非线性微分方程PDF电子书下载

1.积分曲线 1

1.积分曲线，正向终极时间t+ 1

第一章 微分方程组解的一般定理 1

2.t+=b的条件，n=1的情形 4

3.t+=b的条件，一般情形 7

4.积分曲线的有界性 9

5.Caratthéodory意义下的积分曲线 11

2.Lipschitz系统和Carathéodory系统 12

1.推广的Gronwall引理 12

2.Lipschitz系统，对于两上积分曲线弧的︱x(t)-y(t)︱的估值 13

3.唯一性定理，对初值点P0及f的连续相依性 15

4.Carathéodory系统 16

1.函数φ(t,t0,x0)。唯一性情形 17

3.系统(1.1.1)的解φ(t,t0,x0) 17

2.φ(t,t0,x0)的连续性 19

3.稳定性 19

4.线性系统的函数φ(t,t0,x0) 23

5.φ(t,t0,x0)的可微性 25

6.含参数的系统 26

4.周期解 27

1.周期积分曲线，周期轨道 27

2.例外周期解 28

5.自治系统 31

1.自治系统及其积分曲线的性质 31

2.轨线，相空间 32

7.周期的计算 33

3.奇点，环，开轨线 34

补充 35

参考文献 38

1.奇点 40

第二章 特殊的平面自治系统 40

1.线性系统 40

2.线性系统的孤立奇点的标准型 42

3.相平面的仿射变换 45

4.奇点类型的分类 47

2.齐次系统 53

1.齐次系统 53

2.不变射线，星形结点 54

3.中心与焦点 55

4.孤立不变射线，正规角域 57

5.轨线在正规角域中的性态 61

6.例子 68

3.解析系统 70

1.引言 70

2.例子 72

3.函数Z(x,y),N(x,y) 75

4.引理 78

5.趋于O的轨线，焦点 79

6.方程N(θ)=0，临界点 82

7.对Z(x,y)的研究，Z(x,y)定号的情形 85

8.Z-扇形域的分类 86

2.N(θ)≠0时的中心问题 90

1.中心问题 90

4.中心问题 90

3.m=1的情形，Poincaré方法 93

4.m=1的情形，关于中心的Peincaré定理，E.Picard-J.Chazy的证明 97

5.m=1的情形，周期的计算 101

6.关于中心的Poincaré充分条件，应用于月球运动的Delaunay方程 101

7.有关中心问题的文献 102

5.无穷远奇点 105

1.Poincaré球面，无穷远奇点 105

2.例子 110

3.齐次系统的无穷远奇点 112

补充 114

参考文献 118

1.解析情形的Briot-Bouquet定理 120

1.引言 120

第三章 Briot-Bouquet奇点 120

2.P不为正整数时的Briot-Bouquet方程，全纯解的研究 122

3.P为正整数的情形，全纯解的存在性 124

4.P=0时方程的解 126

2.在解析情形下，把具有一个孤立奇点的微分方程化为标准型，关于第二类简化方程的轨线性态的Bendixson定理 128

1.第一类和第二类简化型式 128

2.I.Bendixson关于第二类简化方程的轨线性态的结果 134

3.在实数域内Briot-Bouquet方程的结点情形。Winmer定理 137

1.A.Wintner引理 137

2.A.Wintner第一定理 141

3.A.Wintner第二定理 143

补充 145

参考文献 150

1.极限集 152

1.轨线r的极限集A(r),Q(r)。一般性质 152

第四章 平面自治系统 152

2.轨线的分类 155

3.常点与常轨线 157

4.(平面)闭轨线，平面环的稳定性 159

5.(平面)常极限轨线 161

6.有界极限集Q(r)的结构 164

7.由一个奇点构成的极限集 166

8.无界集Q(r)的结构 169

2.平面环 170

1.极限环 170

2.极限环的分类。轨道稳定性 173

3.例子 173

4.Bendixson定理 175

5.C1类系统。环的特征指数 177

6.解析系统的环 182

7.右端为多项式的系统的极限环 186

8.无平面环的区域 187

9.平面自治系统的周期解。极限环的存在性 188

10.(极限)环的唯一性 189

3.孤立奇点 189

1.孤立奇点的分类。第一类奇点(中心-焦点)。中心 189

2.第二类奇点的领域 191

3.集点 193

4.例外方向 193

5.正规扇形域 195

1.Kronecker指标 200

4.指标 200

2.点的指标 205

3.特殊奇点的指标的计算 206

4.球面和亏格为p的曲面的指标 208

5.相空间是柱面的情形 209

1.相空间是柱面的情形 209

2.一个例子 211

6.相空间为环面的情形 212

1.相空间为环面的情形 212

2.例子 213

3.环面上无奇点的系统 214

4.其它结果 216

