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第1章 绪论 1

1.1 张量 1

1.2 弹性力学的研究对象 2

1.3 弹性力学的基本假设 3

1.4 弹性力学的理论基础 5

第2章 点集拓扑基础 6

2.1 集合与映射 6

2.1.1 集合与子集 6

2.1.2 集合的基本运算 7

2.1.3 乘集与关系 9

2.1.4 映射与变换 10

2.2 群、向量空间与度量空间 13

2.2.1 代数运算与群 13

2.2.2 向量空间 14

2.2.3 度量空间 14

2.2.4 度量空间的开集 16

2.3 拓扑空间及其点集 18

2.3.1 拓扑空间 18

2.3.2 拓扑空间的邻域与开集 20

2.3.3 拓扑空间的点集 20

2.4 拓扑基与拓扑空间的可分离性 23

2.4.1 拓扑基与拓扑子基 23

2.4.2 可数性公理 25

2.5 拓扑空间的连续性 26

2.5.1 连续映射 26

2.5.2 同胚映射 29

2.6 拓扑空间的度量化、连通性和紧性 31

2.6.1 拓扑空间度量化 31

2.6.2 连通性 32

2.6.3 拓扑空间的紧性 33

2.6.4 紧空间的性质 34

第3章 流形与微分流形 36

3.1 微分流形 36

3.1.1 流形 36

3.1.2 局部坐标及其转换 37

3.1.3 光滑微分结构 39

3.1.4 光滑流形的例子 41

3.2 光滑映射及其特例 43

3.2.1 光滑映射 43

3.2.2 光滑函数 44

3.2.3 微分同胚 45

3.2.4 光滑曲线 47

3.3 切向量和切空间 48

3.3.1 切向量 48

3.3.2 切空间 51

3.4 光滑流形的切映射与定向 54

3.4.1 光滑流形的切映射 54

3.4.2 光滑流形的定向 55

3.5 向量空间的线性映射 57

3.5.1 线性映射及其空间 57

3.5.2 对偶空间 58

3.5.3 多重线性映射 59

3.5.4 张量空间 60

第4章 张量基础 63

4.1 一般坐标系中的向量 63

4.1.1 平面内的斜角直线坐标系 63

4.1.2 三维空间中的斜角直线坐标系 64

4.1.3 曲线坐标系及其基向量 66

4.1.4 Einstein求和约定 67

4.2 坐标转换 68

4.2.1 坐标转换的含义 68

4.2.2 基向量的转换关系 69

4.2.3 向量分量的坐标转换关系 71

4.2.4 Descartes坐标系的转换 71

4.3 张量的表示 72

4.3.1 向量的表示方法 72

4.3.2 张量的分量表示 74

4.3.3 张量的实体表示 75

4.3.4 张量方程的不变性 76

4.4 张量的代数运算与商法则 77

4.4.1 张量代数 77

4.4.2 常用的二阶特殊张量 80

4.4.3 张量的商法则 81

4.5 度规张量及其性质 82

4.5.1 度规张量 82

4.5.2 张量分量的指标升降关系 83

4.5.3 度规张量分量的变换 85

4.5.4 δij的特殊用法 86

4.6 置换符号与张量矢积 86

4.6.1 置换符号及其应用 86

4.6.2 置换（Eddington）张量与？δ等式 88

4.6.3 向量的矢积与多重矢积 90

4.6.4 张量的双重运算 92

4.7 张量的微积分 92

4.7.1 Christoffel符号 92

4.7.2 协变导数 94

4.7.3 Descartes张量的微积分 95

4.8 直线坐标系下的张量场论 97

4.8.1 张量场函数的梯度、散度与旋度 97

4.8.2 无旋场与无源场 101

4.8.3 Gauss公式和Stokes公式 102

第5章 应变与应变分析 105

5.1 位移与应变 105

5.1.1 位移 105

5.1.2 应变与应变分量 106

5.1.3 相对位移张量的分解 108

5.1.4 均匀变形 109

5.2 应变分析 111

5.2.1 相邻两点间的变形 111

5.2.2 任意方向的线应变 113

5.2.3 任意方向的变化 115

5.2.4 任意角度的变形 116

5.3 主应变、主方向与最大剪应变 119

5.3.1 主应变与主方向 119

5.3.2 主应变的性质 121

5.3.3 最大剪应变 122

5.4 应变张量 124

5.4.1 应变分量的转换 124

5.4.2 体积膨胀系数 126

5.4.3 八面体应变 127

5.4.4 应变球量和应变偏量 128

5.5 应变协调方程 130

5.5.1 微分形式的应变协调方程 131

5.5.2 积分形式的位移场单值条件 133

5.6 应变状态的几何表示 136

5.6.1 应变椭球 136

5.6.2 三维Mohr圆 137

第6章 应力与应力分析 140

6.1 外力与应力 140

6.1.1 体力与面力 140

6.1.2 应力矢量 141

6.1.3 应力状态 142

6.1.4 应力张量 144

6.2 斜面应力与平衡方程 145

6.2.1 任意斜面上的应力 145

6.2.2 力矩的平衡 146

6.2.3 力平衡方程 148

6.2.4 动态平衡的积分推导 149

6.3 主应力与最大剪应力 150

6.3.1 主应力 150

6.3.2 最大剪应力 152

6.4 应力张量 157

6.4.1 应力分量的变换 157

6.4.2 应力球张量和偏斜张量 159

6.4.3 八面体上的剪应力 159

6.4.4 Lame应力椭球 160

第7章 弹性本构关系 163

7.1 小变形情况下的应力应变关系 163

7.1.1 广义Hooke定律 163

7.1.2 应力与应变关系的材料属性试验 164

7.2 热力学基本定律与热弹性本构关系 165

