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第一章 引言 1

1.1论说 2

1.1.1论说的好坏 3

1.1.2论说形式的好坏 3

1.1.3论说的好坏取决于其形式的好坏 5

1.2演绎 7

1.2.1演绎的例子（一） 8

1.2.2演绎的例子（二） 9

1.2.3可演绎性、可证性和独立性 10

1.2.4可演绎性与论说 10

1.3一致性 11

1.3.1关于一致性的基本想法 11

1.3.2不一致命题集的例子 12

1.3.3一致性、逻辑蕴涵和可演绎性的关系 13

1.4与逻辑或“逻辑”有关的几个问题 14

1.4.1“逻辑是什么”不是逻辑问题 15

1.4.2逻辑与“逻辑”的用法 16

1.4.3逻辑与“习惯的说理方式” 16

1.4.4当代逻辑、传统逻辑和“普通人需要的逻辑” 17

第一编 命题逻辑 23

第二章 命题联结词与真值表方法 23

2.1联结词与复合句 24

2.1.1联结词 24

2.1.2复合句和简单句 26

2.1.3复合句的子句 27

2.1.4主联结词和直接子句 29

2.2真值函数联结词和非真值函数联结词 31

2.2.1真值函数联结词 31

2.2.2非真值函数联结词 31

2.2.3常用的真值函数联结词符号 33

2.3符号化 34

2.3.1哪些联结词对应于哪些联结词符号？ 34

2.3.2符号化的基本操作过程 34

2.3.3几种特殊情况 36

2.3.4论说的符号化 37

2.3.5形式 37

2.4命题逻辑的基本语法 38

2.4.1形式语言？0 38

2.4.2对象语言和元语言 39

2.4.3子公式和主联结词 40

2.4.4括号的省略 41

2.4.5语法和语义 42

2.5真值表和真值的计算 43

2.5.1联结词的语义解释——基本真值表 43

2.5.2公式真值的计算 44

2.6若干基本语义概念的真值表刻画 48

2.6.1重言蕴涵（重言后承）与重言等值 49

2.6.2可满足性 53

2.6.3重言式、矛盾式与或然式 54

2.7简化真值表方法 57

2.8习题 60

第三章 命题逻辑的基本概念 71

3.1对象语言里的符号和公式 71

3.2真值指派和公式的真值 72

3.3重言蕴涵、重言等值与可满足性 73

3.4重言式、矛盾式与或然式 78

3.5代入 81

3.5.1关于代入的直观说明 82

3.5.2代入的定义 82

3.5.3代入的复合 86

3.6代入的语义性质 88

3.7真值指派与真值表 91

3.7.1真值函数 92

3.7.2对部分命题变号的赋值 93

3.7.3基本语义概念的严格定义和真值表刻画的等价性 94

3.8范式 97

3.8.1合取范式 97

3.8.2析取范式 98

3.8.3范式定理 99

3.9函数完全性 102

3.9.1真值函数在形式语言中的表达 102

3.9.2具有函数完全性的几组真值联结词 104

3.10习题 106

第二编 命题演算 113

关于形式系统的简单说明 113

第四章 费奇式推演Ⅰ 115

4.1推演规则 116

4.1.1结构规则 116

4.1.2联结词规则 117

4.2简单的费奇式推演 120

4.2.1合取规则应用 121

4.2.2蕴涵规则应用 122

4.2.3否定规则应用 123

4.2.4析取规则应用 125

4.2.5等值规则应用 127

4.3有前提推演和无前提推演 128

4.3.1无前提推演 129

4.3.2有前提推演 132

4.4费奇式推演的简单技巧 134

4.4.1“小证明”（Mini-proof） 134

4.4.2“从结论想起” 136

4.4.3对析取式的特殊处理 140

4.4.4“结构十小证明” 143

4.4.5“大结构” 147

4.5非Intelim规则及其运用 152

4.5.1推演规则 152

4.5.2替换规则 154

4.5.3非Intelim规则的运用 156

4.6习题 159

第五章 弗雷格-希尔伯特式演算Ⅰ 163

5.1公理系统H0 165

5.1.1H0的公理 165

5.1.2H0的推演规则 165

5.2H0中的证明与定理 166

5.3H0中的演绎 171

5.4内定理和元定理 173

5.5关于可演绎关系的若干简单命题 178

5.5.1合取和析取的基本性质 178

