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第一章 复变函数与解析函数 1

1 复数 1

1.复数域 1

2.共轭复数与复数的模 2

3.三角不等式 5

4.柯西(Cauchy)不等式 6

习题1-1 7

2 复数的几何表示 9

习题1-2 18

3 复变函数与平面点集 19

1.复变函数 19

2.平面点集 23

习题1-3(A) 28

1.函数的极限与连续性 29

4 解析函数与Cauchy-Riemann方程 29

习题1-3(B) 29

2.函数的导数与解析性 31

3.函数解析的条件：Cauchy-Riemann方程 34

习题1-4 39

5 几个初等解析函数 40

1.指数函数 40

2.三角函数与双面函数 41

3.对数函数 43

4.一般幂函数与一般指数函数及反三角函数 45

习题1-5 47

第二章 柯西(Cauchy)积分定理 49

1 复变函数的积分 49

习题2-1 54

1.Cauchy积分定理 55

2 Cauchy积分定理与积分公式 55

2.Cauchy积分公式 62

3.闭曲线围绕一点的指标 66

4.高阶导数 68

5.Liouville定理与Morera定理 73

习题2-2(A) 75

习题2-2(B) 77

3 Cauchy积分定理的证明 78

4 最大模定理和Schwarz引理 83

习题2-4 87

第三章 解析函数的级数展开 89

1 函数项级数的收敛性 89

1.复数项级数的收敛与发散 89

2.函数项级数的一致收敛 90

3.一致收敛级数的分析性质 93

习题3-1 98

2 幂级数与收敛半径 99

习题3-2 105

3 解析函数的Taylor展开 106

习题3-3 112

4 解析函数的零点 114

习题3-4 115

5 Laurent级数与孤立奇点 116

1.Laurent级数 116

2.孤立奇点 124

3.亚纯函数 128

习题3-5 129

1 留数及其计算法 131

第四章 留数 131

习题4-1 137

2 实积分计算中的留数应用 138

1.三角积分 139

2.有理函数的积分？f(x)dx 141

3.Fourier积分变换？f(x)e？dx 143

4.实轴上有单极点的积分？f(x)dx与？f(x)e？dx的主值 146

5.Fresnel积分 149

6.积分？dx 152

习题4-2 154

3 辐角原理与Rouché定理 155

习题4-3 162

第五章 共形映照 163

1 一般概念 163

习题5-1 170

2 分式线性映照 171

1.分式线性映照把圆映为圆 173

2.分式线性映照把对称点映为对称点 174

3.分式映照的唯一性 180

习题5-2 182

3 几个常用的共形映照 183

1.指数函数及对数函数实现的映照 183

2.幂函数实现的映照 185

3.茹可夫斯基函数w=?(z+?)的映照性质 191

习题5-3 197

4 Riemann映照定理与边界对应 198

习题5-4 200

5 Schwarz-Christoffel变换 200

习题5-5 206

1 解析延拓的概念 207

第六章 解析延拓 207

2 解析延拓的基本方法 209

1.幂级数延拓 209

2.Schwarz对称原理 210

习题6-2 215

3 黎曼面(Riemann-surface) 216

习题6-3 220

第七章 调和函数 221

1 调和函数的一般性质 221

1.调和函数与解析函数 221

2.平均值定理与极大值定理 224

3.Poisson公式 225

2 平面区域上的Dirichlet边值问题 228

习题7-1 228

习题7-2 233

第八章 拉普拉斯(Laplace)变换 234

1 Laplace变换及其性质 234

1.基本概念 234

2.某些基本的Laplace变换 235

3.Laplace变换的基本性质 237

习题8-1 242

2 Laplace逆变换及应用举例 243

1.反演公式 243

2.Laplace变换的应用举例 247

习题8-2 250

附录Ⅰ 外国人名译名对照表 251

附录Ⅱ 习题答案 252