7.2.1 热力学第一定律 165

7.2.2 热力学第二定律 168

7.2.3 热弹性本构关系 169

7.3 应变能与应变余能 171

7.3.1 应变能 171

7.3.2 应变余能 173

7.4 各向异性弹性体的本构关系 174

7.4.1 极端各向异性弹性材料 174

7.4.2 具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 175

7.4.3 正交各向异性弹性体 176

7.4.4 横观各向同性弹性体 178

7.5 各向同性体本构关系及其弹性常数的物理意义 180

7.5.1 各向同性弹性体本构关系 180

7.5.2 各向同性体弹性常数的测定 183

7.5.3 偏应力张量与偏应变张量的关系 185

7.5.4 各向同性体弹性常数的物理意义 185

第8章 弹性力学边值问题和一般原理 188

8.1 弹性力学基本方程和定解条件 188

8.1.1 弹性力学基本方程 188

8.1.2 弹性力学问题的定解条件 189

8.1.3 弹性力学边值问题及求解 190

8.2 弹性力学问题的位移解法 191

8.2.1 以位移表示的弹性力学方程 191

8.2.2 位移法解的讨论 193

8.2.3 例题 194

8.3 弹性力学问题的应力解法 197

8.3.1 应力表示的协调方程 197

8.3.2 应力法解的讨论 199

8.3.3 例题 201

8.4 弹性力学问题的应力函数解法 203

8.4.1 Maxwell应力函数 204

8.4.2 Morera应力函数 205

8.4.3 其他应力函数 206

8.5 弹性力学的一般性原理 207

8.5.1 叠加原理 207

8.5.2 应变能定理 208

8.5.3 唯一性定理 209

8.5.4 功的互等定理 210

8.5.5 Saint-Venant原理 211

第9章 弹性力学二维平面问题 213

9.1 弹性力学平面问题的分类 213

9.1.1 平面应变问题 213

9.1.2 平面应力问题 215

9.1.3 平面问题的统一 217

9.2 平面问题的基本方程和边界条件 218

9.2.1 平面问题的基本方程 218

9.2.2 平面问题的边界条件 219

9.2.3 平面弹性力学基本边值问题的提法 220

9.3 平面弹性力学基本边值问题的解法 221

9.3.1 位移解法 221

9.3.2 应力解法 222

9.3.3 混合解法 224

9.4 应力函数及其性质 224

9.4.1 Airy应力函数 224

9.4.2 应力函数的物理意义 225

9.5 直角坐标系下的多项式应力函数解法 228

9.5.1 具有矩形域的简单弹性力学问题 228

9.5.2 多项式应力函数的逆解法与半逆解法 229

9.5.3 应力函数法求解示例 231

9.6 极坐标系中的基本方程 235

9.6.1 极坐标系中的几何方程和本构方程 235

9.6.2 极坐标系中的平衡微分方程 236

9.6.3 极坐标系中的应力函数与相容方程 237

第10章 弹性力学三维空间问题 240

10.1 齐次Lame-Navier方程及其位移矢函数分解求解 240

10.1.1 引言 240

10.1.2 位移的势函数分解 240

10.1.3 Lame应变势 242

10.2 Galerkin矢量解及其应用 243

10.2.1 Galerkin矢量 243

10.2.2 Love应变函数 244

10.2.3 Cerruti问题 245

10.3 轴对称问题求解及其应用 246

10.3.1 空间轴对称问题的简化 246

10.3.2 Kelvin问题 248

10.3.3 Boussinesq问题 249

10.4 Papkovich-Neuber解及其应用 251

10.4.1 Papkovich-Neuber一般解 251

10.4.2 Boussinesq问题再讨论 252

10.5 非齐次Lame-Navier方程的解 253

10.5.1 非齐次Lame-Navier方程的特解 254

10.5.2 具有体力常量的非齐次Lame-Navier方程的特解 255

10.5.3 Kelvin解 255

10.6 球对称问题求解及其应用 257

10.6.1 无体力球对称问题的求解 258

10.6.2 地球内部的应力 261

10.7 边值问题的积分方程解 263

10.7.1 边值问题的积分方程 263

10.7.2 积分方程的数值解法 265

第11章 弹性波 268

11.1 一维波动方程及其D’Alembert解 268

11.1.1 一维弹性波动方程 268

11.1.2 波动方程解的简单应用 270

11.2 无限介质中的弹性波 272

11.2.1 弹性波方程 272

11.2.2 位移的矢量分解 273

11.2.3 纵波与横波 273

11.3 球面波与平面波 275

11.3.1 球面波 275

11.3.2 平面波 279

11.4 平面波的反射与透射 282

11.4.1 平面波在分界面处的反射与透射 283

11.4.2 平面波在自由界面处的反射 286

11.5 Rayleigh波与Love波 290

11.5.1 Rayleigh波 290

11.5.2 Love波 293

参考文献 297

附录 300

A 不同坐标系下的基本方程 301

A.1几何方程 301

A.2平衡方程 302

A.3本构关系 303

A.4Lame-Navier方程 304

B 位移、应力分量在Cartesian、柱面、球面坐标系间的转换 305

B.1从Descartes坐标系到柱面坐标系 305

B.2从柱面坐标系到球面坐标系 305

B.3从Descartes坐标系到球面坐标系 306