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第1章 多项式 1

1.1 数环和数域 2

1.1.1 研究问题 3

1.1.2 基本概念 3

1.1.3 主要结论 4

1.1.4 例子剖析 4

1.1.5 练习与探究 5

1.2 一元多项式的定义和运算 6

1.2.1 研究问题 6

1.2.2 基本概念 7

1.2.3 主要结论 8

1.2.4 例子剖析 10

1.2.5 练习与探究 11

1.3 整除性理论 11

1.3.1 研究问题 12

1.3.2 基本概念 12

1.3.3 主要结论 12

1.3.4 例子剖析 14

1.3.5 练习与探究 15

1.4 多项式的最大公因式 16

1.4.1 研究问题 16

1.4.2 基本概念 16

1.4.3 主要结论 17

1.4.4 例子剖析 20

1.4.5 练习与探究 22

1.5 多项式的因式分解 23

1.5.1 研究问题 23

1.5.2 基本概念 24

1.5.3 主要结论 24

1.5.4 例子剖析 26

1.5.5 练习与探究 27

1.6 重因式及其判定 28

1.6.1 研究问题 28

1.6.2 基本概念 28

1.6.3 主要结论 29

1.6.4 例子剖析 30

1.6.5 练习与探究 32

1.7 多项式函数与多项式的根 33

1.7.1 研究问题 33

1.7.2 基本概念 33

1.7.3 主要结论 34

1.7.4 例子剖析 36

1.7.5 练习与探究 37

1.8 复数域和实数域上的多项式 38

1.8.1 研究问题 38

1.8.2 基本概念 39

1.8.3 主要结论 39

1.8.4 例子剖析 42

1.8.5 练习与探究 44

1.9 有理数域上的多项式 44

1.9.1 研究问题 44

1.9.2 基本概念 45

1.9.3 主要结论 45

1.9.4 例子剖析 48

1.9.5 练习与探究 49

1.10 多元多项式 51

1.10.1 研究问题 51

1.10.2 基本概念 51

1.10.3 主要结论 53

1.10.4 例子剖析 57

1.10.5 练习与探究 58

1.11 对称多项式 58

1.11.1 研究问题 58

1.11.2 基本概念 58

1.11.3 主要结论 60

1.11.4 例子剖析 62

1.11.5 练习与探究 65

第2章 行列式 66

2.1 线性方程组的公式解 67

2.1.1 研究问题 67

2.1.2 基本概念 67

2.1.3 主要结论 68

2.1.4 例子剖析 70

2.1.5 练习和探究 71

2.2 排列与奇偶性 71

2.2.1 研究问题 71

2.2.2 基本概念 71

2.2.3 主要结论 72

2.2.4 例子剖析 74

2.2.5 练习与探究 75

2.3 n阶行列式的定义 75

2.3.1 研究问题 76

2.3.2 基本概念 76

2.3.3 主要结论 77

2.3.4 例子剖析 78

2.3.5 练习和探究 81

2.4 行列式的基本性质 82

2.4.1 研究问题 82

2.4.2 基本概念 83

2.4.3 主要结果 83

2.4.4 例子剖析 88

2.4.5 练习与探究 89

2.5 行列式按行（列）展开 91

2.5.1 研究问题 91

2.5.2 基本概念 92

2.5.3 主要结论 92

2.5.4 例子剖析 96

2.5.5 练习与探究 99

2.6 行列式的计算 100

2.6.1 研究问题 100

2.6.2 主要结论 101

2.6.3 练习与探究 110

2.7 Cramer法则 111

2.7.1 研究问题 112

2.7.2 基本概念 112

2.7.3 主要结论 113

2.7.4 例子剖析 115

2.7.5 练习和探究 116

2.8 Laplace展开和行列式相乘 117

2.8.1 研究问题 117

2.8.2 基本概念 117

2.8.3 主要结论 118

2.8.4 例子剖析 122

2.8.5 练习和探究 124

第3章 线性方程组 125

3.1 线性方程组的矩阵解法 128

3.1.1 研究问题 128

3.1.2 基本概念 128

3.1.3 主要结论 131

3.1.4 例子剖析 136

