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第一章 函数 1

1.1　预备知识 1

1．数系 1

2．区间 1

3．常用的逻辑符号 2

4．数集的界与确界 2

5．绝对值 3

6．邻域与去心邻域 3

习题1-1 3

1.2　函数 4

1．函数的定义 4

2．函数的表示法 6

3．分段函数 6

4．函数定义域的求法 7

习题1-2 8

1.3　函数的性质 9

1．有界性 9

2．单调性 10

3．奇偶性 11

4．周期性 11

习题1-3 13

1.4　反函数与复合函数 14

1．反函数 14

2．复合函数 17

习题1-4 19

1.5　初等函数 20

1．基本初等函数 20

2．初等函数 23

习题1-5 23

1.6　几个简单的经济函数 24

1．总成本函数C（Q） 24

2．总收入函数R（Q） 25

3．总利润函数L（Q） 25

4．需求函数 25

5．供给函数 26

习题1-6 27

第二章 函数的极限 29

2.1　数列的极限 29

1．数列的几个知识点 29

2．数列极限的描述性定义 30

3．数列极限的“ε—N”定义 31

4．数列极限的一个存在准则 32

习题2-1 34

2.2　函数的极限 35

1．自变量x的变化状况 35

2．函数f（x）在有限点x0处的极限 36

3．函数在无穷大处的极限 37

4．函数的单侧极限 38

习题2-2 39

2.3　极限的性质与重要极限lim x→0 sin x/x=1 40

1．极限的性质 40

2．重要极限lim x→0 sin x/x=1 43

习题2-3 43

2.4　极限的运算法则与重要极限lim x→∞（1+1/x）x=e 44

1．无穷小量与无穷大量 44

2．极限的四则运算 46

3．重要极限lim x→∞（1+1/x）x=e 50

4．复合函数的极限运算 51

习题2-4 53

2.5　无穷小的比较 55

1．无穷小的比较 55

2．等价无穷小 56

习题2-5 61

第三章 函数的连续性 63

3.1　函数的连续性 63

1．函数在点x0处的连续性 63

2．区间上的连续函数 64

3．函数的间断点 66

习题3-1 68

3.2　连续函数的运算法则与闭区间［a,b］上连续函数的性质 69

1．连续函数的运算法则 69

2．闭区间［a,b］上连续函数的性质 70

习题3-2 72

第四章　导数与微分 74

4.1　导数的概念 74

1．两个实例 74

2．导数的定义 75

3．可导函数与导函数 76

4．单侧导数 80

5．可导与连续的关系 81

6．导数的几何意义与物理意义 82

习题4-1 83

4.2　求导法则 84

1．四则运算的求导法则 84

2．反函数的求导法则 87

3．复合函数的求导法则 88

习题4-2 91

4.3　幂指函数、隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数 92

1．幂指函数的导数 92

2．隐函数的导数 93

3．由参数方程所确定的函数的导数 94

4．导数的基本公式 96

习题4-3 97

4.4　高阶导数 97

1．高阶导数的定义 97

2．基本初等函数的n阶导数 98

3．隐函数的二阶导数 100

4．由参数方程所确定的函数的二阶导数 101

习题4-4 102

4.5　微分 102

1．微分的定义 102

2．微分与导数的关系 103

3．微分的计算 104

4．一次微分形式的不变性 105

5．微分的几何意义 108

6．函数f（x）在点x0处的一次近似式 108

习题4-5 110

第五章　微分中值定理与导数的应用 111

5.1　微分中值定理 111

1．罗尔（Rolle）定理 111

2．拉格朗日（Lagrange）中值定理 113

3．柯西（Cauchy）定理 114

习题5-1 117

5.2　洛必达（L'Hospital）法则 118

1．0/0型未定式 118

2．∞／∞型未定式 120

3．其他类型的未定式 121

习题5-2 125

5.3　函数的单调性、极值与最值 126

1．函数的单调性 126

2．函数的极值 128

3．函数的最值 131

习题5-3 132

5.4　曲线的凹凸性、拐点与函数的作图 134

1．曲线的凹凸性与拐点 134

2．函数的作图 136

习题5-4 137

5.5　导数的经济应用 138

1．边际成本、边际收入与边际利润 138

2．弹性 141

习题5-5 145

第六章　不定积分 146

6.1　不定积分的概念与运算法则 146

1．原函数的概念 146

2．不定积分的概念 147

3．不定积分的几何意义 148

4．基本积分表 148

5．不定积分的运算法则 150

习题6-1 152

6.2　不定积分的第一类换元法 153

1．不定积分的第一类换元法（凑微分法） 153

2．补充几个基本积分公式 158

3．常见的凑微分类型 158

习题6-2 159

6.3　不定积分的第二类换元法 160

1．不定积分的第二类换元法 160

2．例子 161

习题6-3 168

6.4　不定积分的分部积分法 169

1．不定积分的分部积分法 169

2．例子 169

3．补充几个基本积分公式 175

习题6-4 175

6.5　有理函数的不定积分与三角函数的不定积分 176

1．真分式与最简真分式 176

2．真分式分解成部分分式之和 177

3．有理函数的不定积分 179

4．三角函数的不定积分 182

5．三角函数的万能变换公式 183

习题6-5 185

第七章　定积分 187

7.1　定积分的概念 187

1．曲边梯形的面积 187

2．定积分的定义 188

3．定积分的存在定理 189

4．定积分的性质 189

习题7-1 192

7.2　微积分基本定理 192

1．变上限积分 193

2．原函数 193

3．微积分基本定理 194

习题7-2 198

7.3　定积分的换元法与分部积分法 199

1．定积分的换元法 199

2．定积分的分部积分法 202

习题7-3 207

7.4　定积分在经济与几何中的应用 208

1．定积分的经济应用 208

2．微元法 210

3．定积分的几何应用 211

习题7-4 216

7.5　反常积分 217

1．无穷区间上的反常积分 217

2．无界函数的反常积分（瑕积分） 220

习题7-5 224

习题参考答案 226