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1.1 函数 1

1.1.1 预备知识 1

第一章 函数与极限 1

1.1.2 函数的概念 6

1.1.3 函数的几种特性 13

习题1.1 17

1.2 初等函数 18

1.2.1 反函数与复合函数 18

1.2.2 初等函数 21

1.2.3 双曲函数与反双曲函数 25

习题1.2 28

1.3 经济学中常用的函数 29

1.3.1 需求函数 29

1.3.2 供给函数 30

1.3.3 总成本函数 31

习题1.3 32

1.3.4 总收益函数 32

1.3.5 利润函数 32

1.4 数列的极限 33

习题1.4 42

1.5 函数的极限 43

1.5.1 自变量趋于有限值时函数的极限 43

1.5.2 自变量趋于无穷大量函数的极限 48

习题1.5 50

1.6 无穷小与无穷大 51

1.6.1 无穷小 51

1.6.2 无穷大 53

习题1.6 55

1.7 极限运算法则 56

习题1.7 64

1.8.1 极限存在准则 65

1.8 极限存在准则与两个重要极限 65

1.8.2 两个重要极限 68

1.8.3 无穷小的比较 73

习题1.8 76

1.9 函数的连续与间断 77

1.9.1 函数的连续性 77

1.9.2 函数的间断点 80

1.9.3 连续函数的运算及初等函数的连续性 83

习题1.9 86

1.10 闭区间上连续函数的性质 87

习题1.10 91

总习题1 92

附录 阿基米得——爱祖国爱人民的"数学之神" 94

2.1 导数的概念 96

2.1.1 引例——两个典型问题 96

第二章 导数与微分 96

2.1.2 导数的定义 99

2.1.3 求导数举例 100

2.1.4 导数的几何意义 103

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 104

习题2.1 105

2.2 求导法则与求导公式 107

2.2.1 导数的四则运算法则 107

2.2.2 反函数求导法则 110

2.2.3 复合函数的求导法则 112

2.2.4 初等函数的导数与基本导数公式 114

2.2.5 双曲导数与反双曲函数的导数 115

习题2.2 116

2.3 高阶导数 117

2.4.1 隐函数的导数 121

习题2.3 121

2.4 特殊类型函数的导数 121

2.4.2 对数求导法 123

2.4.3 由参数方程确定的函数的导数 124

习题2.4 126

2.5 函数的微分 127

2.5.1 微分的定义 127

2.5.2 微分的几何意义 131

2.5.3 微分公式与微分法则 132

2.5.4 微分在近似计算中的应用 137

习题2.5 139

总习题2 140

附录二 黎曼——英年早逝的数学奇才 142

3.1.1 罗尔定理 144

3.1 中值定理 144

第三章 中值定理与导数的应用 144

3.1.2 拉格朗日中值定理 147

3.1.3 柯西中值定理 151

习题3.1 153

3.2 洛必达法则 154

习题3.2 160

3.3 泰勒公式 161

习题3.3 167

3.4 函数的单调性与极值 167

3.4.1 函数的单调性 167

3.4.2 函数的极值及其求法 171

习题3.4 178

3.5 最大值,最小值问题 178

习题3.5 182

3.6.1 曲线的凹凸与拐点 183

3.6 曲经的凹凸、拐点及函数图形的描绘 183

3.6.2 函数图形的描绘 186

习题3.6 191

3.7 导数在经济分析中的应用 191

3.7.1 边际概念 191

3.7.2 边际成本 192

3.7.3 边际收益 194

3.7.4 弹性分析 195

3.7.5 最大利润原则 201

习题3.7 202

总习题3 204

附录三 牛顿——一个为人类增添光辉的人 206

第四章 不定积分 209

4.1 原函数与不定积分的概念 209

4.2 不定积分的性质和基本公式 212

习题4.2 216

4.3 换元积分法 217

4.3.1 第一类换元法 217

4.3.2 第二类换元法 223

习题4.3 229

4.4 分部积分法 229

习题4.4 235

4.5 几种特殊类型函数的积分 235

4.5.1 有理函数的积分 235

4.5.2 三角函数有理式的积分 237

4.5.3 简单无理式的积分 239

习题4.5 241

总习题4 241

附录四 莱布尼兹——博学多才的数学符号大师 243

5.1 定积分的概念 246

5.1.1 引例 246

第五章 定积分 246

5.1.2 定积分的概念 250

5.1.3 定积分举例 254

习题5.1 254

5.2 定积分的性质 中值定理 255