5.5.2合取和析取——交换律和结合律 180

5.5.3合取和析取——分配律 181

5.5.4否定和蕴涵 182

5.5.5否定和析取 185

5.5.6合取、析取和否定——德摩根律 186

5.5.7其他 187

5.6置换定理 190

5.7sub、证明和无前提演绎 194

5.7.1H0中的证明和无前提演绎 194

5.7.2一般系统中的证明和无前提演绎 197

5.8习题 199

第六章 弗雷格-希尔伯特式演算Ⅱ 202

6.1形式语言？1和公理系统H1 202

6.1.1？1-符号和？1-公式 202

6.1.2作为缩写引入的符号 203

6.1.3公理系统H1 203

6.2H1中的演绎与证明 204

6.3等价的公理系统 208

6.3.1公理系统H2 208

6.3.2公理系统H3 210

6.3.3公理系统H4 211

6.3.4H1，H2，H3和H4之间的等价性 213

6.3.5公理系统H1与H0（及H0*） 214

6.3.6mp、DT、IE和SRAA 215

6.4真实性和重言性的保存，可靠性定理 218

6.5一致性 220

6.6范式 224

6.7独立性问题 227

6.7.1不可演绎性和不可证明性 228

6.7.2公理的独立性、有穷数值解释和一般解释结构 229

6.7.3独立公理集的一例 232

6.8习题 236

第三编 谓词逻辑 247

第七章 走近谓词逻辑——符号化 247

7.1专名、常项与变项 248

7.1.1专名、常项及其指称 248

7.1.2变项 249

7.1.3论域 250

7.1.4“变项”之“变” 250

7.2函数符号和项 251

7.2.1函数和函数符号 251

7.2.2项 252

7.3谓词 252

7.4量词 253

7.4.1联结符号和公式 254

7.4.2量词的辖域 255

7.4.3个体变项的自由出现和约束出现 256

7.4.4闭公式 256

7.5直言句及其符号化 257

7.5.1无量词的句子 257

7.5.2直言句 258

7.5.3汉语中的量词 259

7.5.4直言句的符号化 260

7.6嵌入的量词 263

7.7函数符号和等词的运用 266

7.7.1简单数量词 267

7.7.2一般数量词 271

7.8“只有”和“只” 272

7.8.1“只有S（才）是P” 274

7.8.2嵌入的“只有”和“只” 275

7.9时间的介入 278

7.10“Donkey Business” 280

7.11习题 282

第八章 谓词逻辑的基本语法和语义Ⅰ 286

8.1一阶语言 286

8.1.1？*-符号、？*-项和？*-公式 286

8.1.2与量词有关的几个语法概念 288

8.1.3一阶语言与高阶语言 289

8.2“词典语义学” 290

8.3简单的集合论知识 294

8.3.1有序对和有序组 294

8.3.2卡氏积和卡氏幂 295

8.3.3性质，关系与函数 295

8.4模型和赋值 297

8.4.1模型 297

8.4.2赋值 298

8.5基本语义定义（BSD） 300

8.6项的值和公式的真值 301

8.7可满足性、逻辑蕴涵、逻辑等值和有效式 308

8.7.1可满足性 309

8.7.2逻辑蕴涵（逻辑后承） 310

8.7.3逻辑等值 311

8.7.4逻辑有效式 312

8.7.5基本语义概念的简单运用 314

8.7.6重言蕴涵与逻辑蕴涵 315

8.8习题 318

第九章 谓词逻辑的基本语法和语义Ⅱ 323

9.1对个体变项的代入 323

9.1.1代入的直观说明 323

9.1.2代入的严格定义 325

9.1.3代入的若干简单性质 328

9.2自由代入及其基本语义性质 331

9.2.1自由代入 331

9.2.2自由代入的基本语义性质 334

9.3等项替换和易字 337

9.3.1等项替换 337

9.3.2易字 338

9.4置换 339

9.5易字变形 341

9.5.1简单易字变形和易字变形 341

9.5.2相对于自由代入的规范易字变形 343

9.5.3个体变项的整体替换 345

9.6理论的不同模型 349

9.6.1理论对模型共同点的概括 349

9.6.2同构模型 351

9.6.3一阶语言的表达力 353

9.7习题 356

第四编 谓词演算 363

第十章 费奇式推演Ⅱ 363

10.1全称量词消去规则和存在量词引入规则 363

