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第1章 数值分析与科学计算引论 1

1.1数值分析的对象、作用与特点 1

1.1.1数学科学与数值分析 1

1.1.2计算数学与科学计算 1

1.1.3计算方法与计算机 2

1.1.4数值问题与算法 2

1.2数值计算的误差 3

1.2.1误差来源与分类 3

1.2.2误差与有效数字 4

1.2.3数值运算的误差估计 7

1.3误差定性分析与避免误差危害 8

1.3.1算法的数值稳定性 9

1.3.2病态问题与条件数 10

1.3.3避免误差危害 11

1.4数值计算中算法设计的技术 13

1.4.1多项式求值的秦九韶算法 13

1.4.2迭代法与开方求值 14

1.4.3以直代曲与化整为“零” 15

1.4.4加权平均的松弛技术 16

1.5数学软件 17

评注 18

复习与思考题 19

习题 19

第2章 插值法 22

2.1引言 22

2.1.1插值问题的提出 22

2.1.2多项式插值 23

2.2拉格朗日插值 23

2.2.1线性插值与抛物线插值 23

2.2.2拉格朗日插值多项式 25

2.2.3插值余项与误差估计 26

2.3均差与牛顿插值多项式 29

2.3.1插值多项式的逐次生成 29

2.3.2均差及其性质 30

2.3.3牛顿插值多项式 31

2.3.4差分形式的牛顿插值公式 32

2.4埃尔米特插值 35

2.4.1重节 点均差与泰勒插值 35

2.4.2两个典型的埃尔米特插值 36

2.5分段低次插值 39

2.5.1高次插值的病态性质 39

2.5.2分段线性插值 40

2.5.3分段三次埃尔米特插值 40

2.6三次样条插值 41

2.6.1三次样条函数 41

2.6.2样条插值函数的建立 42

2.6.3误差界与收敛性 46

评注 46

复习与思考题 47

习题 48

计算实习题 50

第3章 函数逼近与快速傅里叶变换 51

3.1函数逼近的基本概念 51

3.1.1函数逼近与函数空间 51

3.1.2范数与赋范线性空间 52

3.1.3内积与内积空间 53

3.1.4最佳逼近 56

3.2正交多项式 57

3.2.1正交函数族与正交多项式 57

3.2.2勒让德多项式 59

3.2.3切比雪夫多项式 61

3.2.4切比雪夫多项式零点插值 63

3.2.5其他常用的正交多项式 65

3.3最佳平方逼近 67

3.3.1最佳平方逼近及其计算 67

3.3.2用正交函数族作最佳平方逼近 69

3.3.3切比雪夫级数 72

3.4曲线拟合的最小二乘法 73

3.4.1最小二乘法及其计算 73

3.4.2用正交多项式作最小二乘拟合 76

3.5有理逼近 78

3.5.l有理逼近与连分式 78

3.5.2帕德逼近 80

3.6三角多项式逼近与快速傅里叶变换 83

3.6.1最佳平方三角逼近与三角插值 84

3.6.2N点DFT与FFT算法 86

评注 92

复习与思考题 92

习题 94

计算实习题 95

第4章 数值积分与数值微分 97

4.1数值积分概论 97

4.1.1数值积分的基本思想 97

4.1.2代数精度的概念 98

4.1.3插值型的求积公式 100

4.1.4求积公式的余项 101

4.1.5求积公式的收敛性与稳定性 102

4.2牛顿—柯特斯公式 103

4.2.1柯特斯系数与辛普森公式 103

4.2.2偶阶求积公式的代数精度 105

4.2.3辛普森公式的余项 105

4.3复合求积公式 106

4.3.1复合梯形公式 106

4.3.2复合辛普森求积公式 107

4.4龙贝格求积公式 109

4.4.1梯形法的递推化 109

4.4.2外推技巧 110

4.4.3龙贝格算法 112

4.5自适应积分方法 113

4.6高斯求积公式 116

4.6.1一般理论 116

4.6.2高斯—勒让德求积公式 121

4.6.3高斯—切比雪夫求积公式 123

4.6.4无穷区间的高斯型求积公式 124

4.7多重积分 126

4.8数值微分 128

4.8.1中点方法与误差分析 128

4.8.2插值型的求导公式 130

4.8.3三次样条求导 132

4.8.4数值微分的外推算法 132

评注 133

复习与思考题 134

习题 135

计算实习题 137

第5章 解线性方程组的直接方法 138

5.1引言与预备知识 138

5.1.1引言 138

5.1.2向量和矩阵 138

5.1.3矩阵的特征值与谱半径 139

5.1.4特殊矩阵 141

5.2高斯消去法 142

5.2.1高斯消去法 142

5.2.2矩阵的三角分解 146

5.2.3列主元消去法 148

5.3矩阵三角分解法 152

5.3.1直接三角分解法 152

