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目录 1

第一章　实数理论 1

§1　绪论 1

1.1　引言 1

1.2　公理化方法 5

1.3　记号 7

§2　从自然数到实数 9

2.1　自然数 9

2.2　归纳定义法 15

2.3　皮亚诺公理系统的讨论 18

2.4　整数环 21

2.5　有理数域 26

2.6　实数的分划模型 28

2.7　实数的基本序列模型 33

2.8　小结 37

§3　实数的公理系统 39

3.1　实数公理系统 39

3.2　从实数系中析出自然数系 41

3.3　有理数与无理数 44

3.4　阿几米德性质 47

3.5　实数空间 50

3.6　连续公理的等价命题 51

3.7　实数公理系统的讨论 56

1.1　极限概说 58

第二章　极限理论 58

§1　实数空间上极限的一般理论 58

1.2　极限的三种基本类型 61

1.3 有向集 65

1.4　有向变量的极限 68

1.5　推广 73

§2　拓扑空间与收敛 75

2.1　拓扑空间 76

2.2　拓扑空间上有向变元的收敛 79

2.3　收敛与拓扑 82

2.4　滤子与滤子的收敛 86

1.1　超滤子 91

§1　超实数域 91

第三章　超实数域 91

1.2　超实数域 94

1.3　超实数的性质 98

§2　非标准分析 102

2.1　标准对象与非标准对象 103

2.2　非标准定义 105

2.3　非标准证明 107

第四章　欧几里得空间与测度 109

§1　欧几里得空间以及线段的度量 109

1.1 欧几里得——希尔伯特公理系统 109

1.2　线段的度量 111

1.3　解析几何 117

1.4　欧几里得空间 121

1.5　Rn的几何 124

§2　约当测度 125

2.1　简单图形的体积 126

2.2　外体积与内体积 128

2.3　约当测度 131

§3　曲线的长度 137

3.1 曲线 137

3.2　曲线的长度 139

3.3　弧长定义的合理性 142

3.4　曲面面积 　 146

3.5　勒贝格测度及其他 147

第五章　初等超越函数 149

§1　实数域上的初等超越函数 149

1.1　用积分定义对数函数与指数函数 149

1.2　用积分定义三角函数 154

1.3　用微分方程定义三角函数 159

§2　复数域上的初等超越函数 162

2.1　复数域 163

2.2　指数函数 164

第六章　积分表为有限形式问题 168

§1　初等函数 168

1.1　解析延拓 169

1.2　结式 172

1.3　代数函数 174

1.4　代数函数的指数 176

1.5　代数函数的对数 178

1.6　代数组合 179

1.7　初等函数 180

1.8　初等函数的结构 182

1.9　初等函数的代数组合的性质 185

1.10　刘维尔原理 188

1.11　初等函数的导数 190

§2　代数函数的积分 192

2.1　刘维尔定理 193

2.2　阿贝尔定理 200

2.3　阿贝尔定理的推论 203

2.4　残数与积分 205

2.5　椭圆积分 207

2.6　切比雪夫积分 210

§3　超越函数的积分 212

3.1　在微分域上初等的函数 213

3.2　微分域的扩张 214

3.3　刘维尔-奥斯特鲁斯基定理 215

3.4　阿贝尔定理的一般化 217

3.5　初等函数的积分 220

3.6　指数函数与代数函数之积的积分 221

3.7　？的积分 225