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第1章 函数、极限与连续性 1

1.1 初等函数回顾 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种特性 2

1.1.3 初等函数 2

1.1.4 反函数和复合函数 6

习题1.1 7

1.2 极限的概念 8

1.2.1 数列的极限 8

1.2.2 函数的极限 10

习题1.2 15

1.3 极限的运算法则 15

1.3.1 极限的四则运算法则 15

1.3.2 复合函数的极限法则 17

1.3.3 函数极限的性质 18

1.3.4 两个重要准则 18

习题1.3 19

1.4 两个重要极限 20

1.4.1 第一个重要极限 20

1.4.2 第二个重要极限 21

习题1.4 23

1.5 无穷小与无穷大 24

1.5.1 无穷小 24

1.5.2 无穷大 25

1.5.3 无穷大与无穷小的关系 26

1.5.4 无穷小的比较 27

习题1.5 29

1.6 函数的连续性 29

1.6.1 函数的连续性 30

1.6.2 函数的间断点及其分类 32

习题1.6 34

1.7 连续函数的四则运算与初等函数的连续性 35

1.7.1 连续函数的四则运算 35

1.7.2 复合函数的连续性 35

1.7.3 初等函数的连续性 36

1.7.4 闭区间上连续函数的性质 37

习题1.7 38

1.8 利用极限建模 39

复习题一 41

第2章 导数与微分 43

2.1 导数的概念 43

2.1.1 导数的定义 44

2.1.2 导数的几何意义 46

2.1.3 可导与连续的关系 47

习题2.1 48

2.2 导数的计算 49

2.2.1 导数的基本公式 49

2.2.2 导数的四则运算 51

2.2.3 复合函数的导数 52

2.2.4 几个求导方法 54

2.2.5 高阶导数 57

习题2.2 60

2.3 函数的微分 62

2.3.1 微分的概念 62

2.3.2 微分的几何意义 63

2.3.3 微分运算法则 63

2.3.4 近似计算 65

习题2.3 67

2.4 微分方程模型 68

复习题二 70

第3章 导数的应用 72

3.1 中值定理 72

3.1.1 罗尔定理 73

3.1.2 拉格朗日中值定理 73

习题3.1 75

3.2 洛必达法则 76

3.2.1 洛必达法则Ⅰ：（0/0型） 76

3.2.2 洛必达法则Ⅱ：（∞／∞型） 77

3.2.3 其他类型的极限求法 78

习题3.2 80

3.3 函数的单调性、极值与最值 80

3.3.1 函数单调性的判别方法 81

3.3.2 函数的极值 83

3.3.3 函数的最大值与最小值 84

习题3.3 86

3.4 函数的凹凸性与作图 87

3.4.1 函数的凹凸性与拐点 87

3.4.2 渐近线 88

3.4.3 作初等函数的图形 89

习题3.4 94

3.5 利用导数建模 94

复习题三 96

第4章 不定积分 99

4.1 不定积分的概念 99

4.1.1 原函数与不定积分的概念 99

4.1.2 不定积分的性质 100

4.1.3 不定积分的几何意义 100

4.1.4 基本积分表 101

习题4.1 103

4.2 凑微分法 103

4.2.1 凑微分法的概念 104

4.2.2 凑微分法举例 104

习题4.2 107

4.3 变量代换法 108

4.3.1 变量代换法的概念 108

4.3.2 有理代换 108

4.3.3 三角代换 109

4.3.4 倒代换 112

4.3.5 双曲代换 113

习题4.3 115

4.4 分部积分法 115

4.4.1 分部积分公式 115

4.4.2 被积函数为多项式与指数函数、三角函数乘积的情形 116

4.4.3 被积函数为多项式与对数函数、反三角函数之积的情形 117

4.4.4 形如∫eαx sinβxdx，∫eαx cosβxdx的积分 117

4.4.5 被积函数由某些复合函数构成的情形 118

习题4.4 120

4.5 其他积分方法 120

4.5.1 简单有理分式函数的积分 120

4.5.2 三角函数有理式的积分 121

4.5.3 无理函数的积分 122

习题4.5 123

复习题四 123

第5章 定积分及其应用 126

5.1 定积分的概念与性质 126

5.1.1 定积分的概念 127

5.1.2 定积分的几何意义 128

5.1.3 定积分的性质 129

习题5.1 130

5.2 微积分基本定理 131

5.2.1 原函数存在定理 131

5.2.2 微积分基本定理 132

习题5.2 134

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 135

5.3.1 凑微分法 135

5.3.2 变量代换法 135

5.3.3 分部积分法 136

5.3.4 三角函数积分 137

习题5.3 137

5.4 广义积分 138

5.4.1 无穷区间上的广义积分 138

5.4.2 无界函数的广义积分 139

习题5.4 141

5.5 定积分在几何上的应用 141

5.5.1 平面图形的面积 142

5.5.2 旋转体的体积 143

5.5.3 曲线的弧长 145

习题5.5 146

5.6 积分方程模型 146

复习题五 148

第6章 常微分方程 152

6.1 常微分方程的基本概念 152

6.1.1 定义 153

6.1.2 可分离变量的微分方程 153

6.1.3 一阶齐次微分方程 155

6.1.4 高阶微分方程 156

习题6.1 157

6.2 一阶线性微分方程 158