习题5.2 260

5.3 微积分基本公式 260

5.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 261

5.3.2 积分上限函数及其导数 261

5.3.3 牛顿-莱布尼兹公式 265

习题5.3 267

5.4 定积分的换元法 268

5.5 定积分的分部积分法 274

习题5.5 277

5.6 广义积分 278

5.6.1 无限区间上的广义积分 278

5.6.2 无界函数的广义积分 281

习题5.6 284

5.7 定积分应用 285

5.7.1 定积分的元素法 285

5.7.2 平面图形的面积 287

5.7.3 体积 293

5.7.4 定积分在经济问题中的应用举例 297

习题5.7 301

总习题5 303

附录五 柯西——业绩永存的数学大师 308

第六章 多元函数微分学及其应用 310

6.1 向量代数 310

6.1.1 空间直角坐标系 311

6.1.2 向量的概念 314

6.1.3 向量的加减法 315

6.1.4 向量数乘 317

6.1.5 向量在轴上的投影 318

6.1.6 向量的坐标表示 320

6.1.7 数向量的数量积 324

6.1.8 向量的向量积 325

习题6.1 327

6.2 空间解析几何初步 328

6.2.1 空间的平面及其方程 328

6.2.2 空间的直线及其方程 331

6.2.3 空间的曲面 334

6.2.4 空间的曲线 337

6.2.5 二次曲面 339

习题6.3 342

6.3 多元函数的概念 343

6.3.1 平面点集和区域 343

6.3.2 多元函数的概念 344

6.3.3 多元函数的极限 346

6.3.4 多元函数的连续性 348

6.4 偏导数与全微分 350

6.4.1 偏导数 350

习题6.3 350

6.4.2 高阶偏导数 354

6.4.3 全微分 355

习题6.4 357

6.5 多元复合函数和隐函数的求导法则 358

6.5.1 多元复合函数的求导法则 358

6.5.2 隐函数的求导公式 362

习题6.5 365

6.6 多元函数的极值 366

6.6.1 多元函数的极值,最大值,最小值 366

6.6.2 条件极值与拉格朗日乘数法 373

习题6.6 376

总习题6 377

附录六 笛卡儿——近代数学的奠基人 381

第七章 二重积分 385

7.1 二重积分的概念与性质 385

7.1.1 二重积分的概念 385

7.1.2 二重积分的性质 390

习题7.1 392

7.2 二重积分析计算 393

7.2.1 利用直角坐标计算二重积分 393

7.2.2 利用极坐标计算二重积分 402

习题7.2 408

7.3 二重积分的应用 410

7.3.1 空间立体的体积 410

7.3.2 曲面的面积 411

7.3.3 平面薄片的质量及重心 414

总习题7 417

附录七 高斯——数学界的光辉旗手 419

8.1 常数项级数 422

8.1.1 常数项级数的概念 422

第八章 无穷级数 422

8.1.2 收敛级数的基本性质 426

习题8.1 430

8.2 常数项级数的审敛法 431

8.2.1 正项级数及其审敛法 431

8.2.2 交错级数及其审敛法 436

8.2.3 绝对收敛与条件收敛 438

习题8.2 440

8.3 幂级数 441

8.3.1 幂级数及其收敛性 441

8.3.2 幂级数的运算 446

习题8.3 449

8.4 函数展开成幂级数 450

8.4.1 泰勒级数 450

8.4.2 函数展开成幂级数 452

8.4.3 函数的幂级数展开式的应用 455

习题8.4 456

总习题8 457

附录八 费尔马——业余数学家之王 460

第九章 微分方程初步 462

9.1 微分方程的一般概念 462

习题9.1 464

9.2 一阶微分方程 465

9.2.1 可分离变量的微分方程 465

9.2.2 一阶线性微分方程 467

9.2.3 初等变换法 469

习题9.2 472

9.3 可降价的高阶微分方程 473

9.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 473

9.3.2 y"=f(x,y')型的微分方程 474

9.3.3 y"=f(y,y')型的微分方程 475

习题9.3 476

9.4 二阶线性微分方程 476

9.4.1 二阶线性微分方程解的结构 477

9.4.2 二阶常系数线性齐次方程的解法——特征根法 479

9.4.3 二阶常系数线性非齐次方程的求解——待定系数法 482

习题9.4 485

总习题9 485

附录九 欧拉-双目失明的数学家 487

习题答案 489

习题5.4 573