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第1章 常微分方程初值问题 2

1.1 基本概念 Euler法与梯形法 3

1.1.1 Euler法 3

第一部分 常微分方程的数值解法 3

1.1.2 梯形法 8

1.2 Runge-Kutta方法及一般单步方法 10

1.2.1 RK方法的构造 11

1.2.2 单步方法的相容性与收敛性 19

1.2.3 单步方法整体截断误差渐近展开及其应用 23

1.3.1 线性多步方法的构造 26

1.3 线性多步方法 26

1.3.2 线性多步方法的应用 32

1.4 线性差分方程的基本知识 36

1.4.1 一般性质 36

1.4.2 常系数齐次差分方程的基本解组 37

1.4.3 常系数差分方程解的渐近性质 40

1.5 一般多步方法的收敛性 42

1.5.1 多步方法的收敛性 42

1.5.2 线性多步方法情形的进一步结果 48

1.6.1 线性多步方法的绝对稳定性 52

1.6 数值稳定性 52

1.6.2 绝对稳定区间的确定 57

1.6.3 Runge-Kutta方法的绝对稳定性 60

1.7 一阶方程组与刚性问题 62

1.7.1 一阶方程组 62

1.7.2 刚性问题 64

本章小结与补充讨论 70

习题 71

主要参考书目 74

第2章 椭圆型方程 77

第二部分 偏微分方程的差分方法 77

2.1 两点边值问题的差分格式 78

2.1.1 用差商代替导数的方法 78

2.1.2 积分插值法 83

2.1.3 边界条件的处理 84

2.2 二阶椭圆型方程边值问题的差分格式 85

2.2.1 区域的矩形网格剖分 86

2.2.2 矩形区域上的差分格式 88

2.2.3 矩形区域上边界条件的处理 92

2.2.4 非矩形区域上的差分格式与边界条件的处理 93

2.3.2 用积分插值法构造内点的差分格式 97

2.3 35 积分插值法构造差分格式 97

2.3.1 偏微分方程的积分形式 97

2.3.3 用积分插值法构造边界点的差分格式 101

2.4 极值原理与差分格式的收敛性 103

2.4.1 线性椭圆型差分方程的一般形式 103

2.4.2 极值原理及差分格式之解的先验估计 105

2.4.3 五点格式的稳定性与收敛性 110

2.5 能量估计与差分格式的收敛性 115

2.5.1 记号、若干差分公式与不等式 115

2.5.2 差分算子的特征值与特征函数 117

2.5.3 两点边值问题差分格式之解的先验估计及收敛性 122

2.5.4 二阶自共轭椭圆型方程边值问题之解的先验估计及收敛性 126

2.6 交替方向迭代法 131

2.6.1 模型问题 131

2.6.2 Peaceman-Rachford迭代格式 133

2.6.3 PR迭代格式中迭代参数的选择 136

2.6.4 其它交替方向迭代格式 139

2.7 预处理共轭梯度法 142

2.7.1 共轭梯度法主要步骤与性质 142

2.7.2 预处理共轭梯度法的步骤及预优矩阵的构造 143

2.8.1 一维模型问题与古典迭代的光滑效应 150

2.8 多重网格法 150

2.8.2 二重网格法 152

2.8.3 多重网格法 159

本章小结与补充讨论 161

习题 162

第3章 抛物型方程 165

3.1 一维抛物型方程初边值问题的差分格式 167

3.1.1 常系数热传导方程的古典格式 168

3.1.2 变系数方程的差分格式 174

3.2.1 差分格式的稳定性 176

3.2 差分格式的稳定性与收敛性 176

3.2.2 差分格式的相容性与收敛性 184

3.3 稳定性研究中的矩阵方法 187

3.3.1 矩阵方法的一般讨论 187

3.3.2 常系数热传导方程古典格式的稳定性 190

3.3.3 第三边值问题差分格式的稳定性 196

3.4 稳定性研究中的分离变量法 198

3.4.1 分离变量法的一般讨论 198

