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绪言 1

历史介绍 1

第一章 算术的基本定理 16

1－1 引言 16

1－2 整除性 17

1－3 最大公因数 17

1－4 质数 20

1－5 算术的基本定理 21

1－6 质数之倒数所成的级数 23

1－7 欧几里得除法 24

1－8 多於两个数的最大公因数 25

第二章 算术函数与Dirichlet乘积 29

2－1 引言 29

2－2 M?bius函数μ（n） 29

2－3 Euler φ函数φ（n） 30

2－4 φ与μ的一个关系式 31

2－5 φ（n）的一个乘积公式 32

2－6 算术函数的Dirichlet积 34

2－7 Dirichlet反元素与M?bius反转公式 36

2－8 Mangoldt函数∧（n） 37

2－9 积性函数 39

2－10 积性函数与Dirichlet积 41

2－11 完全积性函数的反元素 43

2－12 Liounille函数λ（n） 44

2－13 因数函数σα（n） 45

2－14 广义的合成 46

2－15 形式幂级数 48

2－16 算术函数的Bell级数 50

2－17 Bell级数与Dirichlet积 52

2－18 算术函数的导函数 53

2－19 Selberg恒等式 54

第三章 算术函数的平均 61

3－1 引言 61

3－2 记号“大O”。函数的渐近等式 63

3－3 Euler和公式 64

3－4 一些基本的渐近公式 65

3－5 d （n）的平均阶数 68

3－6 因数函数σα（n）的平均阶数 70

3－7 φ（n）的平均阶数 72

3－8 应用於从原点可见的格子点的分配 73

3－9 μ（n）与∧ （n）的平均阶数 76

3－10 Dirichlet积的部份和 77

3－11 应用於μ（n）与∧（n） 77

3－12 Dirichlet积之部份和的其他公式 81

第四章 质数分布的一些基础定理 87

4－1 引言 87

4－2 Chebyshev函数φ（x）与θ（x） 89

4－3 θ（x）与π（x）之关系 90

4－4 质数定理的一些等价关系 94

4－5 关於π与Pn的不等式 98

4－6 Shapiro的Tauber型定理 102

4－7 Shapiro定理的应用 105

4－8 部分和∑p＝x（1/p）的一个渐近公式 107

4－9 M？bius函数的部份和 109

4－10 质数定理的初等证明概略 117

4－11 Sellberg渐近公式 118

第五章 同余 129

5－1 同馀的定义与基本性质 129

5－2 剩馀组与完全剩馀系 133

5－3 线性同馀 134

5－4 既约剩馀系与Euler－Fermat 定理 137

5－5 模P的多项式同馀式。Lagrange 定理 138

5－6 Lagrange 定理的应用 140

5－7 线性联立同馀式。中国剩馀定理 142

5－8 中国剩馀定理的应用 143

5－9 对於模为质数乘幂的多项同馀式 145

5－10 交叉分类原理 148

5－11 既约剩馀系的分解性质 151

第六章 有限交换群与其特征 156

6－1 定义 156

6－2 群与子群的例子 157

5－3 群的基本性质 157

6－4 子群的构造 159

6－5 有限交换群的特征 161

6－6 特征群 163

6－7 特征的正交关系 164

6－8 Dirichlet 特征 166

6－9 关於 Dirichlet 特征的和 169

6－10 对于实非主特征X,L （1,X）不为零 171

第七章 算术数列的质数的Dirichlet定理 177

7－1 引言 177

7－2 具有4n＋1及4n＋1形式之质数的Dirichlet定理 178

7－3 Dirichlet　　定理之证明计划 179

7－4 引理7－4之证明 182

7－5 引理7－5之证明 183

7－6 引理7－6之证明 184

7－7 引理7－8之证明 185

7－8 引理7－7之证明 186

7－9 在算术数列中质数的分布 187

第八章 周期函数与 Gauss 和 190

8－1 模k周期函数 190

8－2 周期算术函数的有限Fourier级数存在 191

8－3 Ramanujan 和及其推广 194

8－4 和Sk（n）的积性性质 197

8－5 关於Dirichlet特征的Gauss和 200

8－6 Gauss 和不为零的Dirichlet特征 201

8－7 诱导模及原始特征 203

8－8 诱导模的进一步的性质 204

