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第一章 函数用无穷级数和无穷乘积展开 1

1.1 伯努利(Bernoulli)多项式与伯努利数 1

1.2 欧勒(Euler)多项式与欧勒数 5

1.3 欧勒-麦克洛临(Euler-Maclaurin)公式 7

1.4 拉格朗日(Lagrange)展开公式 13

1.5 半纯函数的有理分式展开.米塔格-累夫勒(Mittag-Leffler)定理 16

1.6 无穷乘积 21

1.7 函数的无穷乘积展开.外氏(Weierstrass)定理 24

1.8 渐近展开 28

1.9 拉普拉斯(Laplace)积分的渐近展开.瓦特孙(Wstson)引理 33

1.10 用正交函数组展开 35

习题 40

第二章 二阶线性常微分方程 46

2.1 二阶线性常微分方程的奇点 46

2.2 方程常点邻域内的解 46

2.3 方程奇点邻域内的解 50

2.4 正则解.正则奇点 54

2.5 夫罗比尼斯(Frobenius)方法 59

2.6 无穷远点 61

2.7 傅克斯(Fuchs)型方程 62

2.8 具有五个正则奇点的傅克斯型方程 64

2.9 具有三个正则奇点的傅克斯方程 66

2.10 非正则奇点.正则形式解 70

2.11 非正则奇点.常规解和次常规解 71

2.12 积分解法.基本原理 76

2.13 拉普拉斯型方程和拉氏变换 78

2.14 欧勒变换 83

习题 86

第三章 伽马函数 90

3.1 伽马函数的定义 90

3.2 递推关系 91

3.3 欧勒无穷乘积公式 92

3.4 外氏(Weierstrass)无穷乘积 94

3.5 伽马函数与三角函数的联系 95

3.6 乘积公式 96

3.7 围道积分 97

3.8 欧勒第一类积分.B函数 99

3.9 双周围道积分 101

3.10 狄里希累(Dirichlet)积分 102

3.11 Г函数的对数微商 103

3.12 渐近展开式 106

3.13 渐近展开式的另一导出法 108

3.14 里曼(Riemann)ζ函数 110

3.15 ζ函数的函数方程 111

3.16 s为整数时ζ(s,a)之值 113

3.17 厄密(Hermite)公式 114

3.18 与伽马函数的联系 116

3.19 ζ函数的欧勒乘积 119

3.20 ζ函数的里曼积分 120

3.21 伽马函数的渐近展开的又一导出法 121

3.22 ζ函数的计算 124

习题 125

第四章 超几何函数 131

4.1 超几何级数和超几何函数 131

4.2 邻次函数之间的关系 133

4.3 超几何方程的其他解用超几何函数表示 135

4.4 指标差为整数时超几何方程的第二解 139

4.5 超几何函数的积分表示 145

4.6 超几何函数的巴恩斯(Bar nes)积分表示 148

4.7 F(α，β，γ，1)之值 151

4.8 在奇点0，1，∞附近的基本解之间的关系.解析开拓 155

4.9 γ--α--β，α--β是整数的情形 157

4.10 雅可毕(Jacobi)多项式 164

4.11 切比谢夫(Чебыщев)多项式 168

4.12 二次变换 173

4.13 库末(Kummer)公式以及由它导出的求和公式 180

4.14 参数大时的渐近展开 182

4.15 广义超几何级数 186

4.16 两个变数的超几何级数 188

4.17 F1和F2的变换公式 192

4.18 可约化的情形 193

习题 198

第五章 勒让德函数 206

5.1 勒让德(Legendre)方程 206

5.2 勒让德多项式 207

5.3 Pn(x)的生成函数.微商表示--罗巨格(Rodrigues)公式 210

5.4 Pn(x)的积分表示 212

5.5 Pn(x)的递推关系 213

5.6 勒让德多项式作为完备正交函数组 214

5.7 Pn(x)的零点 218

5.8 第二类勒让德函数Qn(x) 219

5.9 Qn(x)的递推关系 225

5.10 函数？用勒让德函数展开.诺埃曼(Neumann)展开 225

5.11 连带勒让德函数P？(x) 228

5.12 P？(x)的正交关系 230

5.13 P？(x)和Q？(x)的递推关系 233

5.14 加法公式 235

5.15 球面谐函数Ylm(θ，Φ) 238

5.16 普遍的连带勒让德函数P？(z) 241

5.17 Q？(z) 245

5.18 割缝-∞＜x＜1上P？(x)的定义 249

5.19 割缝-∞＜x＜1上Q？(x)的定义 252

5.20 P?(z)和P?(z)的其他积分表示 256

5.21 加法公式 261

5.22 P?(cosθ)和Q？(cosθ)当v→∞时的渐近展开式 265

5.23 特种球多项式C？(x) 268

习题 271

第六章 合流超几何函数 288

6.1 合流超几何函数 288

6.2 邻次函数间的关系 290

6.3 惠泰克(Whittaker)方程和惠泰克函数Mk,m(z) 291

6.4 积分表示 293

6.5 惠泰克函数Mk,m(z) 296

6.6 Mk,m(z)当z→∞时的渐近展开 298

6.7 Mk,m(z)的巴恩斯积分表示 302

6.8 M±k,m(±z)与M±k±m(±z)的关系.F(α,γ,z)的渐近展开.斯托克斯(Stokes)现象 304

