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第一章　线性空间与内积空间 1

1.1　集合与映射 1

一、集合及其运算 1

二、映射及其性质 6

三、可数集 9

四、实数集的确界 12

1.2　线性空间 14

一、线性空间的定义和例子 14

二、线性空间的子空间 16

三、线性空间的基与维数 18

四、线性算子 20

五、线性算子的零空间 22

六、线性同构 23

1.3　内积空间 23

一、内积空间的定义及内积的性质 24

二、内积空间的例子 27

三、正交 28

1.4　内积空间中的正交系 29

四、内积空间的子空间与同构 29

习题一 33

第二章　矩阵的相似标准形 35

2.1　特征矩阵及其Smith标准形 35

一、方阵的特征矩阵 35

二、特征矩阵的Smith标准形 38

2.2　特征矩阵的行列式因子与初等因子 43

一、行列式因子 43

二、初等因子 46

三、初等因子的求法 48

2.3　矩阵的相似标准形 50

一、矩阵相似的充分必要条件 50

二、Jordan标准形 51

三、有理标准形 56

2.4　矩阵的零化多项式与最小多项式 59

一、零化多项式 59

二、最小多项式 62

三、方阵可对角化的又一充分必要条件 67

一、正规矩阵、酉矩阵、Hermite．矩阵 69

2.5　正规矩阵及其酉对角化 69

二、酉矩阵的性质 70

三、正规矩阵的性质 74

四、Hermite矩阵的性质 77

五、Hermite二次型 80

六、正定矩阵及其性质 81

习题二 84

3.1　赋范线性空间 88

第三章　赋范线性空间及有界线性算子 88

一、赋范线性空间的定义 89

二、由范数导出的度量 92

三、收敛序列与连续映射 94

四、Cauchy序列与Banach空间 99

五、等价范数 107

六、子空间 107

附录　函数列的一致收敛 108

一、开集和闭集 109

3.2　赋范线性空间中的点集 109

二、集合的闭包 112

三、稠密集与可分空间 114

3.3　度量空间 116

一、度量空间的定义 117

二、度量空间中的点集和序列的收敛 119

三、完备化空间 121

四、连续映射及其等价命题 122

一、从Riemann积分到Lebesgue积分 123

3.4　Lebesgue积分与Lp空间 123

二、集合的Lebesgue测度 126

三、可测函数 129

四、Lebesgue积分的定义 130

五、Lebesgue积分的几个重要定理 134

六、Lp［a,b］空间 136

3.5　紧性 138

3.6　有界线性算子 140

一、有界线性算子及算子范数 141

二、线性算子的有界性与连续性 143

三、有界线性算子空间 145

四、有界线性算子的乘积 147

3.7　有限维赋范线性空间 147

一、有限维赋范线性空间的完备性 148

二、有限维线性空间上范数的等价性 150

三、有限维赋范线性空间上线性算子的有界性 152

3.8　方阵范数 153

一、方阵范数 153

二、方阵的算子范数 157

三、方阵的谱半径 160

3.9　有界线性泛函 164

一、有界线性泛函和Hahn-Banach定理 164

二、对偶空间 166

三、二次对偶空间和自反空间 170

四、Hilbert空间上有界线性泛函的表示 171

五、伴随算子 173

习题三 179

一、向量值函数的导数 183

4.1　向量和矩阵的微分与积分 183

第四章　矩阵分析 183

二、单元函数矩阵的微分 186

三、单元函数矩阵的积分 188

4.2　方阵函数 190

一、方阵序列收敛的充分必要条件及性质 190

二、方阵幂级数 194

三、方阵函数 197

四、方阵函数的性质 199

一、当A可对角化时f（A）的计算 202

4.3　方阵函数值的计算 202

二、当A不能对角化时计算f（A） 204

三、将f（A）表示为A的多项式 210

四、谱映射定理 213

4.4　etA在解线性常微分方程组中的应用 214

一、一阶线性常微分方程组的向量表示 214

二、一阶线性常微分方程组初值问题的解 215

习题四 220

5.1　解线性方程组的Gauss消去法 223

第五章　代数方程组的解法 223

一、顺序Gauss消去法 224

二、列主元素Gauss消去法 228

三、线性方程组的性态与条件数 230

5.2　矩阵的三角分解 233

一、Doolittle分解 233

二、追赶法 240

5.3　压缩映射原理 242

一、迭代法的一般形式及其收敛性 245

5.4　解线性方程组的迭代法 245

二、Jacobi迭代法 247

三、Seidel迭代法 250

四、SOR迭代法 253

5.5　非线性方程组迭代法的一般理论 257

一、简单迭代格式及其适定性 257

二、迭代格式的收敛性与收敛阶 259

5.6　解非线性方程组的Newton法 264

一、Newton格式 264

二、局部收敛定理 265

三、Newton格式的变形 269

习题五 271

第六章 广义Fourier级数与最佳平方逼近 274

6.1　正交投影和广义Fourier级数 274

一、正交投影与正交分解 274

二、Fourier系数与Bessel不等式 278

三、完全标准正交系及其等价条件 280

6.2　函数的最佳平方逼近 283

一、最佳平方逼近问题 284

二、多项式逼近 286

6.3　几种重要的正交多项式 289

一、Legendre多项式 289

二、关于权函数的正交多项式系 295

三、正交多项式的主要性质 299

6.4　曲线拟合的最小二乘法 305

习题六 309

附录 习题答案 311