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1 行列式 1

1.1 行列式基本概念 1

1.1.1 n阶行列式的定义 1

1.1.2 行列式的性质 5

习题1.1 9

1.2 行列式的计算 9

1.2.1 拉普拉斯展开定理 9

1.2.2 行列式计算举例 10

习题1.2 15

复习题1 17

2 矩阵 18

2.1 矩阵基本概念 18

2.1.1 矩阵的定义 18

2.1.2 常用的特殊矩阵 18

2.1.3 矩阵的线性运算 20

2.1.4 矩阵的乘法 21

2.1.5 分块矩阵 24

习题2.1 29

2.2 初等变换与初等矩阵 30

2.2.1 矩阵的初等变换 30

2.2.2 矩阵的阶梯形 31

2.2.3 初等矩阵 33

2.2.4 初等变换与初等矩阵的联系 34

2.2.5 矩阵的行列式 35

习题2.2 37

2.3 逆矩阵 39

2.3.1 可逆矩阵与逆矩阵 39

2.3.2 克莱姆法则 44

2.3.3 用初等行变换求逆矩阵与方程组的唯一解 46

习题2.3 49

复习题2 50

3 向量空间 52

3.1 向量空间基本概念 52

3.1.1 向量空间的定义 52

3.1.2 子空间 53

习题3.1 53

3.2 向量组的线性相关性 54

3.2.1 向量组线性相关与线性无关的定义 54

3.2.2 线性相关与线性无关向量组的性质 57

习题3.2 60

3.3 向量组的秩 61

3.3.1 向量组的极大无关组 61

3.3.2 向量组的等价 64

3.3.3 向量组秩的定义与性质 66

习题3.3 67

3.4 矩阵的秩 68

3.4.1 矩阵秩的定义 68

3.4.2 用初等行变换求矩阵的秩 69

3.4.3 矩阵的行秩与列秩 70

3.4.4 矩阵的和秩 71

3.4.5 矩阵的积秩 71

习题3.4 73

3.5 向量空间的基·基变换·坐标变换 75

3.5.1 向量空间的基与维数 75

3.5.2 向量的坐标 76

3.5.3 基变换与坐标变换 77

3.5.4 用初等行变换求过渡矩阵与向量的坐标 78

习题3.5 80

复习题3 81

线性方程组 82

4.1 线性方程组解的属性 82

4.1.1 线性方程组的初等变换 82

4.1.2 线性方程组解的性质 83

4.1.3 线性齐次方程组解的属性 83

4.1.4 线性非齐次方程组解的属性 85

习题4.1 88

4.2 线性方程组的通解 90

4.2.1 线性齐次方程组的基础解系 90

4.2.2 线性齐次方程组的通解 91

4.2.3 线性非齐次方程组的通解 94

习题4.2 99

复习题4 101

5 特征值问题 103

5.1 特征值与特征向量 103

5.1.1 特征值与特征向量的定义 103

5.1.2 特征值与特征向量的求法 103

5.1.3 特征值与特征向量的性质 107

习题5.1 111

5.2 矩阵的相似对角化 113

5.2.1 相似矩阵 113

5.2.2 矩阵相似对角化的定义 114

5.2.3 矩阵可相似对角化的条件 114

5.2.4 矩阵相似对角化的步骤 117

习题5.2 122

复习题5 123

6 欧氏空间 124

6.1 欧氏空间基本概念 124

6.1.1 向量的内积 124

6.1.2 欧氏空间与度量矩阵 124

6.1.3 向量的模与两向量的夹角 127

习题6.1 130

6.2 正交矩阵 130

6.2.1 正交矩阵基本概念 130

6.2.2 施密特正交规范化方法 132

习题6.2 136

6.3 矩阵的正交相似对角化 137

6.3.1 矩阵正交相似对角化的定义 137

6.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量 137

6.3.3 实对称矩阵可正交相似对角化 138

6.3.4 实对称矩阵正交相似对角化的步骤 139

习题6.3 142

复习题6 143

7 二次型 144

7.1 二次型基本概念 144

7.1.1 二次型的矩阵表示 144

7.1.2 二次型的等价 146

习题7.1 146

7.2 矩阵的合同对角化 147

7.2.1 合同矩阵 147

7.2.2 矩阵合同对角化的定义 148

7.2.3 对称矩阵可合同对角化 148

7.2.4 用初等变换将对称矩阵合同对角化 150

7.2.5 矩阵正交合同对角化的定义 151

7.2.6 实对称矩阵可正交合同对角化 151

习题7.2 152

7.3 二次型的标准形 152

7.3.1 二次型的标准形与规范形 152

7.3.2 通过配方化实二次型为标准形 156

7.3.3 通过正交变换化实二次型为标准形 157

7.3.4 通过初等变换化实二次型为标准形 159

7.3.5 惯性定理 160

7.3.6 二次曲面类型的判别 162

习题7.3 162

7.4 正定二次型与正定矩阵 164

7.4.1 二次型的分类 164

7.4.2 正定二次型与正定矩阵的判别法 164

习题7.4 168

复习题7 169

8 线性空间与线性变换简介 170

8.1 线性空间的基本概念 170

8.1.1 线性空间的例子 170

8.1.2 线性空间的同构 171

习题8.1 174

8.2 线性变换的基本概念 174

8.2.1 线性变换的定义 174

8.2.2 线性变换的像与核 175

8.2.3 线性变换在基下的矩阵 177

8.2.4 线性变换在不同基下矩阵的关系 180

习题8.2 182

习题答案与提示 184

附录 《线性代数》教学课时安排建议 210