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第1章 小位移变形弹性理论基本方程 1

1.1 应力、应变、位移、体积力、表面力 1

1.2 应变能和余能 2

1.2.1 应变能密度 2

1.2.2 余能密度 3

1.3 小位移变形弹性理论基本方程 3

1.3.1 平衡方程（力学方程） 3

1.3.2 应变位移方程（几何方程） 4

1.3.3 应力应变关系（物理方程或本构方程） 6

1.3.4 边界条件 11

1.4 散度定理 12

1.5 小结 13

参考文献 14

第2章 小位移变形弹性理论最小余能经典变分原理Πc及Hellinger-Reissner广义变分原理∏ HR 15

2.1 最小余能原理 15

2.1.1 最小余能原理∏ C及泛函约束条件 15

2.1.2 最小余能原理的证明 16

2.1.3 最小余能原理的注意事项 18

2.2 Hellinger-Reissner变分原理 19

2.2.1 小位移变形弹性理论的广义变分原理 19

2.2.2 Hellinger-Reissner广义变分原理∏ HR 20

2.2.3 Hellinger-Reissner广义变分原理注意事项 23

2.3 弹性理论变分原理与数学变分原理 23

2.3.1 数学变分命题 24

2.3.2 弹性理论的变分问题 24

2.4 小结 24

参考文献 25

第3章 根据修正的余能原理∏mc及Hellinger-Reissner原理∏ HR建立的有限元模式 26

3.1 修正的余能原理及早期杂交应力元Ⅰ 26

3.1.1 最小余能原理 26

3.1.2 修正的余能原理 27

3.1.3 早期杂交应元Ⅰ 29

3.2 由Hellinger-Reissner原理建立的早期杂交应力元Ⅱ 32

3.2.1 变分泛函 32

3.2.2 有限元列式 33

3.2.3 注意事项 34

3.3 两种早期杂交应力元小结 37

3.3.1 两种早期杂交应力元 37

3.3.2 假定应力杂交模式小结 37

3.4 扫除附加运动变形模式（扫除多余零能模式） 38

3.4.1 附加运动变形模式 38

3.4.2 扫除附加运动变形模式 39

3.4.3 选择单元应力场扫除零能模式的方法及实例 41

3.4.4 单元稳定所需最小应力参数的意见 42

3.5 小结 43

参考文献 43

第4章 根据修正的余能原理∏mc及Hellinger-Reissner原理∏ HR，建立具有一个给定无外力圆柱表面的特殊杂交应力元及其应用（Ⅰ） 45

4.1 具有一个无外力圆柱表面特殊三维杂交应力元 45

4.1.1 单元假定应力场的建立 46

4.1.2 单元位移场及单刚计算 51

4.1.3 单元坐标系转换 53

4.1.4 根据∏ HR（或∏mc）建立的具有一个无外力圆柱表面杂交应力元 54

4.2 应用具有一个无外力圆柱表面杂交应力元对具有圆柱形槽孔构件进行受力分析 55

4.2.1 计算实例 55

4.2.2 具有一个给定无外力圆柱表面杂交应力元计算小结 71

4.3 各结点具有转动自由度的4结点特殊杂交应力膜元 72

4.3.1 具有一个无外力圆弧边并含4个结点转动自由度的杂交应力元 72

4.3.2 用第一类具有转动自由度的特殊元对槽孔构件进行受力分析 76

4.4 各结点具有转动自由度的三维8结点特殊杂交应力元 82

4.4.1 各结点具有转动自由度三维8结点特殊杂交应力元的建立 82

4.4.2 用第二类具有转动自由度的特殊元对槽孔构件进行受力分析 87

4.4.3 各结点带转动自由度的特殊元与各结点无转动自由度的特殊元对比 90

参考文献 90

第5章 根据修正的余能原理∏mc及Hellinger-Reissner原理∏ HR，建立具有一个给定无外力直表面的特殊杂交应力元及其应用（Ⅱ） 94

5.1 具有一个无外力直表面的三维杂交应力元 94

5.1.1 单元位移场u 94

5.1.2 单元假定应力场σ 94

5.2 具有一个无外力圆柱表面及一个无外力直表面两种元联合进行槽孔构件受力分析 97

5.3 小结 116

参考文献 119

第6章 修正的Hellinger-Reissner原理∏ mR，根据修正的Hellinger-Reissner原理建立的特殊杂交应力元及其应用 123

6.1 修正的Hellinger-Reissner原理 123

