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第8章　向量代数与空间解析几何 1

8.1　空间坐标系 1

8.1.1　空间直角坐标系 1

8.1.2　柱坐标与球坐标 4

习题8.1 6

8.2　向量代数 6

8.2.1　向量概念 6

8.2.2　向量的加法与数乘 7

8.2.3　向量的坐标 9

8.2.4　向量的数量积 12

8.2.5　向量的向量积 14

8.2.6　向量的混合积 17

习题8.2 18

8.3　曲面方程与曲线方程 20

8.3.1　曲面方程 20

8.3.2　空间曲线方程 21

习题8.3 22

8.4　平面与直线 23

8.4.1　平面 23

8.4.2　直线 27

习题8.4 35

8.5　常见的二次曲面 37

8.5.1　球面 37

8.5.2　柱面 38

8.5.3　旋转面 40

8.5.4　锥面 41

8.5.5　椭球面 43

8.5.6　双曲面 44

8.5.7　抛物面 45

习题8.5 47

总习题八 48

第9章　多元函数微分学 50

9.1　多元函数 50

9.1.1　平面点集的基本知识 50

9.1.2　多元函数 53

习题9.1 55

9.2　多元函数的极限与连续 55

9.2.1　多元函数的极限 55

9.2.2　多元函数的连续性 58

习题9.2 59

9.3　偏导数 59

9.3.1　偏导数的概念和计算 60

9.3.2　二元函数偏导数的几何意义 62

9.3.3　函数的偏导数与函数连续的关系 62

9.3.4　高阶偏导数 63

习题9.3 64

9.4　全微分 65

9.4.1　全微分的概念 65

9.4.2　函数可微的必要条件及充分条件 66

9.4.3　全微分在近似计算中的应用 70

9.4.4　全微分的几何意义 70

习题9.4 71

9.5　方向导数与梯度 72

9.5.1　方向导数 72

9.5.2　梯度 73

习题9.5 75

9.6　复合函数微分法 75

9.6.1　链锁法则 75

9.6.2　一阶全微分形式不变性 81

习题9.6 82

9.7　隐函数存在定理与隐函数微分法 83

习题9.7 88

9.8　偏导数的几何应用 89

9.8.1　空间曲线的切线与法平面 89

9.8.2　空间曲面的切平面与法线 90

习题9.8 93

9.9　二元函数的泰勒公式 94

习题9.9 98

9.10　多元函数的极值 98

9.10.1　极值 98

9.10.2　条件极值 102

习题9.10 107

总习题九 108

第10章　多元函数积分学 110

10.1　重积分与第一型曲线、曲面积分的概念及其性质 110

10.1.1　重积分与第一型曲线、曲面积分的概念 110

10.1.2　重积分与第一型曲线、曲面积分的性质 113

习题10.1 115

10.2　二重积分的计算 115

10.2.1　在直角坐标系下计算二重积分 115

10.2.2　在极坐标系下计算二重积分 122

10.2.3　二重积分的换元法 128

习题10.2 132

10.3　三重积分的计算 134

10.3.1　利用直角坐标计算三重积分 134

10.3.2　利用柱坐标计算三重积分 138

10.3.3　利用球坐标计算三重积分 140

10.3.4　三重积分的变量替换 142

习题10.3 143

10.4　重积分的应用 145

10.4.1　重积分的几何应用 145

10.4.2　重积分的物理应用 147

习题10.4 151

10.5　对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）及对面积的曲面积分（第一型曲面积分） 152

10.5.1　对弧长的曲线积分 152

10.5.2　对面积的曲面积分 154

习题10.5 158

10.6　对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）与格林公式 160

10.6.1　第二型曲线积分 160

10.6.2　格林公式 165

习题10.6 174

10.7　对坐标的曲面积分（第二型曲面积分） 176

10.7.1　有向曲面的概念 176

10.7.2　第二型曲面积分的概念 177

10.7.3　第二型曲面积分的计算 179

习题10.7 182

10.8　高斯公式与散度 183

10.8.1　高斯公式 183

10.8.2　通量与散度 187

习题10.8 188

10.9　斯托克斯公式与旋度 189

10.9.1　斯托克斯公式 189

10.9.2　环量与旋度 192

习题10.9 194

总习题十 194

第11章　无穷级数 197

11.1　数项级数的概念和性质 197

11.1.1　基本概念 197

11.1.2　级数的基本性质 199

11.1.3　柯西收敛原理 201

习题11.1 202

11.2　正项级数及其审敛法 202

11.2.1　比较判别法 203

11.2.2　比值判别法和根值判别法 205

11.2.3　积分判别法 208

习题11.2 209

11.3　任意项级数的收敛判别法 210

11.3.1　交错级数 210

11.3.2　绝对收敛与条件收敛 212

习题11.3 214

11.4　函数项级数及其一致收敛性 215

11.4.1　函数项级数及其收敛性 215

11.4.2　函数项级数的一致收敛性 216

11.4.3　一致收敛级数的性质 219

习题11.4 222

11.5　幂级数 222

11.5.1　幂级数的收敛域和收敛半径 223

11.5.2　幂级数的一致收敛性 226

11.5.3　幂级数的运算性质 227

习题11.5 230

11.6　函数展开成幂级数 231

11.6.1　泰勒级数 231

11.6.2　函数展开成泰勒级数 233

11.6.3　函数幂级数展开的应用 238

习题11.6 240

11.7　傅里叶级数 241

11.7.1　三角函数系的正交性 242

11.7.2　函数展开成傅里叶级数 243

11.7.3　正弦级数和余弦级数 248

11.7.4　周期为2ι的周期函数的傅里叶级数 251

11.7.5　傅里叶级数的复数形式 252

习题11.7 254

总习题十一 255

第12章　常微分方程 258

12.1　微分方程的基本概念 258

12.1.1　微分方程 258

12.1.2　微分方程的解 259

习题12.1 260

12.2　可分离变量的方程 261

12.2.1　可分离变量的方程 261

12.2.2　可化为分离变量方程的几类一阶方程 264

习题12.2 268

12.3　一阶线性方程 269

12.3.1　线性方程 269

12.3.2　伯努利方程 273

习题12.3 274

12.4　全微分方程 275

12.4.1　全微分方程 275

12.4.2　积分因子 277

习题12.4 280

12.5　可降阶的二阶微分方程 281

12.5.1　y″＝f（x）型的方程 281

12.5.2　y″＝f（x,y′）型的微分方程 282

12.5.3　y″＝f（y,y′）型的微分方程 284

习题12.5 286

12.6　高阶线性微分方程 287

12.6.1　二阶线性微分方程举例 287

12.6.2　二阶线性微分方程解的结构 288

12.7　常系数线性方程 291

12.7.1　常系数线性齐次方程 291

12.7.2　常系数线性非齐次方程 295

12.7.3　欧拉方程 300

12.7.4　应用举例 302

习题12.7 305

12.8　微分方程的幂级数解法举例 306

习题12.8 308

12.9　常系数线性微分方程组解法举例 308

习题12.9 311

总习题十二 312

习题答案 315