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第一部分 一元微积分学 1

第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 常量与变量 1

1.1.2 实数、区间与邻域 2

1.1.3 函数的概念 3

1.1.4 函数的简单性质 5

1.1.5 反函数、复合函数和隐函数 6

1.1.6 初等函数 8

习题1—1 14

1.2 极限 14

1.2.1 直观理解 15

1.2.2 极限概念的严格化 17

1.2.3 极限的性质及运算法则 25

习题1—2 28

1.3 两个重要极限 29

1.3.1 极限lim x→0 sin x/x=1 29

1.3.2 极限lim x→0(1+1/x)x=e 30

习题1—3 33

1.4 函数的连续性 34

1.4.1 函数的连续性概念 34

1.4.2 函数的间断点 37

1.4.3 闭区间上连续函数的性质 38

习题1—4 40

本章小结 41

典型例题分析 41

复习题一 43

阅读材料 43

第2章 导数与微分 46

2.1 导数的概念 46

2.1.1 实例 46

2.1.2 导数的定义 47

2.1.3 导数的几何意义 50

2.1.4 函数的可导性与连续性 50

习题2—1 51

2.2 函数的求导法 52

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法 52

2.2.2 反函数的求导法 54

2.2.3 复合函数的求导法 56

习题2—2 58

2.3 初等函数的导数 59

2.3.1 初等函数的导数公式 59

2.3.2 高阶导数 59

习题2—3 62

2.4 隐函数与函数的参数形式求导法 62

2.4.1 隐函数的求导法 62

2.4.2 函数的参数形式求导法 64

习题2—4 65

2.5 微分及应用 65

2.5.1 微分的概念 65

2.5.2 微分的几何意义 67

2.5.3 微分的基本公式和运算法则 68

2.5.4 一阶微分形式的不变性 69

2.5.5 微分在近似计算中的应用 69

习题2—5 70

本章小结 71

典型例题分析 72

复习题二 74

阅读材料 75

第3章 中值定理与导数的应用 77

3.1 中值定理 77

3.1.1 费尔马定理 77

3.1.2 罗尔中值定理 78

3.1.3 拉格朗日中值定理 79

3.1.4 柯西中值定理 82

习题3—1 82

3.2 洛比达法则 84

3.2.1 0/0型 84

3.2.2 ∞/∞型 86

3.2.3 其他待定型 87

习题3—2 88

3.3 泰勒公式 89

习题3—3 93

3.4 函数单调性的判别法 93

习题3—4 95

3.5 函数的极值与最值问题 95

3.5.1 数的极值 95

3.5.2 函数的最大值与最小值 97

习题3—5 99

3.6 曲线的凹凸性与拐点 99

习题3—6 102

3.7 函数图像的描绘 102

3.7.1 斜渐近线的求法 102

3.7.2 描绘函数图像的一般步骤 103

习题3—7 105

3.8 方程的近似解 105

3.8.1 二分法 106

3.8.2 切线法 106

习题3—8 107

本章小结 107

典型例题分析 109

复习题三 111

阅读材料 112

第4章 不定积分 115

4.1 不定积分的概念 115

4.1.1 原函数 115

4.1.2 不定积分 116

4.1.3 不定积分的几何意义 117

习题4—1 117

4.2 不定积分的性质与基本积分公式 117

4.2.1 不定积分的性质 117

4.2.2 基本积分公式 119

习题4—2 121

4.3 换元积分法 121

4.3.1 第一类换元法（凑微分法） 121

4.3.2 第二类换元法 128

习题4—3 133

4.4 分部积分法 134

习题4—4 138

4.5 几种特殊类型函数的积分 139

4.5.1 有理函数的积分 139

4.5.2 三角函数的有理式的积分 145

4.5.3 简单无理函数的积分 147

习题4—5 148

本章小结 149

典型例题分析 150

复习题四 151

阅读材料 152

第5章 定积分 154

5.1 定积分的概念 154

5.1.1 两个实例 154

5.1.2 定积分的定义 157

5.1.3 定积分的几何意义 158

5.1.4 可积函数类 159

习题5—1 160

5.2 定积分的性质 160

习题5—2 164

5.3 微积分基本定理 164

5.3.1 变限积分函数及其导数 165

5.3.2 牛顿—莱布尼茨公式 167

习题5—3 170

5.4 定积分的积分法 171

5.4.1 定积分的换元法 171

5.4.2 定积分的分部积分法 175

习题5—4 178

5.5 广义积分（初步） 179

5.5.1 无穷区间上的广义积分 179

5.5.2 无界函数的广义积分 181

习题5—5 182

5.6 定积分的应用 183

5.6.1 微元法 183

5.6.2 平面图形的面积 184

5.6.3 旋转体的体积 189

5.6.4 平行截面面积为已知的立体体积 192

5.6.5 平面曲线的弧长 193

习题5—6 196

本章小结 198

典型例题分析 199

复习题五 201

阅读材料 204

第6章 无穷级数 206

6.1 数项级数 206

6.1.1 数项级数的概念 206

6.1.2 收敛级数的一般性质 209

6.1.3 正项级数及收敛判别法 210

6.1.4 任意项级数的收敛和判别 215

习题6—1 217

6.2 幂级数 218

6.2.1 函数项级数的概念 218

6.2.2 函数项级数的一致收敛和性质 220

6.2.3 幂级数及其收敛性 222

6.2.4 幂级数的运算 224

6.2.5 函数的幂级数展开及应用 225

习题6—2 230

本章小结 231

典型例题分析 232

复习题六 234

阅读材料 235

第二部分 线性代数 238

第7章 行列式 238

7.1 行列式的定义 238

7.1.1 二阶和三阶行列式 238

7.1.2 n阶行列式的定义 241