6.1.1 Hell inger-Reissner原理的离散形式 123

6.1.2 修正的Hellinger-Reissner原理（一）∏mR 124

6.2 修正的Hellinger-Reissner原理（二）及修正的Hellinger-Reissner原理（三） 126

6.2.1 修正的Hellinger-Reissner原理（二）∏mR2 127

6.2.2 修正的Hell inger-Reissner原理（三）∏mR3 127

6.3 修正的Hellinger-Reissner原理及所建立的杂交应力元 128

6.3.1 修正的Hellinger-Reissner变分原理∏mR 128

6.3.2 有限元列式 129

6.3.3 这种有限元列式讨论 130

6.4 非协调杂交应力元理性列式（Ⅰ）——平衡法 130

6.4.1 非协调杂交应力元理性列式（Ⅰ） 131

6.4.2 用理性列式Ⅰ——平衡法建立杂交应力元的特点 132

6.5 理性列式（Ⅰ）——平衡法建立特殊杂交应力元及其应用 133

6.5.1 具有一个无外力圆柱表面三维10结点特殊杂交应力元 133

6.5.2 工程实例 136

6.6 非协调杂交应力元理性列式（Ⅱ）——表面虚功法 139

6.6.1 建立应力约束方程及单元刚度阵 139

6.6.2 非协调杂交应力元理性列式说明 142

6.7 理性列式（Ⅱ）——表面虚功法建立特殊杂交应力元及其应用 142

6.7.1 具有一个无外力斜表面的三维12结点特殊杂交应力元 142

6.7.2 倒圆角V-型槽孔矩形薄板承受拉伸 146

6.8 非协调杂交应力元理性列式（Ⅲ）——正交法 147

6.8.1 非协调位移元与杂交应力元的对应性 147

6.8.2 非协调杂交应力元理性列式（Ⅲ） 149

6.9 应力张量转换法建立几何形状歪斜元的应力场 149

6.10 具有一个无外力斜边，且斜边上2个结点含有转动自由度的4结点杂交应力元 151

6.10.1 建立单元协调位移 151

6.10.2 建立单元非协调位移 154

6.10.3 建立单元假定应力场 155

6.10.4 工程实例 159

6.11 小结 164

参考文献 166

第7章 扩展的修正余能原理∏emc及根据扩展的修正余能原理建立的特殊层合元 169

7.1 扩展的修正余能原理及杂交应力层合元列式 170

7.1.1 扩展的修正余能原理∏emc 170

7.1.2 层合材料有限元列式 170

7.2 具有一个无外力圆柱表面杂交应力层合元及其应用 172

7.2.1 单元假定应力场 172

7.2.2 单元边界位移 176

7.2.3 工程算例 176

7.3 具有一个无外力直表面特殊杂交应力层合元 186

7.3.1 每层具有8结点及一个无外力直表面层合元 186

7.3.2 每层具有12结点及一个无外力直表面层合元 188

7.3.3 工程算例 191

7.4 联合一个无外力圆柱表面及一个无外力直表面两类层合杂交应力元，求解槽孔层合板的应力 197

7.4.1 倒圆角方孔层板承受拉伸 197

7.4.2 倒圆角矩形孔的层板承受拉伸或剪切 200

7.4.3 单侧U-型槽孔层板承受拉伸 202

7.4.4 拟椭圆孔层板承受拉伸 204

7.5 小结 208

参考文献 209

第8章 扩展的修正Hellinger-Reissner原理∏ mR及根据扩展的修正Hellinger-Reissner原理建立的特殊杂交应力层合元 213

8.1 扩展的修正Hell inger-Reissner原理及有限元列式 213

8.1.1 扩展的修正Hell inger-Reissner原理∏emR 213

8.1.2 层合元列式 217

8.2 具有一个无外力圆柱表面三维杂交应力层合元 218

8.2.1 单元位移场 218

8.2.2 单元假定应力场 220

8.3 其余三种具有一个无外力圆柱表面每层10结点的三维杂交应力层合元 222

8.3.1 单元Case A 222

8.3.2 单元Case B 224

8.3.3 单元Case C 225

8.4 中心横向拟椭圆孔层板受力分析 226

8.4.1 Case A、Case B及Case C三种单元性能比较 226

8.4.2 Case A与SLR10两种元比较 227

8.5 小结 232

参考文献 233

附录A 234

附录B 247