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绪论 1

第一部分　微积分学 6

第1章　函数　极限　连续 6

1.1 函数 6

1.2 数列极限与函数极限 7

1.2.1 数列极限 7

1.2.2 函数的极限 9

1.3 无穷小量与无穷大量 10

1.3.1 无穷小量 10

1.3.2 无穷大量 12

1.4 极限的四则运算 12

1.5 两个重要极限 13

1.6 函数的连续性 14

1.6.1 函数的连续性 14

1.6.2 函数的间断点 16

1.7 极限的精确定义，再论极限 16

习题一 17

第2章　导数、微分及其应用 20

2.1 问题的提出 20

2.2　导数的概念 22

2.2.1 导数定义 22

2.2.2 用导数定义计算基本初等函数的导数 24

2.2.3 导数的几何意义 25

2.2.4 函数的可导性与连续性的关系 25

2.3 导数的基本公式与运算法则 26

2.3.1 导数基本公式 26

2.3.2 导数的四则运算法则 27

2.3.3 复合函数的求导法则 28

2.3.4 隐函数求导 29

2.4　导数的应用 30

2.4.1 微分中值定理 30

2.4.2 洛必达法则——求极限的高等方法 30

2.4.3 函数的增减性 33

2.4.4 函数的最大值与最小值及其在经济问题中的应用 34

2.5 微分 38

2.5.1 微分的概念 38

2.5.2 微分的几何意义 39

2.5.3 微分在近似计算中的应用 39

习题二 40

第3章　不定积分与定积分 42

3.1 原函数与不定积分 42

3.1.1 原函数的概念 42

3.1.2 不定积分 43

3.1.3 不定积分的几何意义 43

3.1.4 不定积分的性质 43

3.1.5 基本积分公式 44

3.1.6 直接积分法举例 45

3.2 换元积分法与分部积分法 46

3.2.1 第一换元积分法 46

3.2.2 分部积分法 47

3.3 定积分及其几何应用 47

3.3.1 定积分的概念 48

3.3.2 定积分的基本性质 50

3.3.3 微积分基本定理 51

3.3.4 定积分几何应用 52

3.3.5 广义积分简介 54

习题三 55

第4章　微分方程简介 57

4.1 常微分方程的基本概念 57

4.2 可分离变量的常微分方程 58

4.3 一阶线性微分方程 59

4.4 二阶常系数齐次线性微分方程 61

习题四 62

第二部分　线性代数　概率统计　数学建模第5章　线性代数 64

5.1 行列式 64

5.1.1 二阶、三阶行列式 64

5.1.2　n阶行列式 67

5.1.3 行列式的性质 71

5.1.4 行列式的计算 73

5.2 矩阵 74

5.2.1 矩阵的概念 74

5.2.2 矩阵的运算 76

5.2.3 逆阵 79

5.2.4 矩阵的初等变换 80

5.3　线性方程组 82

5.3.1 线性方程组及其解法 82

5.3.2 非齐次线性方程组有解的判定 85

5.3.3 齐次线性方程组的解法 87

习题五 88

第6章　概率统计初步 91

6.1 事件与概率 91

6.1.1 随机事件 91

6.1.2 事件的概率 94

6.2　概率的运算 95

6.2.1 概率的加法公式 95

6.2.2 概率的乘法公式 96

6.2.3 全概率与贝叶斯公式 97

6.3 随机变量及其分布 98

6.3.1 随机变量的概念 98

6.3.2 随机变量的类型 99

6.4 随机变量的数字特征 103

6.4.1 实例 103

6.4.2 数学期望 103

6.4.3 方差 104

6.4.4 均方差 105

6.4.5 二项分布的数学期望与方差 105

6.4.6 正态分布的数学期望和方差 105

6.5 数理统计思想简介 105

6.5.1 数据收集问题 106

6.5.2 假设检验问题 107

6.5.3 药效问题 107

习题六 108

第7章　数学建模简介 111

7.1 数学建模与大学生数学建模竞赛 111

7.1.1 什么是数学模型 111

7.1.2 什么是数学建模 111

7.1.3 数学建模兴起的背景 113

7.1.4 大学生数学建模竞赛 114

7.2 简单数学模型赏析 114

7.2.1 人口问题 114

7.2.2 最优价格问题 116

7.2.3 耐用消费品的选购问题 116

7.3 线性规划模型举例 118

第三部分　数学概览（选读）第8章　现代数学杂谈 123

8.1 现代数学发展的特点 123

8.2 数学的公理化及其意义 126

8.2.1 数学公理化的背景 126

8.2.2 数学公理化的条件 127

8.2.3 数学公理化的意义 127

8.3 数学与其它学科结缘 128

第9章　数学与社会科学 131

9.1　数学与哲学 131

9.1.1 模糊数学中的哲学 132

9.1.2 数列极限概念中的哲学 133

9.1.3 集合与元素 134

9.2　数学中的美 134

9.2.1 数学中的抽象美 135

9.2.2 数学的和谐美 137

9.2.3 数学的奇异美 138

9.3 数学中的人文思想 140

9.3.1 群 140

9.3.2 矩阵的特征值与特征向量 141

9.3.3 关系 142

第10章　数学常识 143

10.1 数学分支简介 143

10.1.1 数论 143

10.1.2 拓扑学 144

10.1.3 计算数学与数学软件 145

10.1.4 复变函数论 146

10.1.5 模糊数学 147

10.1.6 运筹学 148

10.2 各类数学奖介绍 149

10.2.1 国际数学奖 149

10.2.2 国内数学奖 150

10.3 三次数学危机简介 151

10.4　数学家轶事 153

10.4.1 为爱情献身的伟大数学家——伽罗瓦（1811—1832） 153

10.4.2 淡泊名利的当代数学家隐士——格里戈里·佩雷尔曼 154

10.4.3 当代数学天才——神童陶哲轩 155

10.4.4 密码专家——女数学家王小云 156

10.4.5 中国金融数学的奠基人——彭实戈 157

附录A 习题答案与提示 158

附录B 标准正态分布数值表 164

参考文献 165