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第一篇 微积分 3

第1章 函数 3

1.1 函数的概念 3

1.1.1 函数的定义 3

1.1.2 函数的定义域 3

1.1.3 函数值 4

1.1.4 函数的表示方法 5

习题1.1 6

1.2 函数的特性 6

1.2.1 函数的有界性 6

1.2.2 函数的奇偶性 7

1.2.3 函数的单调性 7

1.2.4 函数的周期性 8

习题1.2 8

1.3 初等函数 9

1.3.1 基本初等函数 9

1.3.2 复合函数 11

1.3.3 初等函数 12

习题1.3 12

本章小结 13

总习题1 13

第2章 极限与连续 16

2.1 数列的极限 16

2.1.1 数列的定义 16

2.1.2 数列极限的定义 16

2.1.3 数列极限的性质 17

习题2.1 17

2.2 函数的极限 18

2.2.1 x→∞时函数的极限 18

2.2.2 x→x0时函数的极限 18

习题2.2 20

2.3 极限的运算法则 21

2.3.1 极限的四则运算 21

习题2.3 23

2.4 两个重要极限 24

2.4.1 极限存在准则 24

2.4.2 两个重要极限 24

习题2.4 26

2.5 无穷小与无穷大 27

2.5.1 无穷小 27

2.5.2 无穷小的性质 28

2.5.3 无穷小的比较 28

2.5.4 等价无穷小 29

2.5.5 无穷大 29

习题2.5 30

2.6 函数的连续性 31

2.6.1 函数的连续性 31

2.6.2 函数的间断点及其分类 32

2.6.3 连续函数的运算与初等函数的连续性 33

2.6.4 闭区间上连续函数的性质 34

习题2.6 35

本章小结 36

总习题2 37

第3章 导数与微分 40

3.1 导数的概念 40

3.1.1 导数概念的引入 40

3.1.2 导数的定义 41

3.1.3 导数的几何意义 42

3.1.4 可导与连续的关系 42

习题3.1 43

3.2 导数的运算法则 44

3.2.1 导数的四则运算 44

3.2.2 反函数的导数 45

3.2.3 复合函数的导数 46

3.2.4 隐函数的导数 47

3.2.5 导数的基本公式 48

3.2.6 高阶导数 48

习题3.2 49

3.3 微分 50

3.3.1 微分概念的引例 50

3.3.2 微分的定义 50

3.3.3 微分的几何意义 51

3.3.4 微分的基本公式 51

习题3.3 52

本章小结 53

总习题3 54

第4章 中值定理及导数的应用 57

4.1 中值定理 57

4.1.1 费马定理 57

4.1.2 罗尔定理 57

4.1.3 拉格朗日中值定理 58

4.1.4 柯西中值定理 59

习题4.1 59

4.2 洛必达法则 60

4.2.1 0/0型和∞/∞型未定式 60

4.2.2 其他类型的未定式 61

习题4.2 62

4.3 函数的单调性与极值 62

4.3.1 函数的单调性 62

4.3.2 函数的极值 64

4.3.3 函数的最值 66

习题4.3 66

4.4 函数的凹凸性与微分法作图 67

本章小结 69

总习题4 70

第5章 不定积分 73

5.1 不定积分的概念与性质 73

5.1.1 原函数 73

5.1.2 不定积分 73

5.1.3 不定积分的几何意义 74

5.1.4 微分与不定积分的关系 74

5.1.5 基本积分公式 75

5.1.6 不定积分的性质 75

习题5.1 76

5.2 换元积分法 77

5.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 77

5.2.2 第二类换元积分法 79

习题5.2 81

5.3 分部积分法 82

习题5.3 83

5.4 有理函数和三角函数有理式的不定积分 84

5.4.1 有理函数的不定积分 84

5.4.2 三角函数有理式的不定积分 86

本章小结 87

总习题5 89

第6章 定积分 91

6.1 定积分的概念及性质 91

6.1.1 定积分概念的引例 91

6.1.2 定积分的概念 92

6.1.3 定积分的几何意义 93

6.1.4 定积分的性质 94

习题6.1 95

6.2 微积分基本定理 95

6.2.1 积分上限函数及其导数 95

6.2.2 微积分基本定理 96

习题6.2 97

6.3 定积分的换元法与分部积分法 98

6.3.1 定积分的换元法 98

6.3.2 定积分的分部积分法 98

习题6.3 99

6.4 定积分的应用 99

6.4.1 定积分的微元法 99

6.4.2 平面图形的面积 100

6.4.3 旋转体的体积 101

6.4.4 定积分经济应用举例 102

习题6.4 103

6.5 广义积分 104

6.5.1 无限区间上的广义积分 104

6.5.2 无界函数的广义积分 105

习题6.5 107

本章小结 108

总习题6 109

第7章 微分方程 116

7.1 微分方程的基本概念 116

