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第一部分 高等数学A（一） 3

第一章 函数和极限 3

一、关于函数的四个特性 3

二、函数和复合函数 8

三、正确表达和理解极限定义中的逻辑关系 12

四、函数的连续性和间断点类型的判定 23

五、函数（或数列）极限计算方法 27

六、用极限表示函数的计算方法及已知极限确定未知函数中常数的方法 52

七、关于无界和无穷大的关系 58

八、闭区间上连续函数的性质及其应用 60

第二章 导数和微分的概念及其计算方法 65

一、导数的基本概念 65

二、求导公式和求导运算法则 68

三、高阶导数计算方法 74

四、隐函数和由参数方程确定函数的一阶导数和二阶导数的计算 85

五、微分及其计算方法 89

六、几类特殊函数导数的计算 92

七、导数的简单应用 101

一、中值定理正确性的验证 106

第三章 中值定理及其应用 106

二、函数零点存在性及个数的讨论 108

三、多项式函数的实零点和重数的判定方法 118

四、关于ξ的函数值等式或导数值等式的证明 120

五、关于利用导数证明不等式 122

六、利用极限保号性证明不等式 133

七、函数性态的讨论 134

一、原函数和不守积分的关系 149

第四章 不定积分计算方法 149

二、第一类换元法（凑微分） 150

三、第二类换元法（变量代换法） 152

四、分部积分法 156

五、换元法和分部积分法结合使用 161

六、关于几类特殊函数的积分方法 164

第五章 极限续论 187

一、否定命题的表达及其特征 187

二、实数连续性 196

三、闭区间上连续函数性质的证明及一致连续 204

附录一 高等数学A（一）补充习题 215

第一章 函数和极限 215

第二章 导数和微分的概念及其计算方法 217

第三章 中值定理及其应用 220

第四章 不定积分计算方法 223

第五章 极限续论 224

附录二 高等数学A（一）自测题 226

第一章 函数和极限 226

第二章 导数和微分的概念及其计算方法 228

第三章 中值定理及其应用 230

第四章 不定积分计算方法 232

附录三 高等数学A（一）复习提纲 233

第一层次 233

第二层次 234

第三层次 234

附录四 高等数学A（一）历届试题 236

1998级高数A（一）试题 236

1999级高数A（一）试题 237

2000级高数A（一）试题 238

2001级高数A（一）试题 239

第二部分 高等数学A（二） 245

第六章 定积分和定积分应用 245

一、积分不等式 245

二、几种特殊函数定积分的计算 249

三、利用定积分计算和式的极限 259

四、利用定积分换元法和分部积分法证明定积分关系式 261

五、变限函数导数计算公式及其应用 266

六、关于改进的积分中值定理和Cauchy-Schwarz不等式 271

七、定积分的几何应用 275

八、定积分的物理应用（功和水压力及引力的计算） 290

九、广义积分敛散性的判定及计算 296

第七章 级数 305

一、数列、级数、通项、级数的和数、部分和的正确表达及相互关系 305

二、理解级数敛散性的性质和判别法 307

三、函数项级数的收敛域及和函数 320

四、幂级数的收敛半径域及收敛域的讨论 321

五、函数展开幂级数的讨论 331

六、幂级数的和函数讨论 338

七、关于Taylor公式及其应用 352

八、关于函数展开Fouirer级数 359

第八章 向量代数和空间解析几何 380

一、向量代数中各个几何量的计算 380

二、向量的运算规律 381

三、向量垂直、平行、共面的条件 381

四、平面方程的形式 388

六、点到平面的距离 389

五、平面平行、垂直、重合的条件 389

七、平面方程的确定 390

八、直线方程的形式 390

九、直线与直线的夹角及平行、垂直、相交、异面的条件 392

十、直线与平面的夹角及平行、垂直、相交、直线在平面上的条件 393

十一、点到直线的距离 394

十二、关于对称点和对称直线的计算 395

十三、关于异面直线的讨论 396

十四、直线方程确定的方法 397

十六、空间曲线Γ的表示 409

十五、旋转曲面方程 409

十七、空间立体（区域） 410

十八、关于立体图形的描绘 410

附录五 高等数学A（二）补充习题 427

第六章 定积分和定积分应用 427

第七章 级数 432

第八章 向量代数和空间解析几何 438

附录六 高等数学A（二）自测题 442

第六章 定积分和定积分应用 442

第七章 级数 444

第八章 向量代数和空间解析几何 446

附录七 高等数学A（二）复习提纲 450

第六章 定积分和定积分应用 450

第七章 级数 452

第八章 向量代数和空间解析几何 456

附录八 高等数学A（二）历届试题 458

1998级高数A（二）试题 458

1999级高数A（二）试题 459

2000级高数A（二）试题 460

2001级高数A（二）试题 462

第三部分 高等数学A（三） 467

第九章 多元函数微分学 467

一、多元函数的极限、连续、偏导数、全微分、方向导数之间的关系 467

二、多元显式函数一阶偏导数和二阶编导数的计算 472

三、关于隐函数存在定理 476

四、关于偏导数的变量代换 481

五、多元函数微分法的应用 486

第十章 多元函数积分学 499

一、二重积分的计算和应用 499

二、三重积分的计算和应用 512

三、第一类曲线积分的计算和应用 531

四、第二类曲线积分的计算和应用 537

五、第一类曲面积分的计算和应用 553

六、第二类曲面积分的计算和应用 561

第十一章 微分方程 573

一、一阶微分方程及其解法 573

二、高阶微分方程及其解法 577

三、建立微分方程的典型例子 587

第九章 多元函数微分学 608

附录九 高等数学A（三）补充习题 608

第十章 多元函数积分学 611

第十一章 微分方程 618

附录十 高等数学A（三）自测题 623

第九章 多元函数微分学 623

第十章 多元函数积分学（一） 625

第十章 多元函数积分学（二） 627

第十一章 微分方程 628

第九章 多元函数微分学 630

附录十一 高等数学A（三）复习提纲 630

第十章 多元函数积分学 634

第十一章 微分方程 638

附录十二 高等数学A（三）历届试题 641

1998级高数A（三）试题 641

1999级高数A（三）试题 642

2000级高数A（三）试题 643

2001级高数A（三）试题 646

附录十三 上海大学2001年高等数学竞赛试题 648