10.1.1全称量词消去规则 363

10.1.2存在量词引入规则 365

10.2全称量词引入规则和存在量词消去规则 368

10.2.1对被标示的项的直观说明 368

10.2.2被标示的个体变项和个体常项 370

10.2.3存在量词消去规则 371

10.2.4全称量词引入规则 374

10.3否定词与量词的衔接 379

10.4推演中常见的其他几种情况 382

10.5等词引入规则和等词消去规则 388

10.6非Intelim规则及其运用 392

10.6.1推演规则 392

10.6.2替换规则 394

10.6.3省略“重复”的推演 395

10.7习题 396

第十一章 弗雷格-希尔伯特式演算Ⅲ 400

11.1形式语言和公理系统 400

11.1.1形式语言 400

11.1.2公理系统H 400

11.1.3H中的演绎和证明 401

11.1.4与量词无关的演绎 403

11.2一阶演绎和证明的若干简单性质 405

11.2.1概括原则及其推论 405

11.2.2概括原则及其推论的应用 406

11.3易字与常项概括 410

11.3.1易字式和易字变形 410

11.3.2个体变项的整体替换 412

11.3.3常项概括原则及其推论 413

11.4若干可证等值式 417

11.4.1同类量词串的排列 417

11.4.2DMQ等值式和CDMQ等值式 418

11.4.3空约束公式 419

11.4.4量词对二元联结词的分配和提取 420

11.4.5量词的移置律和转换律 421

11.5带等词的一阶演绎和证明 424

11.5.1带等词一阶演绎的若干简单性质 424

11.5.2等项替换 427

11.5.3数学中的几个简单例子 429

11.6习题 435

第十二章 弗雷格·希尔伯特式演算Ⅳ 439

12.1置换定理的一般形式 439

12.1.1置换定理 439

12.1.2置换定理应用举例 441

12.2可靠性与一致性 445

12.3前束范式 449

12.3.1前束范式存在定理 449

12.3.2求公式的前束范式 450

12.4等价的一阶演算公理系统 454

12.4.1联结词公理的变更 454

12.4.2量词公理和推演规则的变更 455

12.4.3等词公理的变更 459

12.4.4初始符号的变更 461

12.5完全性定理和紧致性定理的简单形式 461

12.5.1极大一致集 462

12.5.2见证和Henkin集 464

12.5.3完全性定理和紧致性定理 466

12.5.4紧致性定理的简单应用 470

12.5.5一点说明 472

12.6习题 473

附录 演算 数学归纳法 习题答案 479

附录A其他形式的逻辑演算 479

A.1表列系统 479

A.1.1命题逻辑的表列规则 480

A.1.2谓词逻辑的表列规则 486

A.1.3习题 490

A.2模态逻辑的弗雷格-希尔伯特式演算 492

A.2.1形式语言和系统的推演规则 492

A.2.2模态系统的常见分类 494

A.2.3正规模态系统 497

A.2.4习题 501

附录B数学归纳法和趣味逻辑题 503

B.1几个趣味逻辑题 503

B.1.1死刑前的陈述 503

B.1.2“The Lady Or The Tiger？” 504

B.1.3帽子游戏 504

B.1.4十二个球 505

B.2数学归纳法 505

B.2.1弱归纳原理 506

B.2.2强归纳原理 508

B.2.3自然数良序原理 511

B.2.4递归定义 512

B.3数学归纳法在逻辑中的应用 514

B.3.1公式序列的长度 514

B.3.2项和公式的复杂度 516

B.4数学归纳法在趣味逻辑题中的应用 519

B.4.1更多帽子的游戏 519

B.4.2帽子游戏的一些变种 520

B.4.3更多的球 521

附录C部分习题参考答案或提示 523

C.1第三章习题 523

C.2第四章习题 524

C.3第五章习题 525

C.4第六章习题 527

C.5第八章习题 533

C.6第九章习题 534

C.7第十章习题 542

C.8第十一章习题 546

C.9第十二章习题 546

C.10附录A习题 547

C.11附录B习题 549

结语 555

参考文献和推荐书目 557

希腊字母读音表 563

索引 564

符号索引 564

名词索引 569