7.1.1 微分方程概念的引例 116

7.1.2 微分方程的基本概念 117

习题7.1 117

7.2 一阶微分方程 118

7.2.1 已分离变量的微分方程 118

7.2.2 可分离变量的微分方程 118

7.2.3 齐次方程 119

7.2.4 一阶线性微分方程 120

习题7.2 121

7.3 可降阶的微分方程 122

7.3.1 y″=f（x）型的微分方程 122

7.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程 122

7.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程 123

习题7.3 123

7.4 二阶常系数齐次线性微分方程 124

7.4.1 二阶常系数线性微分方程的定义 124

7.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构 124

7.4.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 124

习题7.4 126

7.5 二阶常系数非齐次线性微分方程 126

7.5.1 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 126

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 126

习题7.5 128

7.6 差分及差分方程概念 128

7.6.1 差分的概念 128

7.6.2 差分方程的概念 129

习题7.6 129

7.7 一阶常系数线性差分方程 130

7.7.1 一阶常系数齐次线性差分方程的解法 130

7.7.2 一阶常系数非齐次线性差分方程的解法 130

习题7.7 132

7.8 二阶常系数线性差分方程 132

7.8.1 二阶常系数齐次线性差分方程的解法 132

7.8.2 二阶常系数非齐次线性差分方程的解法 134

习题7.8 135

本章小结 135

总习题7 138

第1～7章 模拟试卷（一） 141

第1～7章 模拟试卷（二） 142

第1～7章 模拟试卷（三） 143

第8章 无穷级数 146

8.1 无穷级数的概念和性质 146

8.1.1 无穷级数的概念 146

8.1.2 无穷级数的性质 148

习题8.1 149

8.2 常数项级数判别法 150

8.2.1 正项级数及其判别法 150

8.2.2 交错级数及其判别法 152

8.2.3 绝对收敛与条件收敛 153

习题8.2 154

8.3 幂级数 155

8.3.1 幂级数的概念 155

8.3.2 幂级数的收敛半径和收敛域 156

8.3.3 幂级数的性质 158

习题8.3 159

8.4 函数展开成幂级数 160

8.4.1 泰勒级数 160

8.4.2 间接展开法 162

习题8.4 163

本章小结 163

总习题8 165

第9章 多元函数微积分 169

9.1 多元函数 169

9.1.1 空间直角坐标系 169

9.1.2 多元函数 171

习题9.1 172

9.2 二元函数的极限与连续 172

9.2.1 二元函数的极限 172

9.2.2 二元函数连续性 173

习题9.2 173

9.3 偏导数与全微分 173

9.3.1 偏导数的概念 173

9.3.2 高阶偏导数 174

9.3.3 全微分 175

习题9.3 176

9.4 复合函数与隐函数微分法 177

9.4.1 复合函数微分法 177

9.4.2 隐函数微分法 179

习题9.4 180

9.5 二元函数的极值 181

9.5.1 二元函数的极值 181

9.5.2 极值存在的条件 181

9.5.3 条件极值 182

习题9.5 183

9.6 二重积分 183

9.6.1 二重积分的概念 184

9.6.2 二重积分的基本性质 185

9.6.3 直角坐标系下计算二重积分 186

9.6.4 利用极坐标计算二重积分 189

习题9.6 190

本章小结 192

总习题9 193

第8～9章 模拟试卷（一） 197

第8～9章 模拟试卷（二） 198

第8～9章 模拟试卷（三） 199

习题答案 202

第二篇 线性代数 229

第1章 行列式 229

1.1 n阶行列式 229

1.1.1 全排列及其逆序数 229

1.1.2 n阶行列式的定义 230

1.1.3 对换 236

习题1.1 237

1.2 行列式的性质 238

习题1.2 244

1.3 行列式按行（列）展开 245

习题1.3 252

1.4 克拉默法则 253

习题1.4 256

第2章 矩阵 257

2.1 矩阵概念及其运算 257

2.1.1 矩阵的概念 257

2.1.2 矩阵的运算 260

习题2.1 265

2.2 逆矩阵 266

2.2.1 逆矩阵的概念 266

2.2.2 伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 268

2.2.3 矩阵方程 272

