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引言 1

第1章 一阶标量拟线性方程 5

1.1引言 5

1.2 Cauchy数据 6

1.3特征线 8

1.3.1线性方程和半线性方程 10

1.4定义域和破裂 12

1.5拟线性方程 13

1.6间断解 17

1.7弱解 20

1.8多自变量 23

1.9附录 25

习题 26

第2章 一阶拟线性方程组 32

2.1动机与模型 32

2.2 Cauchy数据和特征线 37

2.3 Cauchy-Kowalevskaja定理 40

2.4双曲性 43

2.4.1 2 × 2方程组 44

2.4.2n维方程组 45

2.4.3例子 47

2.5弱解和激波 50

2.5.1因果律 51

2.5.2黏性和熵 55

2.5.3其他不连续性 56

2.6具有多于两个自变量的方程组 57

习题 62

第3章 二阶标量方程引论 70

3.1绪论 70

3.2半线性方程的Cauchy问题 72

3.3特征线 73

3.4半线性方程的标准型 76

3.4.1双曲型方程 76

3.4.2椭圆型方程 78

3.4.3抛物型方程 79

3.5一些一般注记 80

习题 82

第4章 双曲型方程 86

4.1引言 86

4.2线性方程：Cauchy问题的解 87

4.2.1 Riemann函数的特定求法 88

4.2.2 Riemann函数的基本原理 89

4.2.3 Riemann函数表达式的含义 93

4.3无Cauchy数据的波动方程 95

4.3.1强间断的边界数据 96

4.4变换和特征函数展开 98

4.5对波动方程的应用 104

4.5.1一维空间的波动方程 105

4.5.2圆和球对称性 107

4.5.3电报方程 109

4.5.4周期介质中的波 110

4.5.5一般注记 111

4.6多于两个自变量的波动方程 111

4.6.1降维法和Huygens原理 112

4.6.2双曲性和类时性 116

4.7高阶方程组 118

4.7.1线性弹性力学 119

4.7.2 Maxwell电磁波方程组 121

4.8非线性性 124

4.8.1简单波 124

4.8.2速度图方法 126

4.8.3 Liouville方程 128

4.8.4另一种方法 129

习题 130

第5章 椭圆型方程 139

5.1模型 139

5.1.1万有引力 139

5.1.2电磁场 140

5.1.3热传导 141

5.1.4力学 143

5.1.5声学 147

5.1.6机翼理论与断裂 148

5.2适定的边界数据 150

5.2.1 Laplace方程和Poisson方程 150

5.2.2更一般的椭圆型方程 153

5.3最大值原理 153

5.4变分原理 154

5.5 Green函数 155

5.5.1经典函数公式 155

5.5.2广义函数公式 157

5.6 Green函数的显式表达式 160

5.6.1 Laplace方程与Poisson方程 160

5.6.2 Helmholtz方程 166

5.6.3修正Helmholtz方程 168

5.7 Green函数，特征函数展开与变换 168

5.7.1特征值与特征函数 168

5.7.2 Green函数与变换 169

5.8椭圆型方程的变换解 171

5.8.1柱坐标对称下的Laplace方程：Hankel变换 172

5.8.2楔形几何形状内的Laplace方程；Mellin变换 174

5.8.3 Helmholtz方程 176

5.8.4高阶问题 178

5.9复变量方法 180

5.9.1共形映射 181

5.9.2 Riemann-Hilbert问题 183

5.9.3混合边值问题和奇异积分方程 189

5.9.4 Wiener-Hopf方法 190

5.9.5奇异性和指标 193

5.10局部化边界数据 194

5.11非线性问题 195

5.11.1非线性模型 196

5.11.2存在性和唯一性 197

5.11.3独立参数和奇异行为 199

5.12再论Liouville方程 205

5.13后记：？2或者-△？ 206

习题 206

第6章 抛物型方程 224

前言 224

6.1扩散过程的线性模型 224

6.1.1热量和质量的传递 224

6.1.2概率与金融 225

6.1.3电磁学 227

6.1.4一般注记 228

6.2初-边值条件 228

6.3极值原理和适定性 230

6.3.1强极值原理 231

6.4 Green函数和热传导方程的变换方法 232

6.4.1 Green函数：一般注记 232

6.4.2无边界热传导方程的Green函数 234

6.4.3边值问题 237

6.4.4对流-扩散问题 242

6.5相似解和群 244

6.5.1常微分方程 247

6.5.2偏微分方程 247

6.5.3一般注记 251

6.6非线性方程 253

66.1模型 253

6.6.2理论注记 256

6.6.3相似解与行波 257

6.6.4比较方法与极值原理 262

6.6.5破裂 264

6.7高阶方程和方程组 267

6.7.1高阶标量问题 267

6.7.2高阶方程组 269

习题 271

第7章 自由边值问题 285

7.1引言与模型 285

7.1.1 Stefan问题及相关问题 285

7.1.2扩散中的其他自由边值问题 290

7.1.3力学中的某些自由边值问题 293

7.2稳定性和适定性 296

7.2.1表面重力波 298

7.2.2涡片 299

7.2.3 Hele-Shaw流 300

7.2.4激波 302

7.3经典解 304

73.1比较方法 304

7.3.2能量方程与守恒量 305

7.3.3 Green函数方法与积分方程 306

7.4弱解和变分方法 307

7.4.1变分方法 308

7.4.2焓方法 312

7.5显式解 315

7.5.1相似解 315

7.5.2复变量方法 317

7.6正则化 321

7.7后记 322

习题 324

第8章 非拟线性方程 334

8.1引言 334

8.2一阶标量方程 335

8.2.1两个自变量 335

8.2.2更多自变量的情形 340

8.2.3短时距方程 341

8.2.4特征值问题 347

8.2.5色散 349

8.2.6次特征 350

8.3 Hamilton-Jacobi方程和量子力学 351

8.4高阶方程 353

习题 356

第9章 杂记 366

9.1引言 366

9.2线性方程组重提 368

9.2.1线性方程组：Green函数 368

9.2.2 线性弹性 371

9.2.3线性无黏水动力学 373

9.2.4波传播的放射条件 376

9.3复特征和分类 377

9.4有一个实特征的拟线性组 379

9.4.1具有电阻发热的热传导 379

9.4.2空间电荷 380

9.4.3流体动力学：Navier-Stokes方程 381

9.4.4无黏流：Euler方程 381

9.4.5黏性流 384

9.5介质之间的相互作用 385

9.5.1流体／固体声学相互作用 385

9.5.2流体／流体重力波相互作用 386

9.6规范与不变性 387

9.7孤立子 388

习题 397

结语 405

参考文献 407

索引 409