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第一章 微分方程与差分方程 1

一、微分方程式 1

(一)概述 1

(二)一阶线性微分方程的解 4

(三)常系数线性微分方程的通解 7

1.微分算子及其性质 7

2.通解的一般形式 8

(四)常系数微分方程的特解 10

1.消除强迫函数算子法 10

2.分解齐次方程算子法 13

3.待定系数法 19

(五)常系数线性微分方程组的解 21

(六)应用例题 23

二、差分方程式 30

(一)概述 30

(二)差分的定义 32

(三)齐次差分方程的解 35

1.通解及其线性差分方程算子 35

2.应用例题 37

(四)差分方程的特解 38

1.消除强迫函数算子法 38

2.待定系数法 42

三、微分方程初值问题的数值解 43

(一)概述 44

1.离散化 44

2.微分方程的特解转化为差分方程的数值解 44

3.数值解的精度 46

(二)尤拉法 47

(三)龙格-库塔法 51

参考文献 55

第二章 褶积 56

一、概述 57

(一)单位脉冲序列 57

(二)褶积的定义 57

(三)褶积的性质 59

(四)褶积的计算步骤 59

二、褶积的阵列方法 61

三、闭形脉冲响应函数的解法 64

(一)开型与闭型的解函数 64

(二)闭型解函数的求法 65

(三)初始条件的确定 67

四、褶积的算子运算方法 68

五、两个连续时间函数的褶积 70

(一)狄拉克 δ(ｔ)函数 70

(二)褶积的连续形式 72

六、阶跃响应与脉冲响应的关系 74

(一)基本关系 74

(二)三个重要定理 76

七、由微分方程求脉冲响应 79

八、褶积的逆 84

参考文献 86

第三章 线性代数 87

一、列向量 87

(一)列向量的定义 87

(二)列向量的运算 88

(三)向量的线性相关与线性无关 90

二、矩阵 91

(一)矩阵的定义 91

(二)矩阵的运算 94

(三)矩阵的应用举例 105

三、矩阵的相似变换 112

(一)相似矩阵 112

(二)本征值与本征向量 113

(三)相似矩阵的本征值 115

(四)本征矩阵与若当典则矩阵 118

1.本征矩阵及其有关性质 118

2.相似变换矩阵的确定 120

3.相似矩阵的基本定理 125

四、欧几里得空间的内(标量)积 127

(一)内积与范数的定义 127

(二)许瓦尔兹(Schwartz)不等式 132

(三)正交与自然基向量 132

(四)内积与点积 134

(五)列向量与矩阵的内积 135

五、二次型及其定义符号矩阵 136

六、时变向量与矩阵 138

(一)时间导数 139

(二)时间积分 141

七、梯度向量与雅可比矩阵 143

参考文献 148

第四章 z 变换 149

一、z 变换的定义 149

二、z 变换的闭型表达式 151

三、典型 z 变换函数 154

四、z 变换的重要定理 158

五、z 变换定理的应用 165

六、z 变换的收敛范围 171

七、逆 z 变换 174

(一)长除法 174

(二)分部分数展开法 176

(三)应用留数定理 182

八、扩充 z 变换 187

(一)扩充 z 变换的定义 187

(二)典型的扩充 z 变换函数 188

(三)逆扩充 z 变换 189

九、z 变换的应用 190

参考文献 196

第五章 傅利叶变换 197

一、正交函数集 197

二、函数的近似 199

三、傅利叶级数 204

四、傅利叶变换 207

五、傅利叶变换的特性 213

六、能量谱与功率谱 222

七、傅利叶变换在数字采样控制中的应用 225

八、离散傅利叶变换 228

九、快速傅利叶变换 232

参考文献 239

第六章 拉普拉斯变换 241

一、拉普拉斯变换与傅利叶变换的关系 241

二、拉普拉斯变换的收敛范围 242

三、拉普拉斯变换的性质 245

四、逆拉普拉斯变换 250

(一)单向拉普拉斯逆变换 250

1.分部分数展开法 250

2.留数展开法 256

