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第一章 复数和复函数 1

1.1 复数 1

1. 复数域 1

2. 复数的几何表示 2

3. 球极投影、复球面、无穷远点、扩充复平面 6

习题1.1 8

1.2 复变函数 9

1. 复变函数的概念 9

2. 复变函数的极限与连续性 10

3. 同伦概念和区域的连通性 11

4. 辐角函数 15

习题1.2 20

1.3 复数列和复级数 22

1. 复数列和复数项级数 22

2. 复函数列和复函数项级数 23

习题1.3 24

第一章习题 24

1. 导数及其几何意义 26

2.1 解析函数 26

第二章 解析函数基础 26

2. 解析函数概念 30

习题2.1 32

2.2 一些初等解析函数 33

1. 多项式和有理函数 33

2. 指数函数 33

3. 三角函数和双曲函数 35

4. 对数函数 37

5. 幂函数和根式函数 40

6. 多值函数分枝问题 44

7. 有理函数的对数 48

8. 有理函数的方根 51

9. 反三角函数和反双曲函数 54

习题2.2 55

第二章习题 57

第三章 复积分 59

3.1 复积分概念 59

1. 复积分的定义及计算 59

2. 复积分的基本性质 62

习题3.1 63

3.2 基本定理 64

1. 柯西积分定理 65

2. 原函数 71

习题3.2 75

3.3 基本公式 76

1. 柯西积分公式 76

2. 柯西导数公式 78

4. 莫瑞勒(Morera)定理 81

3. 柯西不等式 81

习题3.3 82

3.4 反常复积分 83

1. 反常复积分的定义 83

2. 柯西主值积分 85

3. 高阶奇异积分 88

习题3.4 91

第三章习题 91

4.1 一般理论 93

1. 复函数项级数的逐项积分和逐项求异 93

第四章 解析函数的级数理论 93

2. 幂级数及其和函数 94

习题4.1 97

4.2 泰勒展式及唯一性定理 98

1. 解析函数的泰勒展式 98

2. 解析函数的唯一性 105

3. 最大模原理 107

习题4.2 109

4.3 罗朗展式及孤立奇点 111

1. 解析函数的罗朗展式 112

2. 求罗朗展式的方法 114

3. 解析函数的孤立奇点 118

4. 整函数和亚纯函数 125

习题4.3 127

第四章习题 129

第五章 留数理论 131

5.1 留数及其计算 131

1. 留数概念 132

2. 无穷远点处的留数 135

3. 边界点的情形 137

习题5.1 139

5.2 留数定理及其推广 140

1. 留数定理 140

2. 推广的留数定理 143

习题5.2 147

5.3 应用于积分计算 147

1. 单值解析函数的应用 148

2. 多值解析函数的应用 153

习题5.3 161

3. 高阶奇异积分的应用 161

5.4 辐角原理和儒歇(Rouche)定理 163

1. 辐角原理 163

2. 儒歇定理 165

习题5.4 167

第五章习题 168

第六章 解析开拓 171

6.1 解析开拓的概念和方法 171

1. 基本概念 171

2. 透弧开拓 172

3. 幂级数开拓 178

习题6.1 181

6.2 完全解析函数及单值性定理 183

1. 完全解析函数和黎曼面 183

2. 单值性定理 185

习题6.2 190

第六章习题 190

第七章 共形映照 191

7.1 分式线性映照 191

1. 共形性 192

3. 三对对应点决定分式线性映照 194

2. 映照群、不动点 194

4. 保圆周及侧 195

5. 保对称点 198

6. 三个特殊的分式线性映照 200

习题7.1 204

7.2 共形映照的一般理论 205

1. 单叶解析函数的性质 205

2. 黎曼映照定理 208

3. 边界对应定理 211

习题7.2 213

7.3 几个初等函数的映照 214

1. 指数与对数函数映照 214

2. 幂函数映照 216

3. 儒可夫斯基(Жуковский)函数映照 218

4. 余弦函数映照 220

习题7.3 222

7.4 综合实例 223

1. 已知函数求映照区域 223

2. 已知对应区域求映照函数 224

习题7.4 235

第七章习题 237

第八章 调和函数 240

8.1 调和函数的概念及其性质 240

1. 调和函数与解析函数的关系 240

2. 极值原理 243

3. 波阿松(Poisson)公式及均值公式 244

习题8.1 246

1. 一般狄里克来问题 247

8.2 狄里克来(Dirichlet)问题 247

2. 波阿松积分的性质 248

3. 圆域上的狄里克来问题 250

4. 上半平面的狄里克来问题 250

习题8.2 252

8.3 许瓦兹(Schwarz)-克里斯多菲(Christoffel)公式 252

习题8.3 260

第八章习题 260

9.1 解析函数的流体力学意义 263

第九章 解析函数在平面场中的应用 263

1. 复环流 264

2. 复势 265

3. 源(汇)点、涡点 267

4. 偶极子 268

习题9.1 269

9.2 柱面绕流与机翼升力计算 269

1. 圆盘绕流 270

2. 一般截面绕流 272

3. 机翼升力计算 273

习题9.2 275