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1.1 引论 1

1.1.1 从早期的数学怪物谈起 1

第1章 引论与数学基础 1

1.1.2 Mandelbrot和他的分形几何 4

1.2 数学基础 6

习题一 10

第2章 迭代函数系统IFS 11

2.1 分形空间 11

2.1.1 分形空间 11

2.1.2 分形空间的空备性 14

2.2.1 压缩映射 16

2.2 压缩映射与迭代函数系统 16

2.2.2 迭代函数系统IFS 20

2.3 凝聚IFS 拼贴定理 带参量IFS 30

2.3.1 凝聚IFS 30

2.3.2 拼贴定理 33

2.3.3 带参量IFS 36

习题二 39

第3章 测度与维 41

3.1 Hausdorff测度与维 41

3.1.1 Hausdorff测度 41

3.1.2 Hausdorff维 45

3.1.3 Hausdorff维的等价定义 48

3.2 分形维 49

3.2.1 分形维的定义及其计算 49

3.2.2 分形维的性质及与Hausdorff维的关系 54

3.3 维的其它定义 57

3.3.1 盒维（box dimension） 57

3.3.2 填充（packing）测度与维 61

习题三 63

4.1 分形插值函数 65

4.1.1 分形插值原理 65

第4章 分形插值 65

4.1.2 分形插值方法 68

4.1.3 分形插值函数的分维数 73

4.2 广义分形插值 76

4.2.1 二次定比分形插值 76

4.2.2 隐变量分形插值 77

4.2.3 填空曲线 81

4.3 分形插值曲面 84

习题四 86

第5章 分形上的混沌动力学 88

5.1 码空间与分形 88

5.1.1 码空间 88

5.1.2 从码空间到分形的连续变换 90

5.2.1 动力系统引论 95

5.2 动力系统 95

5.2.2 分形上的动力系统 101

5.2.3 等价动力系统 103

5.3 分形上的混沌动力系统 107

5.3.1 混沌引论 107

5.3.2 混沌动力系统 109

习题五 111

6.1 Julia集 113

6.1.1 由逃逸时间（escape time）算法得到的Julia集 113

第6章 分形图形学 113

6.1.2 作为迭代函数系统吸引子的Julia集 119

6.1.3 Newton求根法得到的Julia集 123

6.1.4 连续开映射的不变集 127

6.2 Mandelbrot集 128

6.2.1 参数空间 128

6.2.2 作为IFS吸引子参数集的Mandelbrot集 131

6.2.3 作为Julia集J(λ)之参数集的Mandelbrot集 134

6.3 L－系统 141

6.3.1 简单的向前生成元格式 141

6.3.2 左右生成元的混合格式 143

6.3.3 分枝结构的简单进退格式 147

6.3.4 分枝结构带空指令的进退格式 148

6.4 分形图形软件包Fractint简介 150

6.4.1 选择分形类型 151

6.4.2 庞大的参数文件群 152

6.4.3 其它重要命令和技术 153

习题六 154

第7章 分形学的应用 156

7.1 分形图像压缩 156

7.1.1 图像压缩简介 156

7.1.2 分形图像压缩 163

7.1.3 四叉树方法 169

7.2 分形资本市场 173

7.2.1 资本市场的分形时间序列 174

7.2.2 资本市场的分形分布 178

7.3 分形在其它学科中的应用 180

7.3.1 断裂力学 181

7.3.2 地震学中的分形结构与三个广义分维 184

7.3.3 随机分形 190

第8章 预备知识 196

8.1 函数空间 196

8.1.1 距离空间 196

8.1.5 希耳伯特空间（Hilbert） 197

8.1.4 巴拿赫（Banach）空间 197

8.1.2 线性空间 197

8.1.3 线性赋范空间 197

8.2 基底、框架 198

8.2.1 基底、标准正交基、双正交基 198

8.2.2 框架 199

8.3 傅里叶级数与傅里叶积分 200

8.3.1 傅里叶级数的复数形式 200

8.3.2 傅里叶变换 201

8.3.3 傅里叶变换的性质 202

8.4.1 窗口傅里叶变换的定义及局部化特性 203

8.4 窗口傅里叶变换 203

8.4.2 时窗、频窗和时-频窗 204

8.4.3 窗函数的条件 205

8.4.4 窗口傅里叶变换的反演公式 207

习题八 207

第9章 小波变换的概念与性质 208

9.1 连续小波变换 209

9.1.1 连续小波变换的定义 209

9.1.2 连续小波变换的性质 210

9.1.3 窗口宽度与海森堡（Heissenberg）测不准原理 213

9.2.1 连续小波变换的冗余与再生核 217

9.2.2 参数的离散化与离散小波变换的概念 217

9.2 离散小波变换 217

9.2.3 小波框架与Reisz基 218

9.3 二进小波变换 221

9.3.1 卷积型小波变换的定义和性质 221

9.3.2 二进小波变换 223

习题九 226

第10章 正交小波变换 227

10.1 正交小波变换的定义与特例 227

10.1.1 正交小波与正交小波变换的定义 227

10.1.2 Haar小波基 227

10.1.3 Littewood-Paley小波基 228

10.2 构造正交小波的多尺度分析 229

10.2.1 Shannon小波的构造过程 230

10.2.2 多尺度分析 232

10.2.3 尺度函数和小波函数的性质 233

10.2.4 由多尺度分析构造正交小波基 238

10.3 Mallat算法 242

10.3.1 函数的正交小波分解和多尺度逼近 242

10.3.2 快速算法 243

10.3.3 函数数值形式的多尺度分解和重构 246

习题十 247

11.1.1 hn,gn的性质 248

第11章 紧支集小波 248

11.1 紧支集正交小波的构造 248

11.1.2 由共轭滤波器构造尺度函数的方法 252

11.1.3 紧支集正交尺度函数的构造 253

11.1.4 Daubechies小波 255

11.2 紧支集双正交小波 263

11.2.1 紧支集正交小波的非对称性 263

11.2.2 双正交小波及其性质 267

11.2.3 紧支集对称双正交小波的构造 270

11.2.4 函数的双正交小波变换及其Mallat算法 276

习题十一 278

第12章 小波包分解 279

12.1 小波包的概念与性质 279

12.1.1 问题的提出 279

12.1.2 小波包的定义及性质 280

12.2 小波包分解 283

12.2.1 L2(R)的小波包基 283

12.2.2 小波包算法 288

12.3 信息花费函数与最优基选择 290

习题十二 293

13.1.1 函数奇异性概念 294

13.1 函数奇异性概念及其在小波变换下的特性 294

第13章 函数的奇异性与小波变换的关系 294

13.1.2 函数的奇异性在小波变换下的特性 295

13.1.3 卷积型小波变换与L指数的关系 297

13.2 几种检测函数奇异性常用的小波 298

13.3 函数的L指数的估计 300

习题十三 300

第14章 二维小波变换简介 302

14.1 L2(R2)空间的正交小波变换 302

14.2 二维正交小波变换的Mallat算法 304

习题十四 306

15.1.1 检测瞬态突变 307

第15章 小波分析在其它学科中的应用 307

15.1 在一维信号分析中的应用 307

15.1.2 非平稳信号去噪 308

15.2 在二维信号（图像）处理中的应用 311

15.2.1 图像的边缘检测 311

15.2.2 图像数据压缩和传输 313

15.3 在复杂地貌多比例尺表达中的应用 315

15.3.1 应用背景和原理 315

15.3.2 应用实例 316

主要参考文献 318