3.1.5 练习与探究 137

3.2 n维向量空间 138

3.2.1 研究问题 138

3.2.2 基本概念 138

3.2.3 主要结论 139

3.2.4 例子剖析 140

3.2.5 练习与探究 141

3.3 线性相关性 141

3.3.1 研究问题 141

3.3.2 基本概念 141

3.3.3 主要结论 142

3.3.4 例子剖析 145

3.3.5 练习与探究 147

3.4 矩阵的秩 148

3.4.1 研究问题 149

3.4.2 基本概念 149

3.4.3 主要结论 149

3.4.4 例子剖析 155

3.4.5 练习和探究 157

3.5 线性方程组有解判别定理 157

3.5.1 研究问题 157

3.5.2 基本概念 158

3.5.3 主要结论 158

3.5.4 例子剖析 160

3.5.5 练习和探究 162

3.6 线性方程组的解结构 162

3.6.1 研究问题 162

3.6.2 基本概念 163

3.6.3 主要结论 164

3.6.4 例子剖析 170

3.6.5 练习与探究 174

3.7 二元高次方程组 178

3.7.1 研究问题 178

3.7.2 基本概念 179

3.7.3 主要结果 179

3.7.4 例子剖析 183

3.7.5 练习与探究 184

第4章 矩阵 185

4.1 矩阵的概念 186

4.1.1 研究问题 186

4.1.2 基本概念 186

4.1.3 主要结论 188

4.1.4 例子剖析 190

4.1.5 练习与探究 191

4.2 矩阵的运算 191

4.2.1 研究问题 192

4.2.2 基本概念 192

4.2.3 主要结论 195

4.2.4 例子剖析 196

4.2.5 练习与探究 198

4.3 矩阵乘积的行列式与秩 199

4.3.1 研究问题 199

4.3.2 基本概念 200

4.3.3 主要结论 200

4.3.4 例子剖析 202

4.3.5 练习和探究 203

4.4 可逆矩阵及其求法 204

4.4.1 研究问题 204

4.4.2 基本概念 204

4.4.3 主要结论 205

4.4.4 例子剖析 208

4.4.5 练习与探究 210

4.5 初等矩阵 212

4.5.1 研究问题 212

4.5.2 基本概念 212

4.5.3 主要结论 213

4.5.4 例子剖析 216

4.5.5 练习与探究 219

4.6 矩阵的分块 220

4.6.1 研究问题 220

4.6.2 基本概念 220

4.6.3 主要结论 222

4.6.4 例子剖析 224

4.6.5 练习与探究 228

4.7 分块矩阵的初等变换及应用 229

4.7.1 研究问题 229

4.7.2 基本概念 229

4.7.3 主要结论 231

4.7.4 例子剖析 231

4.7.5 练习与探究 235

第5章 二次型 236

5.1 二次型及矩阵表示 237

5.1.1 研究问题 237

5.1.2 基本概念 237

5.1.3 主要结论 240

5.1.4 例子剖析 241

5.1.5 练习与探究 242

5.2 化二次型为标准形 242

5.2.1 研究问题 243

5.2.2 基本概念 243

5.2.3 主要结论 243

5.2.4 例子剖析 247

5.2.5 练习与探究 251

5.3 C与R上的二次型 251

5.3.1 研究问题 251

5.3.2 基本概念 252

5.3.3 主要结论 252

5.3.4 例子剖析 256

5.3.5 练习与探究 258

5.4 正定二次型 259

5.4.1 研究问题 259

5.4.2 基本概念 259

5.4.3 主要结论 260

5.4.4 例子剖析 264

5.4.5 练习与探究 266

第6章 线性空间 268

6.1 集合与映射 270

6.1.1 研究问题 270

6.1.2 基本概念 270

6.1.3 主要结论 274

6.1.4 例子剖析 275

6.1.5 练习与探究 275

6.2 线性空间的定义与性质 276

6.2.1 研究问题 276

6.2.2 基本概念 276

6.2.3 主要结论 277

6.2.4 例子剖析 279

6.2.5 练习与探究 279

6.3 基、维数与坐标 280