6.9 γ(或2m)为整数的情形 307

6.10 |α|，|γ|很大时F(α，γ，z)的渐近展开 309

6.11 可约化为合流超几何方程的微分方程 310

6.12 韦伯(Weber)方程.抛物线柱函数Dn(z) 312

6.13 厄密(Hermite)函数和厄密多项式 317

6.14 拉革尔(Laguerre)多项式 318

6.15 其他一些可用惠泰克函数表示的特殊函数误差函数，不完全伽马函数，对数积分函数，指数积分函数 323

习题 326

第七章 贝塞耳函数 337

7.1 贝塞耳(Bessel)方程及其来源.与合流超几何方程的关系 337

7.2 第一类贝塞耳函数J±v(z)2v≠整数 339

7.3 半奇数阶贝塞耳函数Jn+?(z) 341

7.4 Jv(z)的积分表示 343

7.5 整数阶贝塞耳函数Jn(z) 350

7.6 第二类塞耳函数Yv(z) 355

7.7 第三类贝塞耳函数(汉克耳(Hankel)函数)H？(z)，H？(z) 359

7.8 变型(或虚宗量)贝塞耳函数Iv(z)和Kv(z).汤姆孙(Thomson)函数berv(z),beiv(z)等 364

7.9 球贝塞耳函数jl(z),nl(z),h(?)z,h？(z) 367

7.10 渐近展开，|z|→∞的情形 369

7.11 最陡下降法 371

7.12 v阶贝塞耳函数在|v|和|z|都很大时的渐近展开 375

7.13 加法公式 385

7.14 含贝塞耳函数的积分.(一)有限积分 389

7.15 含贝塞耳函数的积分.(二)无穷积分 391

7.16 诺埃曼(Neumann)展开 403

7.17 卡普坦(Kapteyn)展开 406

7.18 贝塞耳函数的零点 411

7.19 傅里叶(Fourier)-贝塞耳展开 415

习题 417

第八章 外氏椭圆函数 448

8.1 椭圆积分与椭圆函数 448

8.2 椭圆积分的周期 451

8.3 双周期函数和椭圆函数的一般性质 454

8.4 函数p(z) 457

8.5 p(z)和p′(z)之间的代数关系 460

8.6 函数ζ(z) 462

8.7 函数σ(z) 464

8.8 外氏椭圆函数的齐次性 467

8.9 普遍椭圆函数表达式 467

8.10 加法公式 472

8.11 三次曲线的坐标用椭圆函数表达 475

8.12 四次多项式问题 477

8.13 亏数为一的曲线 480

习题 484

第九章 忒塔函数 488

9.1 函数θ(v) 488

9.2 函数？k(v) 490

9.3 椭圆函数用忒塔函数表达 492

9.4 ？k(v)的平方之间的关系 493

9.5 加法公式 494

9.6 忒塔函数所满足的微分方程 495

9.7 一些常数的值 497

9.8 勒让德第一种椭圆积分 500

9.9 雅氏虚变换 503

9.10 朗登(Landen)型变换 506

9.11 忒塔函数用无穷乘积表示 507

9.12 忒塔函数的对数微商用傅里叶级数展开 510

9.13 函数？(u)和H(u) 512

习题 512

第十章 雅氏椭圆函数 520

10.1 雅氏椭圆函数的sn u,cn u ,dn u 520

10.2 雅氏椭圆函数的几何表示法 521

10.3 全椭圆积分 524

10.4 加法公式 526

10.5 雅氏椭圆函数的周期性 528

10.6 雅氏椭圆函数的极点和零点 529

10.7 椭圆函数的变换 531

10.8 椭圆积分的演算 534

10.9 第二种椭圆积分 541

10.10 第三种椭圆积分 542

10.11 函数E(u)的性质 545

10.12 K和E对k的微分方程和对k的展开式 548

10.13 雅氏椭圆函数与忒塔函数的关系 551

10.14 雅氏椭圆函数用无穷乘积和傅里叶级数表达 556

习题 559

第十一章 拉梅函数 565

11.1 椭球坐标 565

11.2 坐标用椭圆函数表达 568

11.3 拉梅(Lemé)方程 570

11.4 四类拉梅函数 573

11.5 椭球谐函数 579

11.6 尼文(Niven)的表达式 581

11.7 关于拉梅多项式的零点 586

11.8 第二种拉梅函数 587

11.9 广义拉梅函数 589

11.10 拉梅函数的积分方程 593

11.11 椭球谐函数的积分表达式 596

习题 598

第十二章 马丢函数 601

12.1 马丢(Mathieu)方程 601

12.2 解的一般性质.基本解 602

12.3 夫洛开(Floquet)解 604

12.4 马丢方程的周期解 606

12.5 夫洛开解的傅里叶展开 607

12.6 本征值λ(q)的计算公式 610

12.7 马丢函数cem(z)和sem(z) 613

12.8 λv(q)依q的幂级数展开 617

12.9 当q小的时候马丢函数cem(z),sem(z)的傅里叶展开 620

12.10 无穷行列式 622

12.11 希耳(Hill)方程 623

12.12 马丢方程的稳定解与非稳定解.稳定区与非稳定区 628

12.13 λ>>q＞0时马丢方程的近似解 630

12.14 马丢函数的积分方程 634

习题 636

附录一 三次方程的根 645

附录二 四次方程的根 647

附录三 正交曲面坐标系 649

参考书目 667

符号 668

索引 673

外国人名对照索引 678

出版后记 681