7.动力系统的简单介绍 216

参考文献 220

第五章 具有扰动项的平面自治系统 224

1.齐次扰动系统 224

1.一般问题 224

2.N(θ)≠0的情形 226

3.趋于的O的轨线，例外方向 229

4.正规扇形域的不变性。第一类正规扇形域 231

5.第二类正规扇形域。第一判定问题 232

6.第三类正规扇形域。第二判定问题 237

7.N(θ)恒等于零的情形 240

8.一些说明 241

2.C1类系统的孤立奇点。初等奇点 241

1.引言 241

2.焦点与弱焦点 242

3.吸引点。星形结点 243

4.单切结点 245

5.双切结点 246

6.鞍点 248

7.注 249

1.问题的叙述。记号 250

3.H.Weyl对双切结点和鞍点的渐近性研究 250

2.结点情形(0＜l＜k)。H.Weyl第一定理 252

3.关于︱elty(t)-b︱,︱x(t)-x0e-hl︱的上界 258

4.x(r)=cr5的情形，关于︱y(t)-be-lt︱,︱x(t)︱的上界 259

5.k≥l,k＞0的情形，H.Weyl第二定理 261

6.参数化系统 265

7.双切结点情形，H.Weyl第三定理 267

8.鞍点情形(l＜0＜k)。H.Weyl第四定理 271

1.引言 272

4.C1类系统的孤立奇点，非初等奇点 272

2.对于系统?=x+f(x,y),?=g(x,y)的K.A.Keil第一定理 273

3.关于等倾线的引理 276

4.对于系统?=x+f(x,y),?=g(x,y)的K.A.Keil第二定理与第三定理 279

5.K.A.Keil对于系统?=x+f(x,y),?=g(x,y)的进一步结果 284

6.1，2，4节的文献注记 286

5.结构稳定系统，含参数的系统 286

1.结构稳定系统 286

2.结构不稳定系统。极限环的生产 288

3.含参数系统的极限环 290

参考文献 292

1.在粘性阻尼作用下，质点的线性运动方程的轨线 295

1.在粘性阻尼作用下质点的线性运动方程的轨线 295

第六章 某些具单自由度的自治系统 295

2.方程？+α？+sinθ-βθ=0，α≥0,β≥0 296

1.引言 296

2.β＞1的情形。(6.2.3)的周期解z=z(θ)的存在性 297

3.0＜β＜1的情形。奇点的分类 299

4.极限情形α=0时的轨线 301

5.α＞0，0＜β＜1的情形。(6.2.3)的周期解和临界值α(θ0) 303

6.θ0=x/2(β=1)的情形 309

7.0＜θ0＜x/2(α＞0，0＜β＜1)时的轨线 311

8.关于临界值α(θ0)的不等式 317

9.M.Urabe计算α(θ0)的方法 321

3.张弛振荡的van der Pol方程和Liénard方程 322

1.预备知识 322

2.Liénard方程周期解的存在性 324

3.Liénard方程周期解的唯一性的充分条件 326

4.Liénard方程的周期解不唯一的情形 328

5.f(x)有第一类间断点时，Liénard方程周期解的存在定理 330

6.Liénard方程的比较定理 332

8.van der Pol方程。轨线在无穷远处的性态 335

9.当参数趋近于无穷时，van der Pol方程的极限环的性态。D.A.Flander和J.J.Stoker定理 337

10.含有大参数的van der Pol方程的周期解的周期与振幅的渐近估值 339

11.R.Gomory和D.E.Richmond关于极限环的不等式 339

4.广义Liénard方程的周期解 342

1.A.F.Filippov的第一个定理 342

4.一种不存在周期解的情形 350

2.A.F.Filippov的第二个定理 350

3.唯一性定理 350

4.对方程?+f(x,?)?+g(x)=0的研究 351

5.方程?+f(x)?+g(x)=0在不作xg(x)＞0(︱x︱＞0)的假定时的周期解 355

1.引言 355

2.奇点 356

3.环及其性质 357

5.环的存在性 361

1.引言 362

6.衰减振动方程A?+f(?)?+Cx=0 362

6.环的唯一性的一个准则 362

2.原点为稳定点的条件 363

3.G.Maigarini的一个定理 364

7.一个关于绳索动力学与空气动力学的方程 365

1.奇点 365

2.系统(6.7.2)所确定的方向场 366

3.当参数p充分小时，周期解的存在性 369

补充 371

参考文献 376

1.调和情形的强迫振荡 382

第七章 具单个自由度的非自治系统 382

1.强迫振荡问题。线性情形 382

2.非调和情形的强迫振荡 384

3.强迫振荡问题 386

2.L.E.J.Brouwer不动点定理，M.L.Cartwright J.E.Littlewood定理及J.L.Massera定理 386

1.Brouwer不动点定理 386