3.4.2 对多个空间变量情形的应用 203

3.4.3 对三层格式的应用 206

3.5.1 热传导系数与时间无关的情形 212

3.5 用能量估计方法分析热传导方程差分格式稳定性 212

3.5.2 热传导系数与时间相关的情形 216

3.6 差分格式的单侧逼近性质及其应用 223

3.7 交替方向隐格式及相关的格式 229

3.7.1 PR格式 229

3.7.2 Douglas格式 231

3.7.3 非齐次边界条件情形下过渡层边值的取法 235

3.7.4 局部-维格式与预测-校正格式 236

本章小结与补充讨论 241

习题 242

第4章 双曲型方程 247

4.1 一阶线性双曲型方程的差分格式 248

4.1.1 一阶常系数方程初值问题 248

4.1.2 一阶常系数方程初边值问题 258

4.1.3 一阶变系数方程初边值问题 262

4.2 一阶常系数线性双曲型方程组的差分格式 265

4.3 二阶线性双曲型方程的差分格式 269

4.3.1 一维常系数波动方程 269

4.3.2 一维变系数波动方程 276

4.3.3 二维波动方程 280

4.4 交替方向隐格式 282

4.5.1 问题叙述 289

4.5 对流扩散方程的特征差分格式 289

4.5.2 基于线性插值的特征差分格式 291

4.5.3 基于二次插值的特征差分格式 296

本章小结与补充讨论 304

习题 305

主要参考书目 308

5.1 古典变分法的一些概念 312

5.1.1 泛函的极值与Euler方程 312

第5章 边值问题的变分原理 312

第三部分 偏微分方程的有限元方法 312

5.1.2 自然边界条件 321

5.1.3 多个自变量的情形 323

5.1.4 自然边界条件(续) 327

5.2 边值问题的变分原理 330

5.2.1 边值问题与最小位能原理 331

5.2.2 虚功原理 334

5.2.3 边值问题与变分问题的关系 336

5.2.4 内边界条件 337

5.3 Sobolev空间与广义解 340

5.3.1 广义导数 341

5.3.2 Sobolev空间 347

5.3.3 广义解的存在性和唯一性 350

5.4 变分近似法 358

5.4.1 Ritz方法 358

5.4.2 Galerkin方法 361

5.4.3 投影定理 362

本章小结与补充讨论 366

习题 367

第6章 有限元方法的基本结构 370

6.1.1 用Ritz方法建立有限元方程 371

6.1 两点边值问题的有限元方法 371

6.1.2 用Galerkin方法建立有限元方程 382

6.2 二维边值问题有限元方法 390

6.2.1 三角剖分与分片插值 391

6.2.2 单元分析与总体合成 397

6.2.3 积分的计算 405

6.2.4 本质边界条件的处理 410

6.2.5 有限元方程的求解 415

6.1.6 有限元方法的一般过程 419

本章小结与补充讨论 421

习题 421

附录：数值积分公式 423

7.1 形状函数与有限元空间 425

第7章 有限元方法的几个问题 425

7.1.1 引言 427

7.1.2 一维高次元的形状函数 431

7.1.3 一维Hermite型的形状函数 438

7.1.4 二维矩形单元的形状函数 443

7.1.5 二维三角形单元的形状函数 451

7.1.6 等参数单元 460

7.1.7 三维情形 467

7.1.8 单元形状函数小结 472

7.2.1 引言 473

7.2 收敛性与误差估计 473

7.2.2 Sobolev空间中的插值理论 475

7.2.3 有限元方法的收敛性与误差估计 487

7.3 抛物型方程的有限元方法 492

7.3.1 引言 492

7.3.2 半离散的有限元方程 497

7.3.3 全离散的有限元方程 500

本章小结与补充讨论 502

习题 503

主要参考书目 504