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第七章 多元函数微分学 1

7．1 多元函数的基本概念 1

7．1．1 预备知识 1

7．1．2 多元函数 2

7．1．3 多元函数的极限与连续 4

8．2．1 直角坐标系下二重积分的计算 4

7．2 偏导数与高阶偏导数 6

7．2．1 偏导数 6

7．2．2 高阶偏导数 8

7．3 全微分 9

7．4 复合函数求导法 13

7．5 隐函数求导法 17

7．6．1 空间曲线的切线与法平面 21

7．6 偏导数的几何应用 21

7．6．2 曲面的切平面与法线 23

7．6．3 二元函数全微分的几何意义 25

7．7 二元函数的泰勒公式与极值 25

7．7．1 二元函数的泰勒公式 25

7．7．2 二元函数的极值 26

7．7．3 条件极值——拉格朗日乘数法 29

7．8 方向导数与梯度 31

7．8．1 方向导数 31

7．8．2 梯度 32

7．9 例题 34

习题七 38

8．1．1 黎曼积分的概念 45

8．1 黎曼积分 45

第八章 多元函数积分学 45

8．1．2 黎曼积分的性质 46

8．1．3 黎曼积分的分类 47

8．2 二重积分的计算 48

8．2．2 极坐标系下二重积分的计算 53

8．2．3 用二重积分计算曲面面积 56

8．3 三重积分的计算 57

8．3．1 直角坐标系下三重积分的计算 58

8．3．2 柱坐标系下三重积分的计算 61

8．3．3 球坐标系下三重积分的计算 63

8．4 第一型曲线积分的计算 66

8．5 第一型曲面积分的计算 69

8．6 黎曼积分的应用举例 72

8．6．1 物体的质心 72

8．6．2 转动惯量 73

8．7 例题 76

习题八 82

附录Ⅶ 重积分的变量变换 90

第九章 第二型曲线积分与第二型曲面积分、向量场 95

9．1 向量场 95

9．1．1 向量场 95

9．1．2 向径的导数 96

9．2 第二型曲线积分 97

9．2．1 变力作功与第二型曲线积分 97

9．2．2 第二型曲线积分的计算 99

9．2．3 第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系 102

9．3 格林公式、平面流速场的环量与旋度 103

9．3．1 格林公式 103

9．3．2 平面流速场的环量与旋度 105

9．4 平面曲线积分与路径无关的条件、保守场 107

9．4．1 平面曲线积分与路径无关的条件 107

9．4．2 保守场、原函数、全微分方程 111

9．5 第二型曲面积分 114

9．5．1 预备知识 114

9．5．2 第二型曲面积分概念 115

9．5．3 第二型曲面积分的计算 117

9．6．1 高斯公式 119

9．6 高斯公式、通量与散度 119

9．6．2 向量场的通量与散度 121

9．7 斯托克斯公式、环量与旋度 124

9．7．1 斯托克斯公式 124

9．7．2 向量场的环量与旋度 125

9．8 例题 129

习题九 135

第十章 无穷级数 144

10．1． 无穷级数的敛散性 144

10．1．1 收敛与发散概念 144

10．1．2 无穷级数的几个基本性质 147

10．2 正项级数敛散性判别法 150

10．3 任意项级数、绝对收敛 157

10．4．1 广义积分敛散性判别法 161

10．4． 广义积分敛散性判别法、г函数 161

10．4．2 г函数 163

10．5 函数项级数、一致收敛 164

10．6 幂级数 171

10．6．1 幂级数的收敛半径和收敛域 171

10．6．2 幂级数的运算 174

10．7 函数的幂级数展开 177

10．7．1 直接展开法、泰勒级数 177

10．7．2 间接展开法 181

10．7．3 幂级数求和 184

10．8 幂级数的应用举例 186

10．8．1 函数值的近似计算 187

10．8．2 在积分计算中的应用 188

10．8．3 方程的幂级数解法 189

10．9 傅立叶级数 191

10．9．1 三角函数系的正交性 192

10．9．2 傅立叶级数 193

10．9．3 正弦级数和余弦级数 197

10．9．4 以2l为周期的函数的傅立叶级数 198

10．9．5 有限区间上的函数的傅立叶展开 201

10．9．6 傅立叶级数的复数形式 202

10．10 例题 204

附录Ⅷ 幂级数的收敛半径 208

习题十 209

习题答案 219

索引 238