2.2.4 矩阵多项式及其运算 274

习题2.2 275

2.3 分块矩阵 276

习题2.3 284

2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵 285

2.4.1 初等变换与初等矩阵 285

2.4.2 利用初等变换求逆矩阵 293

2.4.3 用初等变换法求解矩阵方程AX=B 295

2.4.4 矩阵行列式两个性质的证明 297

习题2.4 298

2.5 矩阵的秩 299

习题2.5 305

第3章 线性方程组 307

3.1 线性方程组的求解——消元法 307

习题3.1 315

3.2 向量组及其线性组合 315

3.2.1 向量及其线性运算 315

3.2.2 向量组的线性组合 318

3.2.3 向量组间的线性表示 319

习题3.2 320

3.3 向量组的线性相关性 321

3.3.1 线性相关性的概念 321

3.3.2 线性相关性的判定 322

习题3.3 326

3.4 向量组的秩 326

3.4.1 向量组的秩的概念 327

3.4.2 矩阵与向量组秩的关系 327

习题3.4 334

3.5 向量空间 335

3.5.1 向量空间及子空间概念 335

3.5.2 Rn中的基变换和坐标变换 335

习题3.5 341

3.6 线性方程组解的结构 341

3.6.1 齐次线性方程组解的结构 341

3.6.2 非齐次线性方程组解的结构 348

习题3.6 352

第4章 相似矩阵 353

4.1 向量的内积、长度及正交性 353

习题4.1 357

4.2 特征值与特征向量 357

习题4.2 361

4.3 矩阵相似对角化 362

4.3.1 相似矩阵 362

4.3.2 实对称矩阵的对角化 365

习题4.3 369

第5章 二次型 371

5.1 二次型及其矩阵表示 371

5.1.1 二次型 371

5.1.2 线性变换 374

5.1.3 合同矩阵的性质 374

习题5.1 374

5.2 化二次型为标准形 375

5.2.1 二次型的标准形 375

5.2.2 用正交变换化二次型为标准形 376

5.2.3 用配方法化二次型为标准形 379

5.2.4 用初等变换化二次型为标准形 382

习题5.2 384

5.3 二次型的正定性 384

习题5.3 388

习题答案 389

第三篇 概率论 399

第1章 随机事件与概率 399

1.1 随机事件 399

1.1.1 随机现象与随机事件 399

1.1.2 事件间的关系与运算 399

1.2 随机事件的概率 402

1.2.1 古典概型 402

1.2.2 概率的加法公式 403

1.2.3 概率的乘法公式 404

1.3 事件的独立性 贝努里概型 406

1.3.1 相互独立事件同时发生的概率 406

1.3.2 贝努里概型 407

1.4 全概率公式和贝叶斯公式 408

1.4.1 全概率公式 408

1.4.2 贝叶斯公式 410

1.5 几何概率 411

习题1 413

第2章 随机变量及其分布 415

2.1 离散型随机变量与直方图 415

2.1.1 离散型随机变量 415

2.1.2 常见离散型随机变量分布 416

2.2 连续型随机变量与正态分布 418

2.2.1 连续型随机变量 418

2.2.2 正态分布 420

习题2 424

第3章 随机变量的数字特征 426

3.1 数学期望 426

3.1.1 离散型随机变量 426

3.1.2 连续型随机变量的数学期望 428

3.1.3 数学期望的性质 428

3.1.4 数学期望的应用 428

3.2 方差 429

3.2.1 方差的定义 429

3.2.2 方差的性质 431

3.2.3 常用的分布列（或概率密度）以及均值和方差 431

习题3 432

第4章 统计量与参数估计 434

4.1 总体 样本 统计量 434

4.1.1 总体和样本 434

4.1.2 统计量及其分布 434

4.2 点估计 436

4.3 区间估计 437

4.3.1 总体均值的区间估计 437

4.3.2 正态总体方差的区间估计 438

习题4 439

复习题 440

第四篇 积分变换 445

第1章 傅里叶变换 445

1.1 傅里叶变换的概念与性质 445

1.1.1 傅里叶级数 445

1.1.2 傅里叶积分 446

1.1.3 傅里叶变换的概念 447

1.1.4 傅里叶变换的性质 448

1.2 δ函数及其傅里叶变换 453

1.2.1 δ函数的概念 453

1.2.2 δ函数的性质 455

1.2.3 δ函数的傅里叶变换 457

习题1.2 459

第2章 拉普拉斯变换 461

2.1 拉普拉斯变换的概念 461

2.1.1 拉普拉斯变换的定义 461

2.1.2 拉普拉斯逆变换 463

2.2 拉普拉斯变换的性质 464

2.3 拉普拉斯变换的应用 470

2.3.1 求解常系数线性微分方程 471

2.3.2 求解常系数线性微分方程组 472

习题2.1 473

附录1 傅里叶变换简表 475

附录2 拉普拉斯变换简表 478