5.3.2平方根法 156

5.3.3追赶法 159

5.4向量和矩阵的范数 161

5.4.1向量范数 161

5.4.2矩阵范数 164

5.5误差分析 167

5.5.1矩阵的条件数 167

5.5.2迭代改善法 172

评注 174

复习与思考题 174

习题 175

计算实习题 178

第6章 解线性方程组的迭代法 180

6.1迭代法的基本概念 180

6.1.1引言 180

6.1.2向量序列与矩阵序列的极限 182

6.1.3迭代法及其收敛性 183

6.2雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法 187

6.2.1雅可比迭代法 187

6.2.2高斯—塞德尔迭代法 188

6.2.3雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代收敛性 190

6.3超松弛迭代法 193

6.3.1逐次超松弛迭代法 193

6.3.2SOR迭代法的收敛性 195

6.3.3块迭代法 197

6.4共扼梯度法 202

6.4.1与方程组等价的变分问题 202

6.4.2最速下降法 203

6.4.3共轭梯度法（CG方法） 204

评注 208

复习与思考题 208

习题 209

计算实习题 211

第7章 非线性方程与方程组的数值解法 212

7.1方程求根与二分法 212

7.1.1引言 212

7.1.2二分法 213

7.2不动点迭代法及其收敛性 215

7.2.1不动点与不动点迭代法 215

7.2.2不动点的存在性与迭代法的收敛性 216

7.2.3局部收敛性与收敛阶 218

7.3迭代收敛的加速方法 220

7.3.1埃特金加速收敛方法 220

7.3.2斯特芬森迭代法 221

7.4牛顿法 222

7.4.1牛顿法及其收敛性 222

7.4.2牛顿法应用举例 224

7.4.3简化牛顿法与牛顿下山法 225

7.4.4重根情形 226

7.5弦截法与抛物线法 228

7.5.1弦截法 228

7.5.2抛物线法 229

7.6求根问题的敏感性与多项式的零点 230

7.6.1求根问题的敏感性与病态代数方程 230

7.6.2多项式的零点 232

7.7非线性方程组的数值解法 233

7.7.1非线性方程组 233

7.7.2多变量方程的不动点迭代法 234

7.7.3非线性方程组的牛顿迭代法 236

评注 236

复习与思考题 237

习题 238

计算实习题 239

第8章 矩阵特征值计算 241

8.1特征值性质和估计 241

8.1.1特征值问题及其性质 241

8.1.2特征值估计与扰动 242

8.2幂法及反幂法 245

8.2.1幂法 245

8.2.2加速方法 248

8.2.3反幂法 251

8.3正交变换与矩阵分解 254

8.3.1豪斯霍尔德变换 254

8.3.2吉文斯变换 256

8.3.3矩阵的QR分解与舒尔分解 258

8.3.4用正交相似变换约化一般矩阵为上海森柏格矩阵 261

8.4QR方法 264

8.4.1QR算法 264

8.4.2带原点位移的QR方法 266

8.4.3用单步QR方法计算上海森伯格矩阵的特征值 268

8.4.4双步QR方法（隐式QR方法） 272

评注 274

复习与思考题 274

习题 275

计算实习题 277

第9章 常微分方程初值问题数值解法 279

9.1引言 279

9.2简单的数值方法 280

9.2.1欧拉法与后退欧拉法 280

9.2.2梯形方法 282

9.2.3改进欧拉公式 283

9.2.4单步法的局部截断误差与阶 284

9.3龙格—库塔方法 286

9.3.1显式龙格—库塔法的一般形式 286

9.3.2二阶显式R-K方法 287

9.3.3三阶与四阶显式R-K方法 288

9.3.4变步长的龙格—库塔方法 290

9.4单步法的收敛性与稳定性 291

9.4.1收敛性与相容性 291

9.4.2绝对稳定性与绝对稳定域 293

9.5线性多步法 297

9.5.1线性多步法的一般公式 297

9.5.2阿当姆斯显式与隐式公式 299

9.5.3米尔尼方法与辛普森方法 301

9.5.4汉明方法 302

9.5.5预测—校正方法 303

9.5.6构造多步法公式的注记和例 305

9.6线性多步法的收敛性与稳定性 306

9.6.1相容性及收敛性 307

9.6.2稳定性与绝对稳定性 308

9.7一阶方程组与刚性方程组 310

9.7.1一阶方程组 310

9.7.2化高阶方程为一阶方程组 312

9.7.3刚性方程组 313

评注 315

复习与思考题 315

习题 316

计算实习题 318

部分习题答案 320

参考文献 325