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第7章 常微分方程 1

7.1 常微分方程的基本概念 1

习题7.1 4

7.2 一阶微分方程 6

7.2.1 可分离变量的微分方程 6

7.2.2 齐次微分方程 10

7.2.3 一阶线性微分方程 13

7.2.4 伯努利方程 15

习题7.2 16

7.3 可降阶的高阶微分方程 18

7.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 18

7.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 19

7.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 20

习题7.3 23

7.4 高阶线性微分方程 24

7.4.1 函数的线性相关与线性无关 24

7.4.2 线性微分方程解的结构 25

7.4.3 线性微分方程解的存在唯一性 27

习题7.4 28

7.5 常系数齐次线性微分方程 29

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 29

7.5.2 n阶常系数齐次线性微分方程 33

习题7.5 34

7.6 常系数非齐次线性微分方程 35

7.6.1 二阶常系数非齐次线性微分方程 35

7.6.2 欧拉方程 43

习题7.6 44

综合习题7 44

第8章 无穷级数 46

8.1 常数项级数的概念和性质 46

8.1.1 常数项级数的概念 46

8.1.2 收敛级数的基本性质 49

习题8.1 51

8.2 常数项级数的审敛法 52

8.2.1 级数收敛的必要条件 52

8.2.2 正项级数及其审敛法 53

8.2.3 交错级数 59

8.2.4 绝对收敛与条件收敛 61

习题8.2 64

8.3 幂级数 66

8.3.1 函数项级数的概念 66

8.3.2 幂级数及其收敛性 67

8.3.3 幂级数的性质及幂级数的和函数 72

习题8.3 76

8.4 泰勒级数 77

8.4.1 泰勒级数的概念 77

8.4.2 函数展开为幂级数 78

8.4.3 幂级数的应用 84

习题8.4 86

8.5 傅里叶级数 88

8.5.1 三角函数系 88

8.5.2 周期为2π的函数的傅里叶级数 90

8.5.3 函数在［-π，π］上的傅里叶级数 93

8.5.4 函数在［0，π］上的正弦级数或余弦级数 95

8.5.5 周期为2l的函数的傅里叶级数 98

8.5.6 傅里叶级数的复数形式 99

习题8.5 101

综合习题8 101

第9章 空间解析几何与向量代数 104

9.1 空间向量及其运算 104

习题9.1 109

9.2 空间平面和直线方程 110

9.2.1 空间平面方程 110

9.2.2 空间直线方程 114

习题9.2 116

9.3 空间曲面和曲线 117

习题9.3 124

第10章 多元函数微分学及其应用 125

10.1 多元函数的极限与连续 125

10.1.1 n维空间 125

10.1.2 多元函数的极限 127

10.1.3 多元函数的连续性 129

习题10.1 129

10.2 偏导数 131

10.2.1 偏导数的概念及其计算 131

10.2.2 偏导数的几何意义 133

10.2.3 高阶偏导数 135

习题10.2 137

10.3 全微分及其应用 139

习题10.3 143

10.4 多元复合函数的求导法则 144

习题10.4 148

10.5 隐函数及其求导法 151

习题10.5 156

10.6 多元微分在几何上的应用 158

10.6.1 空间曲线的切线与法平面 158

10.6.2 空间曲面的切平面与法线 159

习题10.6 162

10.7 多元函数的极值 164

10.7.1 无条件极值 164

10.7.2 条件极值 拉格朗日乘数法 169

习题10.7 173

10.8 方向导数与梯度 174

10.8.1 方向导数 174

10.8.2 梯度 177

习题10.8 180

综合习题10 181

第11章 重积分 183

11.1 二重积分的概念与性质 183

11.1.1 二重积分的概念 183

11.1.2 二重积分的性质 185

习题11.1 187

11.2 二重积分的计算 188

11.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 188

11.2.2 极坐标系下二重积分的计算 193

11.2.3 对称性与二重积分 196

11.2.4 二重积分的变量替换 199

习题11.2 203

11.3 三重积分 206

11.3.1 三重积分的概念 206

11.3.2 空间直角坐标系下三重积分的计算 207

11.3.3 利用球坐标系计算三重积分 212

习题11.3 214

11.4 重积分的应用 217

11.4.1 几何应用 217

11.4.2 物理应用 220

习题11.4 227

综合习题11 228

第12章 曲线积分与曲面积分 230

12.1 第一型曲线积分 230

12.1.1 第一型曲线积分的概念和性质 230

12.1.2 第一型曲线积分的计算 232

习题12.1 236

12.2 第二型曲线积分 238

12.2.1 第二型曲线积分的概念与性质 238

12.2.2 第二型曲线积分的计算 239

习题12.2 243

12.3 格林公式及其应用 245

12.3.1 格林公式 245

12.3.2 平面上的曲线积分与路径无关的条件 251

12.3.3 全微分方程 254

习题12.3 257

12.4 第一型曲面积分 259

12.4.1 第一型曲面积分的概念与性质 259

12.4.2 第一型曲面积分的计算 260

习题12.4 264

12.5 第二型曲面积分 265

12.5.1 双侧曲面及其法向量 265

12.5.2 第二型曲面积分的概念 266

习题12.5 273

12.6 高斯公式 通量与散度 274

12.6.1 高斯公式 274

12.6.2 通量与散度 278

习题12.6 280

12.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 281

12.7.1 斯托克斯公式 281

12.7.2 环流量与旋度 284

习题12.7 285

综合习题12 286

附录 研究与参考 289

A．关于常微分方程的注记 289

B．关于多元函数极值的充分条件 292

参考文献 297