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第一章 矩阵运算 1

第一节 基本运算 1

第二节 行约简 7

第三节 行列式 14

第四节 置换矩阵 19

第五节 克拉默法则 21

练习 23

第二章 群 29

第一节 群的定义 29

第二节 子群 33

第三节 同构 36

第四节 同态 38

第五节 等价关系和划分 39

第六节 陪集 42

第七节 限制到子群的同态 44

第八节 群的积 46

第九节 模算术 47

第十节 商群 49

练习 51

第三章 向量空间 59

第一节 实向量空间 59

第二节 抽象域 62

第三节 基和维数 65

第四节 用基计算 70

第五节 无限维空间 74

第六节 直和 76

练习 77

第四章 线性变换 82

第一节 维数公式 82

第二节 线性变换的矩阵 83

第三节 线性算子和特征向量 86

第四节 特征多项式 90

第五节 正交矩阵与旋转 92

第六节 对角化 97

第七节 微分方程组 100

第八节 矩阵指数 103

练习 108

第五章 对称 117

第一节 平面图形的对称 117

第二节 平面运动群 118

第三节 有限运动群 122

第四节 离散运动群 125

第五节 抽象对称：群作用 132

第六节 对陪集的作用 134

第七节 计数公式 136

第八节 置换表示 137

第九节 旋转群的有限子群 139

练习 142

第六章 群论的进一步讨论 149

第一节 群在自身的作用 149

第二节 二十面体群的类方程 151

第三节 在子集上的作用 153

第四节 西罗定理 154

第五节 12阶群 157

第六节 对称群计算 159

第七节 自由群 163

第八节 生成元与关系 165

第九节 托德-考克斯特算法 168

练习 172

第七章 双线性型 179

第一节 双线性型的定义 179

第二节 对称型：正交性 183

第三节 正定型相关的几何 186

第四节 埃尔米特型 188

第五节 谱定理 190

第六节 圆锥曲线与二次曲面 192

第七节 正规算子的谱定理 195

第八节 斜对称型 196

第九节 用矩阵记号对结果的小结 197

练习 198

第八章 线性群 204

第一节 典型线性群 204

第二节 特殊酉群SU2 205

第三节 SU2的正交表示 208

第四节 特殊线性群SL2（R） 212

第五节 单参数子群 213

第六节 李代数 216

第七节 群的平移 220

第八节 单群 223

练习 226

第九章 群表示 232

第一节 群表示的定义 232

第二节 G-不变型及酉表示 234

第三节 紧群 236

第四节 G-不变子空间与既约表示 237

第五节 特征标 238

第六节 置换表示与正则表示 243

第七节 二十面体群的表示 244

第八节 一维表示 246

第九节 舒尔引理和正交关系的证明 246

第十节 群SU2的表示 250

练习 254

第十章 环 262

第一节 环的定义 262

第二节 整数和多项式的形式构造 263

第三节 同态与理想 267

第四节 商环与环的关系 272

第五节 元素的添加 275

第六节 整环与分式域 279

第七节 极大理想 280

第八节 代数几何 282

练习 287

第十一章 因子分解 295

第一节 整数和多项式的因子分解 295

第二节 唯一因子分解整环、主理想整环与欧几里得整环 297

第三节 高斯引理 301

第四节 多项式的具体分解 304

第五节 高斯整数环中的素元 307

第六节 代数整数 309

第七节 虚二次域中的因数分解 314

第八节 理想因子分解 317

第九节 R的素理想与素整数的关系 321

第十节 虚二次域的理想类 322

第十一节 实二次域 328

第十二节 一些丢番图方程 331

练习 333

第十二章 模 341

第一节 模的定义 341

第二节 矩阵、自由模和基 342

第三节 恒等式的不变性原理 345

第四节 整数矩阵的对角化 346

第五节 模的生成元与关系 351

第六节 阿贝尔群的结构定理 356

第七节 对线性算子的应用 359

第八节 多项式环上的自由模 364

练习 365

第十三章 域 372

第一节 域的例子 372

第二节 代数元与超越元 373

第三节 扩域的次数 375

第四节 直尺圆规作图 378

第五节 根的符号添加 382

第六节 有限域 384

第七节 函数域 389

第八节 超越扩域 396

第九节 代数闭域 397

练习 400

第十四章 伽罗瓦理论 404

第一节 伽罗瓦理论的主要定理 404

第二节 三次方程 408

第三节 对称函数 411

第四节 本原元 415

第五节 主要定理的证明 418

第六节 四次方程 421

第七节 库默尔扩域 425

第八节 分圆扩域 426

第九节 五次方程 429

练习 432

附录 背景材料 440

记号 452

进一步阅读建议 454

索引 456