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第一章 线性空间和线性变换 1

1.1 线性空间的概念 1

1.1.1 线性空间 1

1.1.2 线性空间的例子、基底、坐标 1

1.2 基变换与坐标变换 3

1.3 子空间和维数定理 5

1.3.1 子空间及生成方式 5

1.3.2 维数定理 8

1.4 线性空间中的线性变换 10

1.5 线性变换的矩阵 14

第二章 内积空间 18

2.1 内积空间的基本概念 18

2.2 正交基与子空间的正交 20

2.3 点到子空间的距离与最小二乘法 23

2.4 正规矩阵 25

第三章 矩阵的标准形 27

3.1 哈密顿-凯莱定理以及矩阵的最小多项式 27

3.1.1 哈密顿-凯莱定理 27

3.1.2 最小多项式 28

3.2 矩阵的相似对角形 31

3.3 约当标准形 33

3.4 史密斯标准形 37

第四章 向量和矩阵的范数 41

4.1 向量的范数 41

4.1.1 范数的定义 41

4.1.2 几种常见的范数 41

4.1.3 生成范数 43

4.1.4 范数的等价 44

4.2 矩阵的范数 46

4.2.1 方阵的范数 46

4.2.2 常用的范数 47

4.2.3 与向量范数的相容性 48

4.2.4 用矩阵范数来定义向量范数 48

4.2.5 从属范数 49

4.2.6 从属范数的计算 51

4.3 范数的应用举例 55

第五章 矩阵的分解 58

5.1 矩阵的对角分解 58

5.2 矩阵的三角分解 61

5.3 矩阵的满秩分解 65

5.4 舒尔定理与矩阵的QR分解 68

5.5 矩阵的奇异值分解 72

第六章 矩阵的函数 76

6.1 矩阵的微分和积分 76

6.1.1 对一个变量的导数 76

6.1.2 对向量及矩阵的导数 77

6.1.3 矩阵函数对矩阵变量的导数 78

6.2 矩阵序列及矩阵级数 80

6.2.1 矩阵的极限及序列 80

6.2.2 矩阵的级数 82

6.2.3 矩阵的幂级数 84

6.3 矩阵函数 86

6.4 矩阵函数的性质 90

6.5 矩阵函数在微分方程组中的应用 91

6.6 线性系统的能控性与能观性 94

第七章 矩阵特征值的估计 98

7.1 特征值界的估计 98

7.2 特征值的包含区域 100

7.2.1 Gerschgorin盖尔圆定理 100

7.2.2 特征值的隔离 102

第八章 矩阵的直积 105

8.1 直积的定义和性质 105

8.2 直积的应用 109

8.2.1 拉直 109

8.2.2 线性矩阵方程组 110

习题解答 114