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第1章 数学基础知识 1

1.1 线性空间与赋范线性空间 1

1.1.1 线性空间 1

1.1.2 赋范线性空间 3

1.2 内积空间 7

1.2.1 内积及内积空间的定义 7

1.2.2 内积范数 9

1.2.3 内积与正交投影及投影向量 10

1.2.4 Gram-Schmidt正交化方法 11

1.2.5 正交多项式 13

1.2.6 算子的概念 18

1.3 常用矩阵变换 19

1.3.1 Gauss变换阵与矩阵的三角分解 19

1.3.2 Householder变换阵与矩阵的正交分解 22

1.3.3 Givens变换阵与正交分解 26

1.3.4 奇异值（SVD）分解 28

1.3.5 计算实例 29

1.4 算法稳定性与有效数字 35

1.4.1 算法的稳定性 35

1.4.2 误差与有效数字 36

习题1 37

第2章 插值法 38

2.1 Lagrange插值法与Newton插值法 39

2.1.1 多项式插值的存在唯一性 39

2.1.2 Lagrange插值法 40

2.1.3 Lagrange插值多项式的误差 42

2.1.4 Newton（牛顿）插值法 43

2.1.5 Newton插值多项式的误差 45

2.1.6 导数值作为插值条件的多项式插值（Hermite插值） 46

2.2 分段低次插值 49

2.2.1 高次插值的Runge现象 49

2.2.2 分段低次插值 50

2.2.3 三次样条插值 52

2.2.4 实例计算 56

2.3 二元函数分片插值法 59

2.3.1 问题的提出 59

2.3.2 矩形域上的分片插值问题 60

习题2 63

第3章 最小二乘原理及其应用 65

3.1 最小二乘原理 65

3.2 最小二乘解的计算方法 67

3.2.1 内积空间中最小二乘解的计算方法 67

3.2.2 计算实例 73

习题3 74

第4章 数值积分法 75

4.1 等距节点的牛顿-柯特斯公式 76

4.1.1 插值型求积公式 76

4.1.2 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式 77

4.1.3 插值型求积公式的代数精度 78

4.1.4 Newton-Cotes公式的截断误差 81

4.1.5 Newton-Cotes公式的数值稳定性分析 83

4.2 复化求积法 83

4.2.1 复化求积公式 83

4.2.2 变步长复化求积公式 85

4.3 Gauss型求积公式 89

4.3.1 构造Gauss型求积公式的基本原理 89

4.3.2 构造Gauss型求积公式的具体方法 93

4.3.3 Gauss型求积公式的稳定性分析 97

4.3.4 实例应用 98

习题4 99

第5章 线性代数方程组的数值解法 101

5.1 解线性代数方程组的直接解法 101

5.1.1 Gauss消元法及其矩阵表示 102

5.1.2 正交分解法及其矩阵表示 105

5.2 解线性代数方程组的误差分析 106

5.3 解线性代数方程组的迭代解法 109

5.3.1 构造迭代格式的基本思想和收敛性 109

5.3.2 三种经典的迭代格式 111

5.4 解线性代数方程组的变分方法 115

5.4.1 对称正定线性代数方程组解的变分原理 116

5.4.2 求解极小值点的一般方法 118

5.4.3 最速下降法 119

5.4.4 共轭梯度法 120

5.4.5 计算实例 123

习题5 125

第6章 非线性方程的数值解法 127

6.1 二分法 128

6.1.1 方程根的概念 128

6.1.2 二分法 129

6.2 迭代法及其收敛性 130

6.2.1 迭代格式的构造及收敛条件 130

6.2.2 迭代格式的局部收敛性 132

6.3 Newton迭代与割线法 133

6.3.1 Newton迭代格式 133

6.3.2 Newton迭代法的局部收敛性 134

6.3.3 弦截法 134

6.3.4 计算实例 135

6.4 解非线性方程组的迭代法 139

6.4.1 不动点迭代法 139

6.4.2 Newton-Raphson迭代法 140

习题6 141

第7章 常微分方程数值解法初步 143

7.1 求解初值问题数值方法的基本原理 144

7.1.1 初值问题的数值解 144

7.1.2 构造初值问题数值方法的基本途径 145

7.1.3 梯形公式与预估校正思想 146

7.1.4 单步法的误差分析和稳定性 147

7.2 高精度的单步法 152

7.2.1 基本原理 152

7.2.2 二阶Runge-Kutta方法的推导 153

7.2.3 经典的四阶R-K方法 154

7.3 线性多步法 156

7.3.1 基于数值积分的Adams公式 157

7.3.2 预估-校正算法 159

7.4 一阶微分方程组的解法 162

7.5 边值问题的打靶法和差分法 164

7.5.1 打靶法（Shooting Method） 164

7.5.2 差分法（Difference Method） 165

7.6 计算实例 167

习题7 168

第8章 微分方程变分原理与有限元方法初步 171

8.1 Hilbert空间与Sobolev空间 171

8.1.1 Hilbert空间 171

8.1.2 Sobolev空间 172

8.2 数学物理中的变分问题 175

8.3 一维变分问题 177

8.4 二维变分问题 182

8.4.1 第一类边值问题 182

8.4.2 其他边值问题 185

8.5 变分问题的计算 186

8.5.1 Rtiz方法 186

8.5.2 Galerkin方法 187

8.6 有限元方法初步 190

8.6.1 从Ritz法出发 190

8.6.2 从Galerkin法出发 195

习题8 198

第9章 参数估计与假设检验 199

9.1 参数估计方法 200

9.1.1 点估计 200

9.1.2 区间估计 202

9.2 假设检验 203

9.2.1 参数假设检验 203

9.2.2 分布假设检验 206

习题9 209

第10章 回归分析与方差分析 211

10.1 一元线性回归 212

10.1.1 引言 212

10.1.2 一元线性回归的参数估计 213

10.1.3 模型检验 215

10.1.4 预测 216

10.1.5 控制 217

10.2 多元线性回归 218

10.2.1 模型和参数估计 218

10.2.2 多元回归模型的检验 221

10.2.3 预测 222

10.2.4 变量选择及多元共线性问题 223

10.2.5 线性回归的推广 228

10.3 方差分析 229

10.3.1 一元方差分析 229

10.3.2 二元方差分析 232

习题10 238

第11章 线性反演理论初步 243

11.1 反演问题的基本概念 243

11.1.1 反演问题及其主要内容 243

11.1.2 线性反演问题及其一般论述 245

11.1.3 一些非线性问题线性化的方法 249

11.2 离散型线性反演问题的最小长度解 250

11.2.1 长度及其对反演问题求解的影响 250

11.2.2 适定和超定问题的求解 251

11.2.3 纯欠定问题的求解 253

11.2.4 混定问题的求解——马夸特法 254

11.2.5 长度的加权度量与反演问题的求解 255

11.3 Backus-Gilbert反演理论 257

11.3.1 在精确数据情况下连续介质的反演理论 258

11.3.2 BG线性评价 263

习题11 269

参考文献 271