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引言 1

第一章 复数与复变函数 3

1.复数 3

1.复数域 3

2.复平面 4

3.复数的模与幅角 6

4.复数的乘幂与方根 10

5.共轭复数 12

6.曲线的复数方程 13

2.区域与约当曲线 16

1.平面点集的几个基本概念 16

2.复平面上的点集 16

3.单连通区域 20

3.复变函数的概念及其极限与连续性 21

1.复变函数的概念 21

2.复变函数的极限与连续性 25

4.复球面与无穷远点 28

1.复球面 28

2.扩充复平面上的几个概念 30

习题 31

1.导数与解析函数的定义 36

第二章 解析函数 36

1.解析函数的概念与柯西-黎曼条件 36

2.柯西-黎曼条件 38

3.由柯西-黎曼条件所得的推论 43

2.解析函数与调和函数的关系 44

3.初等解析函数 48

1.指数函数 48

2.三角函数与双曲函数 49

4.初等多值解析函数 52

1.根式函数 53

2.对数函数 63

3.反三解函数与反双曲函数 68

4.一般幂函数与一般指数函数 71

习题 72

第三章 复变函数的积分 76

1.复积分的概念及其简单性质 76

1.复积分的定义及其计算方法 76

2.复变函数积分的基本性质 79

3.沿逐段光滑曲线积分的计算问题 80

1.柯西积分定理 83

2.柯西积分定理 83

2.柯西积分定理的古莎证明 84

3.不定积分 88

4.柯西积分定理的推广 91

5.柯西积分定理推广到复围线的情形 92

3.柯西积分公式及其推论 94

1.柯西积分公式 94

2.解析函数的无穷可微性 97

3.柯西不等式，刘维尔定理 99

4.解析函数的等价概念 100

4.平面向量场--解析函数的应用(一) 101

1.流量与环量 102

2.无源、漏的无旋流动 103

3.复势 104

习题 106

第四章 解析函数的幂级数表示法 109

1.复级数的基本性质 109

1.数项级数 109

2.一致收敛的复函数项级数 112

3.解析函数项级数 116

1.幂级数的敛散性 117

2.幂级数 117

2.柯西-阿达玛定理 120

3.幂级数和的解析性 124

3.解析函数的泰勒展式 125

1.泰勒定理 125

2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 127

3.一些初等函数的泰勒展式 128

4.解析函数的零点及唯一性定理 134

1.解析函数的零点 134

2.唯一性定理 135

3.最大模原理 137

习题 139

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 142

1.解析函数的罗朗展式 142

1.双边幂级数 142

2.解析函数的罗朗展式 143

3.罗朗级数与泰勒级数的关系 146

4.解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式 148

1.孤立奇点的三种类型 151

2.解析函数的孤立奇点 151

2.可去奇点 152

3.极点 153

4.本性奇点 155

3.解析函数在无穷远点的性质 159

4.整函数与亚纯函数概念 163

1.整函数 163

2.亚纯函数 164

5.解析函数的应用(二) 165

1.奇点的流体力学意义 165

2.在电场中的应用举例 167

习题 170

第六章 残数及其应用 174

1.残数 174

1.残数的定义及残数定理 174

2.残数的求法 176

3.无穷远点的残数 181

2.用残数计算实积分 183

1.计算？R(eosθ，sinθ)dθ型积分 183

2.计算？dr型积分 187

3.计算？eimrdx型积分 190

4.计算积分路径上有奇点的积分 193

5.杂例 194

6.关于多值函数的积分 197

3.幅角原理及其应用 207

1.对数残数 207

2.幅角原理 209

3.儒歇定理 211

习题 214

1.解析开拓概念 218

1.解析开拓的一般要概念与幂级数开拓 218

第七章 解析开拓 218

2.完全解析函数 221

3.解析开拓的幂级数方法 223

2.透弧解析开拓，对称原理 226

3.多值解析函数及其黎曼面 229

1.多值解析函数的概念 229

2.黎曼面概念 231

习题 235

1.解析变换的保角性--导数的几何意义 237

1.解析变换的特性 237

第八章 保形变换 237

2.解析变换的保域性 239

3.单叶解析变换的保形性 240

2.线性变换 243

1.线变换及其分解 243

2.线性变换的保圆周性 245

3.线性变换的保形性 246

4.线性变换的保交比性 248

5.线性变换的保对称点性 249

6.线性变换的应用 251

3.某些初等函数所构成的保形变换 254

1.幂函数与根式函数 254

2.指数函数与对数函数 256

3.由圆弧构成的两角形区域的保形变换 257

4.机翼剖面函数及其反函数所构成的保形变换 258

5.其他例子 261

4.关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理 264

1.黎曼存在定理 264

2.边界对应定理 268

1.对称原理的一般形式 270

5.多角形区域的保形变换 270

2.克利斯托弗一席瓦尔兹公式 274

3.退化情形 279

4.广义多角形举例 282

习题 285

第九章 调和函数 289

1.平均值定理与极值原理 289

1.平均值定理 289

2.极值原理 290

1.波阿松积分公式 291

2.波阿松积分公式与狄利克莱问题 291

2.狄利克莱问题 292

3.单位圆内狄利克莱问题的解 293

4.上半平面内狄利克莱问题的解 295

习题 298

附录 整函数与亚纯函数近代理论简介 299

1.关于整函数 299

2.关于亚纯函数 301

3.波莱尔定理、伐里龙定理 304

4.杨、张定理 305