8－9 特征的导子 207

8－10 原始特征与可分离的Gauss和 208

8－11 Dirichlet特征的有限Fourier级数 209

8－12 原始特征的部份和的Pólya不等式 210

第九章 平方剩馀与平方逆换律 217

9－1 平方剩馀 217

9－2 Legendre符号及其性质 218

9－3 计算（－1/p）与（2/p） 220

9－4 Gauss引理 221

9－5 平方逆换律 225

9－6 平方逆换律的应用 228

9－7 Jacobi符号 229

9－8 应用於Diophantus方程式 233

9－9 Gauss和与平方逆换律 235

9－10 Gauss和的互逆律 239

9－11 平方逆换律的另一证明 245

第十章 原始根 251

10－1 一数mod m的指数。原始根 251

10－2 原始根与既约剩馀系 252

10－3 对於α≥3 mod 22的原始根不存在 253

19－4 对於奇质数p ,mod p原始根存在 253

10－5 原始根与平方剩馀 256

10－6 mod p2 原始根存在 256

10－7 mod 2p2 的原始根存在 259

10－8 在其他情形下原始根不存在 259

10－9 mod m 的原始根的个数 261

10－10 指标计算 264

10－11 原始根与 Dirichlet 特征 268

10－12 mod p2的实值 Dirichlet 特征 271

10－13 mod p2的原始Dirichlet特征 272

第十一章 Dirichlet级数与Euler乘积 277

11－1 引言 2777

11－2 Dirichlet级数的绝收对敛半平面 278

11－3 由Dirichlet的数所定义的函数 279

11－4 Dirichlet级数的乘积 281

11－5 Euler乘积 284

11－6 Dirichlet级数的收敛半平面 287

11－7 Dirichlet级数的解析性质 290

11－8 非负系数的Dirichlet级数 293

11－9 Dirichlet 级数表示成 Dirichlet 级数的指数 295

11－10 Dirichlet 级数的均值公式 297

11－11 Dirichlet 级数之系数的积分公式 300

11－12 Dirichlet 级数之部份和的积分公式 302

第十二章 函数ξ（R）与L（P,X） 311

12－1 引言 311

12－2 ?函数的性质 312

12－3 Hurwitzξ函数的积分表示 313

12－4 Hurwitzξ函数的线积分表示 316

12－5 Hurwitzξ函数的解析延拓 318

12－6 ξ（s）与L（s,X）的解析延拓 319

12－7 ξ（s，a）的Hurwitz公式 320

12－8 Riemann ξ函数的泛函方程式 324

12－9 Hurwitz ξ函数的泛函方程式 326

12－10 L函数的泛函方程式 327

12－11 计算ξ（－n, a） 329

12－12 Bernoulli数与Bernoulli多项式的性质 331

12－13 L（o…X）的公式 334

12－14 ξ（s, a）以有限和的逼近 335

12－15 ｜ξ（s,a）｜的不等式 338

12－16 ｜ξ（s）｜与｜L（s,X）｜的不等式 340

第十三章 质数定理的解析证明 347

13－1 证明的构想 347

13－2 引理 350

13－3 （x）/x2的线积分表示 354

13－4 ｜ξ （s）｜与｜ξ ＇（s）｜在靠近直线σ=1之上界 356

13－5 ξ （s）在直线σ=1上不等於0 358

13－6 ｜1/ξ（s）｜与｜ξ＇（s）/ξ（s）｜的不等式 359

13－7 质数定理的完全证明 362

13－8 ξ （s）的无零点区 365

13－9 Riemann臆测 367

13－10 因数函数的应用 368

13－11 应用於Eulerφ函数 372

13－12 特征和的P61ya不等式的扩展 375

第十四章 分割 381

14－1 引言 381

14－2 分割的几何表示 385

14－3 分割的形成函数 385

14－4 Euler五角数定理 390

14－5 Euler五角数定理的组合证明 393

14－6 p（n）的Euler递回公式 396

14－7 p（n）的上界 397

14－8 Jacobi 的三数积公式 400

14－9 Jacobi 恒等式的影响 403

14－10 展生函数的对数积分 404

14－11 Ramanujan 的分割恒等式 407

参考资料 415

符号索引 424

索引 426