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第四章 微积分的应用 1

第一节 用积分法解几个微分方程 2

一、微分方程的基本概念 2

二、可分离变量的一阶方程 9

三、满足边界条件的微分方程 16

第二节 从参数方程研究曲线 19

一、参数方程概念 19

二、参数方程举例 21

三、从参数方程研究曲线 24

1. 切线和法线的斜率 24

2. 曲线的弧长 24

四、应用举例 25

1. (法向)等距曲线 25

2. 抛射体运动 31

第三节 从极坐标方程研究曲线 36

一、曲线的极坐标方程 36

二、技术中常用的曲线举例 39

1. 阿基米德螺线(等速螺线) 39

2. 渐开线 41

三、从极坐标方程研究曲线 42

1. 极坐标方程的弧长公式 43

2. 凸轮的压力角 47

第四节 平面曲线的曲率 52

一、曲率的概念 53

二、曲率的计算公式 55

三、参数方程的曲率计算公式 58

四、曲率圆和曲率半径 59

五、曲率的应用 60

1. 在机械加工上的应用 60

2. 在曲线运动中的应用 61

第五节 用多项式近似表示函数 64

一、二次近似 64

二、高阶导数 67

三、用多项式近似表示函数 68

1. 正弦函数sinx和余弦函数cosx的展开式 72

2. 指数函数ex的展开式 73

3. 二项式(1+x)α的展开式 74

综合实践题 78

一、一种专用铣床的凸轮轮廓曲线计算 78

二、双作用叶片油泵定子的等加速曲线 83

三、输电线问题 87

第五章 多元函数微积分简介 93

第一节 多元函数概念 94

一、多元函数的定义 94

二、空间直角坐标系 96

1.空间直角坐标系 96

2.空间两点间的距离 97

三、二元函数的几何表示 101

第二节 偏导数 102

一、偏导数及其几何意义 102

1. 偏导数 102

2. 偏导数的几何意义 107

二、偏导数在近似计算中的应用 107

第三节 全微分与全导数 112

一、全微分 112

二、全导数 113

三、复合函数的求导公式 114

第四节 多元函数的最大值和最小值问题 116

一、最大值和最小值问题 116

二、最小二乘法简介 121

第五节 定积分概念在多元函数中的推广 128

一、物体质量的计算--多元函数的积分概念 129

1. 非均匀细棒的质量 129

2. 非均匀薄板的质量 130

3. 非均匀物体的质量 133

二、重积分的计算举例 135

综合实践题 142

一、用包络法求凸轮轮廓曲线 142

二、摩擦力矩的计算 148

第六章 算法语言初步 152

第一节 算法语言的基本概念 152

一、电子计算机简介 152

二、什么是算法语言 154

三、基本符号 155

四、一些基本概念 157

1. 标识符 157

2. 常数 158

3. 变量 158

4. 标准函数 159

5. 算术表达式 160

五、程序的基本结构 161

第二节 说明部分 163

一、简单变量说明 164

二、数组和数组说明 165

第三节 语句部分 167

一、输入语句、输出语句 168

1. 输入语句 168

2. 输出语句 169

二、赋值语句、复合语句 169

1. 赋值语句 169

2. 复合语句 171

三、条件语句 172

四、转向语句、空语句 177

1. 转向语句 177

2. 空语句 178

五、循环语句 179

第四节 分程序结构 185

一、分程序的结构 185

二、分程序的功能 188

1. 标识符的作用域 188

2. 处理动态数组 189

第五节 过程 194

一、一般过程 194

1. 一般过程说明 194

2. 过程语句 198

二、函数过程 201

综合实践题 204

一、活塞开槽直径的计算 204

二、高压输电线绝缘子片上的电压分布规律 209

附录 二阶常系数线性微分方程 221

一、什么是二阶常系数线性微分方程 221

二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 224

三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 231

四、应用举例 234

练习答案 242