6.2.1 一阶线性微分方程与常数变易法 158

6.2.2 一阶线性微分方程求解举例 159

习题6.2 162

6.3 可降阶的二阶微分方程 162

6.3.1 y″＝f（x，y′）型 163

6.3.2 y″=f（y，y′）型 164

习题6.3 165

6.4 二阶常系数线性微分方程 165

6.4.1 二阶常系数线性微分方程解的性质及通解结构 166

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 167

6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 170

习题6.4 172

复习题六 173

第7章 空间解析几何 175

7.1 空间直角坐标系和向量 175

7.1.1 空间直角坐标系 175

7.1.2 向量的基本概念 177

7.1.3 向量的线性运算 177

7.1.4 向量的坐标表示方法 179

7.1.5 用坐标表示向量的模和方向 180

习题7.1 182

7.2 向量的数量积与向量积 182

7.2.1 向量的数量积 183

7.2.2 向量的向量积 185

习题7.2 188

7.3 空间平面与直线的方程 188

7.3.1 平面方程 188

7.3.2 直线方程 191

7.3.3 求直线方程和平面方程的综合例题 193

7.3.4 平面、直线间的关系 195

习题7.3 199

7.4 曲面与空间曲线 200

7.4.1 曲面方程的概念 200

7.4.2 柱面 201

7.4.3 旋转曲面 203

7.4.4 空间曲线及其方程 205

7.4.5 空间曲线在坐标面上的投影 206

习题7.4 207

复习题七 207

第8章 多元函数微积分 209

8.1 多元函数的基本概念 209

8.1.1 多元函数的概念 209

8.1.2 二元函数的极限 211

8.1.3 二元函数的连续性 212

8.1.4 二元连续函数在有界闭区域上的性质 212

习题8.1 213

8.2 偏导数 213

8.2.1 偏导数概念与计算 214

8.2.2 高阶偏导数 216

习题8.2 218

8.3 全微分 218

8.3.1 全微分的定义 218

8.3.2 全微分在近似计算方面的应用 220

习题8.3 221

8.4 多元复合函数与隐函数的求导 222

8.4.1 复合函数的求导法则 222

8.4.2 隐函数的求导公式 226

习题8.4 229

8.5 多元函数的极值和最值 230

8.5.1 二元函数的极值 230

8.5.2 多元函数的最值 232

8.5.3 二元函数的条件极值 233

习题8.5 235

8.6 二重积分的概念与性质 235

8.6.1 二重积分的概念 236

8.6.2 二重积分的性质 237

习题8.6 239

8.7 二重积分的计算与应用 240

8.7.1 直角坐标系下二重积分的计算 240

8.7.2 极坐标系下二重积分的计算 245

8.7.3 二重积分的应用 247

习题8.7 250

复习题八 251

第9章 无穷级数 254

9.1 常数项级数的概念和性质 254

9.1.1 数项级数的基本概念 254

9.1.2 无穷级数的基本性质 257

习题9.1 258

9.2 数项级数的审敛法 259

9.2.1 正项级数及其审敛法 259

9.2.2 交错级数审敛法 262

9.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 263

习题9.2 264

9.3 函数项级数与幂级数 264

9.3.1 函数项级数的概念 265

9.3.2 幂级数及其收敛区间的求法 265

9.3.3 幂级数的四则运算 268

9.3.4 幂级数的分析运算 269

习题9.3 272

9.4 函数展开成幂级数 272

9.4.1 泰勒级数 273

9.4.2 函数展开成幂级数的直接展开法 274

9.4.3 函数展开成幂级数的间接展开法 275

习题9.4 278

9.5 傅里叶级数 279

9.5.1 三角函数系的正交性、三角级数 279

9.5.2 函数展开成傅里叶级数 280

习题9.5 283

复习题九 283

第10章 MATLAB基础及其应用 285

10.1 MATLAB简介 285

10.1.1 MATLAB的基本功能 285

10.1.2 MATLAB的特点 285

10.1.3 MATLAB操作界面 287

10.2 MATLAB基本运算与函数 288

10.2.1 基本运算 288

10.2.2 MATLAB常用的函数 288

10.3 一元函数的极限、导数与积分 289

10.3.1 利用MATLAB求极限 289

10.3.2 利用MATLAB求导数 289

10.3.3 利用MATLAB求积分 290

习题10.3 291

10.4 导数应用 291

10.4.1 利用diff函数求极值点和拐点 291

10.4.2 绘制函数图形 292

习题10.4 293

10.5 常微分方程 293

习题10.5 294

10.6 空间解析几何 294

10.6.1 向量的生成 294

10.6.2 向量的运算 294

10.6.3 向量夹角的余弦公式 295

10.6.4 绘制三维曲面图 295

习题10.6 296

10.7 二元函数微积分 296

10.7.1 二元显函数求导 296

10.7.2 二元隐函数求导 297

10.7.3 二重积分 297

习题10.7 298

10.8 级数 298

习题10.8 299

附录1 三位数学家简介 300

附录2 积分表 303

参考答案 311