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第十章 函数项级数 1

第一节 函数项级数的两种收敛性 1

一、点态收敛性及其缺点 1

二、收敛性 5

第二节 函数项级数的一致收敛性判别法 9

第三节 一致收敛函数列的基本性质 14

习题 19

第十一章 幂级数 26

第一节 幂级数的性质与运算 26

一、幂级数收敛域的结构 26

二、幂级数的分析性质 29

三、幂级数的四则运算 34

第二节 函数的幂级数展开 Weierstrass 逼近定理 36

一、Τaylor 级数 36

二、数的幂级数展开法 37

三、Weierstrass 逼近定理 42

第三节 幂级数的应用举隅 45

一、幂级数在近似计算中的应用 45

二、生成函数 50

第四节 复数项幂级数 Euler 公式 53

习题 57

第十二章 Fourier 级数 63

第一节 Fourier 级数 63

一、三角级数 63

二、三角函数系的正交性 64

三、Fourier 系数 Fourier 级数 66

四、最佳平方逼近 Bessel 不等式 68

第二节 收敛定理 71

一、Dirichlet 积分 71

二、Riemann 引理 局部性定理 73

三、收敛定理 75

第三节 函数的 Fourier 级数展开 78

一、周期为2π的f(x)的 Fourier 级数展开 79

二、f(x)的正弦或余弦级数展开 80

三、周期为Τ的f(x)的 Fourier 级数展开 82

四、Fourier 级数的复数形式 83

第四节 Fourier 级数的一致收敛性 逐项求积与逐项求导 86

习题 90

第十三章 多元函数的极限与连续 96

第一节 二元数列 平面点集 96

一、平面点列与二元数列的极限 96

二、R2上的四条基本定理 100

三、开集 闭集 区域 102

四、Borel 有限覆盖定理 104

第二节 二元函数及其极限 104

一、二元函数 104

二、二元函数的极限 106

第三节 二元函数的连续性 有界闭区域上连续函数的基本性质 113

第四节 n维 Euclid 空间 n元函数概述 117

一、n维 Euclid 空间 117

二、n元函数概述 120

习题 121

第十四章 偏导数与全微分 Taylor 公式与极值最值 125

第一节 偏导数与全微分 125

一、偏导数 125

二、全微分 129

第二节 高阶偏导数与高阶全微分 135

一、高阶偏导数 135

二、高阶全微分 139

第三节 复合函数微分法 140

一、复合函数的偏导数 140

二、复合函数的全微分 144

第四节 方向导数与梯度 145

一、方向导数 145

二、梯度 147

第五节 Taylor 公式 极值与最值 148

一、Taylor 公式 148

二、极值与最值 150

习题 161

第十五章 隐函数的微分学及其应用 167

第一节 隐函数 167

一、概念 167

二、隐函数的存在性 连续性 可导性 168

三、隐函数组的存在性 连续性 可导性 175

四、变量代换 182

第二节 隐函数微分的应用举隅 185

一、几何应用 185

二、条件极值 190

习题 200

第十六章 含参变量积分 205

第一节 含参变量的常义积分 205

第二节 含参变量的广义积分 214

一、含参广义积分的一致收敛性 214

二、一致收敛性判别法 217

三、一致收敛含参广义积分的主要性质 221

第三节 Euler 积分 226

一、Γ函数 226

二、B函数 229

第四节 Fourier 变换 232

一、Fourier 积分公式 233

二、Fourier 变换 236

三、Fourier 变换的主要性质 242

习题 243

第十七章 重积分 250

第一节 二重积分的概念与性质 250

一、二重积分的定义 250

二、二重积分的存在性 252

三、二重积分的主要性质 254

第二节 二重积分的计算 255

一、二重积分与累次积分 255

二、用极坐标计算二重积分 261

三、二重积分的换元法 265

第三节 三重积分 269

一、概念 存在性 主要性质 269

二、三重积分的计算 270

第四节 广义重积分 279

一、无界区域上的二重积分 279

二、无界函数的二重积分 284

第五节 重积分的应用举隅 288

一、重积分在几何中的应用 288

二、重积分在物理中的应用 293

习题 298

第十八章 曲线积分与曲面积分 307

第一节 第一型曲线积分 307

一、定义 307

二、存在性与计算法 308

三、主要性质 310

第二节 第二型曲线积分 312

一、定义 312

二、存在性与计算法 315

三、主要性质 316

四、两类曲线积分之间的联系 319

第三节 Green 公式 320

一、Green 公式 320

二、二重积分换元法的证明 326

三、曲线积分与路径无关的条件 328

第四节 第一型曲面积分 333

一、定义 333

二、存在性与计算法 334

第五节 第二型曲面积分 338

一、曲面的侧 338

二、双侧曲面的定侧 339

三、第二型曲面积分 341

四、两类曲面积分之间的联系 346

第六节 Gauss 公式 Stokes 公式 347

一、Gauss 公式 347

二、Stokes 公式 351

习题 356

第十九章 场论初步 365

第一节 梯度场 散度场 旋度场 365

一、场 365

二、梯度场 368

三、散度场 369

四、旋度场 371

第二节 管形场 有势场 调和场 374

一、管形场 374

二、有势场 377

三、调和场 378

习题 379

附录 外微分略述 382

一、外积与外微分形式 382

二、外微分 385

三、对梯度、旋度、散度的回顾 386

四、对 Newton-Leibnitz 公式、Green 公式、Stokes 公式、Gauss 公式的回顾 387

习题 389