2.用Brouwer定理证明周期解的存在性 389

3.M.L.Cartwright J.E.Littlewood定理 390

4.J.L.Massera定理 391

1.最终有界性准则 394

3.T.Yoshizawa定理 394

3.解的稳定性 401

2.周期解存在定理 401

4.关于周期解的唯一性与稳定性的一个定理 407

5.个别解的有界性准则 408

6.由Massera定理推导周期解的存在性的一个准则，Mizohata和Yamaguti定理 411

4.方程?=F(x,cosωt)的异相调和解。F.John定理 412

1.解在整个(-∞，+∞)上存在的问题 412

2.关于异相调和解存在的F，John定理 417

1.s.Lefschetz,N.Levinson,M.L.Cartwright和J.E.Littlewood等人的结果 422

5.方程式x?+f(x)x?+g(x)=p(t) 422

2.N.Levinson的一条存在性定理和一条关于渐近稳定性的定理 424

3.方程x?+g(x)=p(t),p(t)为偶函数。G.R.Morris定理 428

4.奇周期调和解。关于具强迫项的Duffing方程的W.S.Loud定理 429

5.关于方程式?+f(x)？+λ2x=Fsin ωt(λ＞0，ω＞0，F＞0)的周期解的D.Grafli不等式 430

6.方程式x?+F(x?)+x=p(t) 432

1.R.Caccioppoli,A.Ghizzetti和A.Aacari关于周期解的存在性、唯一性与稳定性的准则 432

2.关于绳索力学的一个微分方程。J.Cecconi和F.Stoppelli的结果 435

1.方程?+kf(x)?+g(x)=kp(t) 437

7.关于方程式?+kf(x)?+g(x)=kp(t)和?+kF(?)+g(x)=kp(t)的G.E.H.Reuter定理 437

2.方程?+kF(?)+g(x)=kp(t) 441

8.方程?+f(x,?)?+g(x)=p(t) 442

1.H.A.Antosiewicz关于解的正向有界性的准则 442

2.N.Levinton和C.E.Langenhop关于周期解的存在性的准则 443

9.具有次调和解的非线性系统 447

1.次调和解 447

2.D类系统 448

3.D类系统的变换的不动点的分类 449

4.N.Levinson和J.L.Massera关于次调和解的个数的定理 451

10.关于周期解的一般讨论 452

1.自治系统 452

2.周期的非自治系统 453

补充 454

参考文献 460

第八章 线性系统 466

1.伴随系统。T.Wazewski不等式 466

1.伴随系统 466

2.Wazewski不等式 467

1.标准基本解矩阵 469

2.常系数线性自治系统 469

2.齐次系统解的形式。特征指数。型数 470

3.实系统的奇点 472

4.n=3的(实)情形 474

3.线性周期系统 477

1.标准基本解矩阵。Floquet定理和Lyapunov定理 477

2.特征指数。型数 478

4.可约系统 481

1.可约系统。特征指数和型数 481

1.函数的型数 482

5.函数的型数。t-相似关系 482

2.t-相似关系(或运动相似) 483

3.非零解的型数 484

4.正规解组。数Smin 485

5.关于Smin的不等式。非正则常数 487

6.正则系统 488

1.正则系统 488

2.Pelron定理 490

3.三角形矩阵 490

1.线性齐次系统 491

7.周期解 491

2.线性非齐次系统 492

3.拟线性周期系统调和解的存在性 495

补充 498

参考文献 499

第九章 稳定性 502

1.V函数方法 502

1.引言 502

2.V函数 503

3.T.Wazewski引理 505

4.稳定性的充分条件 506

5.稳定的必要条件。逆问题 508

6.渐近稳定性 509

7.全局渐近稳定性 511

8.其它类型的稳定性 512

9.不稳定性 513

10.用V函数研究有界性 514

2.线性系统的稳定性 516

1.稳定的和不稳定的线性系统 516

2.一致稳定的线性系统 518

3.一致稳定性与t∞-相似 519

4.一致稳定性的准则 521

5.与零可约的线性系统和限制稳定性 523

6.线性系统的渐近稳定性 527

7.常系数线性系统的V函数 530

3.按一次近似判定稳定性 530

1.引言 530

2.按线性一次近似决定稳定性 532

3.几个推广与注释。L(v,N)性质 535

4.渐近稳定性。非线性一次近似的情形 537

5.解析系统。临界情形 538

6.轨道(渐近)稳定性。积分流形近傍的解的性态 539

4.渐近等价性 542

1.渐近等价性 542

2.H.Weyl定理 542

3.关于渐近等价性的其它结果 547

补充与问题 548

参考文献 552