习题7—1 245

7.2 行列式的性质和计算 246

7.2.1 行列式的性质 246

7.2.2 行列式的计算——化三角形式法 249

习题7—2 251

7.3 行列式按行（列）展开 253

7.3.1 余子式和代数余子式的概念 253

7.3.2 行列式的计算——降阶法 255

习题7—3 258

7.4 克拉默法则 259

习题7—4 261

本章小结 262

典型例题分析 263

复习题七 267

阅读材料 268

第8章 矩阵 269

8.1 矩阵的概念和运算 269

8.1.1 矩阵的概念 269

8.1.2 矩阵的运算 272

8.1.3 矩阵的转置 278

8.1.4 方阵的行列式 279

8.1.5 分块矩阵 281

习题8—1 284

8.2 可逆矩阵 285

习题8—2 291

8.3 初等变换与初等矩阵 292

8.3.1 矩阵的初等变换 292

8.3.2 初等矩阵 295

8.3.3 用初等变换求逆矩阵 297

习题8—3 299

8.4 矩阵的秩 300

习题8—4 303

8.5 线性方程组 304

习题8—5 310

本章小结 311

典型例题分析 313

复习题八 316

阅读材料 317

第9章 向量组 319

9.1 n维向量 319

习题9—1 321

9.2 向量组的线性关系 321

9.2.1 线性组合 322

9.2.2 向量组的线性相关性 327

9.2.3 向量组相关性的判别定理 329

习题9—2 332

9.3 向量组的秩 333

习题9—3 337

9.4 线性方程组解的结构 338

9.4.1 齐次线性方程组解的结构 338

9.4.2 非齐次线性方程组解的结构 344

习题9—4 346

9.5 向量空间 348

9.5.1 向量空间的概念 348

9.5.2 向量空间的基和维数 349

习题9—5 350

本章小结 351

典型例题分析 352

复习题九 354

阅读材料 357

第10章 相似矩阵与二次型 358

10.1 矩阵的特征根与特征向量 358

习题10—1 363

10.2 相似矩阵 363

10.2.1 相似矩阵的定义与性质 363

10.2.2 n阶矩阵可以对角化的条件 364

习题10—2 368

10.3 对称矩阵的对角化 369

10.3.1 向量的内积 369

10.3.2 正交向量组 370

10.3.3 正交矩阵 372

10.3.4 实对称矩阵的特征根与特征向量 374

习题10—3 377

10.4 二次型及其标准形 378

10.4.1 二次型及矩阵表示 378

10.4.2 标准形 380

10.4.3 使用正交变换化二次型为标准形 381

10.4.4 使用配方法化二次型为标准形 385

10.4.5 初等变换法化二次型为标准形 387

10.4.6 正定二次型 388

习题10—4 390

本章小结 392

典型例题分析 393

复习题十 396

阅读材料 399

第三部分 概率与数理统计初步第11章 事件与概率 401

11.1 随机事件 401

11.1.1 随机试验与事件 401

11.1.2 样本空间 402

11.1.3 事件的关系和运算 402

习题11—1 405

11.2 概率的计算 406

11.2.1 事件的频率与概率 407

11.2.2 古典概率 408

11.2.3 概率的性质 409

习题11—2 410

11.3 条件概率公式 411

11.3.1 条件概率 411

11.3.2 乘法公式 412

11.3.3 全概公式 413

11.3.4 贝叶斯公式 415

习题11—3 417

11.4 事件的独立性与伯努利概型 417

11.4.1 事件的独立性 417

11.4.2 伯努利概型 419

习题11—4 420

本章小结 421

典型例题分析 422

复习题十一 424

阅读材料 425

第12章 随机变量及分布 428

12.1 随机变量的概念 428

习题12—1 429

12.2 离散型随机变量及概率分布 429

12.2.1 离散型随机变量的概率分布 430

12.2.2 常见的离散型随机变量的概率分布 431

习题12—2 434

12.3 连续型随机变量及概率密度 435

12.3.1 连续型随机变量的概率密度 435

12.3.2 常见的连续型分布 436

习题12—3 440

12.4 随机变量的分布函数 440

12.4.1 离散型随机变量的分布函数 441

12.4.2 连续型随机变量的分布函数 442

习题12—4 444

12.5 随机变量函数的分布 445

12.5.1 离散型随机变量函数的分布 445

12.5.2 连续型随机变量函数的分布 446

习题12—5 448

本章小结 448

典型例题分析 449

复习题十二 451

阅读材料 452

第13章 随机变量的数字特征 454

13.1 数学期望 454

13.1.1 离散型随机变量的数学期望 455

13.1.2 连续型随机变量的数学期望 456

13.1.3 随机变量函数的数学期望 457

13.1.4 数学期望的性质 458

习题13—1 458

13.2 方差 459

13.2.1 方差的定义 459

13.2.2 常见随机变量的方差 460

13.2.3 方差的性质 461

习题13—2 462

本章小结 463

典型例题分析 464

复习题十三 464

阅读材料 466

第14章 数理统计初步 468

14.1 数理统计的基本概念 468

14.1.1 总体与样本 468

14.1.2 频率分布表与直方图 470

14.1.3 经验分布函数 472

习题14—1 473

14.2 统计量及分布 474

14.2.1 统计量 474

14.2.2 统计三大分布 475

14.2.3 正态总体下的抽样分布 477

习题14—2 479

14.3 参数估计 480

14.3.1 参数估计的概念 480

14.3.2 矩估计法 480

14.3.3 极大似然估计法 481

14.3.4 估计量优良性标准 483

习题14—3 484

本章小结 485

典型例题分析 486

复习题十四 487

阅读材料 487

答案 491

附录 525