(二)双向拉普拉斯逆变换 258

五、s 传递函数 260

六、拉普拉斯变换与 z 变换的关系 261

七、拉普拉斯变换的应用 265

参考文献 273

第七章 时域运算 274

一、状态方程 274

(一)状态方程的一般形式 274

(二)微分方程转换成状态方程 278

(三) s 传递函数变换成状态方程 282

(四) z 传递函数变换成状态方程 289

二、状态方程的解 293

(一)定常线性系统 293

(二)时变系统 299

(三)线性离散系统 300

三、状态变量的线性变换 303

四、转移矩阵 eAt 与对角线化转换矩阵 P 的计算方法 310

(一)转移矩阵的计算 310

1.相似变换法 310

2.最小多项式计算法 310

3.拉普拉斯逆变换法 314

4.指数函数展开法 317

(二)对角线化转换矩阵 P 的计算 317

五、可控性与可观测性矩阵 323

(一)可观测性 323

1.可观测性的格兰姆矩阵 324

2.线性定常连续时间系统的可观测性判断矩阵 325

3.线性定常离散系统的可观测性判断矩阵 328

(二)可控性 329

1.可控性的格兰姆矩阵 330

2.线性定常连续时间系统的可控性判断矩阵 332

3.线性定常离散时间系统的可控性判断矩阵 335

六、李雅普诺夫方程与李雅普诺夫函数 337

(一)稳定性 337

(二)李雅普诺夫函数 339

(三)李雅普诺夫方程的解 341

(四)李雅普诺夫函数的构成 342

七、黎卡提方程 345

(一)控制系统的黎卡提方程 345

(二)确定在终端时刻 T 的伴随变量 P(T) 348

(三)黎卡提方程的数值解 350

1.尤拉法 351

2.霍因法 353

3.四阶龙格-库塔法 354

(四)克莱曼方法 359

(五)波特尔(Potter)方法 362

参考文献 364

第八章 集与空间 365

一、集的定义 365

二、集的运算 366

三、函数 368

四、距离 368

五、域与极限 369

六、开集与闭集 371

七、测度 373

八、零集 374

九、边界上的集 374

十、稠密与致密集 375

十一、空间 378

十二、超几平面与锥 381

十三、凸集与凸锥 384

十四、应用举例 388

参考文献 400

第九章 变分方法 401

一、概述 401

二、欧拉方法 404

(一)欧拉方程 404

(二)具有限制条件的欧拉方程 411

(三)控制系统的变分表示式 413

三、希尔伯脱空间的变分原理 416

(一)算子的概念 416

(二)变分原理 419

(三)吕兹方法 422

(四)吕兹方法与欧拉方法的比较 428

参考文献 432

第十章 概率论与随机过程 433

一、概率的定义 433

二、概率函数 437

(一)离散随机变数的概率分布 437

(二)连续随机变数的概率分布 440

1.高斯分布密度 443

2.多维概率分布密度 444

三、概率的基本运算法则 450

(一)离散型 451

(二)连续型 453

四、随机变量的数字特征与白噪声 455

(一)数学期望 455

(二)方差 457

(三)协方差矩阵 460

(四)矩 468

(五)相关函数 469

(六)白噪声 470

五、概率论在控制理论中的应用 471

六、随机过程 475

(一)随机过程的特性 475

(二)随机序列的收敛 477

(三)随机变量的微分与积分 478

七、特定的随机过程 483

(一)马尔柯夫过程 483

(二)平稳过程 486

(三)独立增量过程与维纳过程 488

(四)特定随机过程的应用 494

八、滤波、预测与平滑 500

(一)最佳准则与预测 501

(二)离散过程的滤波 504

(三)离散过程的平滑 507

九、伊藤积分 511

(一)eξ(t)的增量近似函数 512

(二)维纳积分 513

(三)伊藤积分的定义 514

(四)伊藤积分的性质 515

(五)二阶随机积分 516

(六)伊藤随机微分 517

(七)伊藤积分运算 520

参考文献 523