.抛物型情形的扫除 385

9.？的扩张？与？时的抛物型平均？(？，？(·，？)) 387

10.？的条件 390

11.抛物型极集与共抛物型极集 392

12.抛物型半极集与共抛物型半极集 393

13.扫除测度的支集 395

14.一个内极限定理；上抛物型函数的共抛物型细拓扑光滑性 396

15.应用于平板上抛物型情形的Fatou边界极限定理的描述 403

16.抛物型情形的控制原理 404

17.上抛物型函数在其定义域的抛物型非规则边界点的极限 405

18.Martin平坦点集对 408

19.抛物型情形的格与相关函数类 409

第ⅩⅨ章 抛物型情形的Martin边界 410

1.引言 410

2.Martin点集和测度集对的Martin函数 411

3.Martin空间？ 413

4.抛物型情形Martin表示定理的预备 415

5.最小抛物型函数及其极点 417

6.非最小Martin边界点集 418

7.抛物型情形的Martin表示 418

8.平板？=？N×］0，δ［，0<δ≤±∞，的Martin边界 419

9.？N的下半空间与？N的Martin边界 422

10.？=］0，+∞［×］-∞，δ［的Martin边界 423

11.？M上的？WB？解 425

12.抛物型情形的极小细拓扑 426

13.定理XUII1.24(f)的边界对应物 428

14.？M？上位势消失为0 429

15.Martin空间上的抛物型Fatou边界极限定理 430