6.3.1 研究问题 280

6.3.2 基本概念 281

6.3.3 主要结论 282

6.3.4 例子剖析 284

6.3.5 练习与探究 286

6.4 基变换与坐标变换 287

6.4.1 研究问题 287

6.4.2 基本概念 287

6.4.3 主要结论 288

6.4.4 例子剖析 289

6.4.5 练习与探究 291

6.5 线性子空间 291

6.5.1 研究问题 292

6.5.2 基本概念 292

6.5.3 主要结论 292

6.5.4 例子剖析 295

6.5.5 练习与探究 295

6.6 子空间的交与和 296

6.6.1 研究问题 296

6.6.2 基本概念 296

6.6.3 主要结论 297

6.6.4 例子剖析 300

6.6.5 练习与探究 301

6.7 子空间的直和 301

6.7.1 研究问题 302

6.7.2 基本概念 302

6.7.3 主要结论 302

6.7.4 例子剖析 305

6.7.5 练习与探究 306

6.8 线性空间的同构 306

6.8.1 研究问题 307

6.8.2 基本概念 307

6.8.3 主要结论 308

6.8.4 例子剖析 310

6.8.5 练习与探究 311

第7章 线性变换 312

7.1 线性变换的定义和性质 313

7.1.1 研究问题 314

7.1.2 基本概念 314

7.1.3 主要结论 314

7.1.4 例子剖析 315

7.1.5 练习与探究 317

7.2 线性变换的运算 317

7.2.1 研究问题 318

7.2.2 基本概念 318

7.2.3 主要结论 318

7.2.4 例子剖析 321

7.2.5 练习与探究 322

7.3 线性变换和矩阵 323

7.3.1 研究问题 323

7.3.2 基本概念 323

7.3.3 主要结论 324

7.3.4 例子剖析 330

7.3.5 练习与探究 332

7.4 特征值与特征向量 334

7.4.1 研究问题 334

7.4.2 基本概念 334

7.4.3 主要结论 336

7.4.4 例子剖析 341

7.4.5 练习与探究 342

7.5 线性变换的对角化 343

7.5.1 研究问题 343

7.5.2 基本概念 344

7.5.3 主要结论 344

7.5.4 例子剖析 348

7.5.5 练习与探究 350

7.6 线性变换的值域与核 351

7.6.1 研究问题 352

7.6.2 基本概念 352

7.6.3 主要结论 352

7.6.4 例子剖析 355

7.6.5 练习与探究 356

7.7 不变子空间 357

7.7.1 研究问题 357

7.7.2 基本概念 357

7.7.3 主要结论 358

7.7.4 例子剖析 363

7.7.5 练习与探究 364

7.8 Jordan标准形简介 364

7.8.1 研究问题 365

7.8.2 基本概念 365

7.8.3 主要结论 366

7.8.4 例子剖析 367

7.8.5 练习与探究 368

7.9 最小多项式 368

7.9.1 研究问题 368

7.9.2 基本概念 368

7.9.3 主要结论 369

7.9.4 例子剖析 372

7.9.5 练习与探究 372

第8章 欧几里得空间 374

8.1 欧氏空间的定义和性质 376

8.1.1 研究问题 376

8.1.2 基本概念 376

8.1.3 主要结论 378

8.1.4 例子剖析 381

8.1.5 练习与探究 383

8.2 标准正交基 383

8.2.1 研究问题 384

8.2.2 基本概念 384

8.2.3 主要结论 384

8.2.4 例子剖析 389

8.2.5 练习与探究 390

8.3 欧氏空间的同构 391

8.3.1 研究问题 391

8.3.2 基本概念 391

8.3.3 主要结论 392

8.3.4 例子剖析 393

8.4 正交变换与正交矩阵 394

8.4.1 研究问题 395

8.4.2 基本概念 395

8.4.3 主要结论 395

8.4.4 例子剖析 397

8.4.5 练习与探究 399

8.5 正交子空间 400

8.5.1 研究问题 400

8.5.2 基本概念 400

8.5.3 主要结论 401

8.5.4 例子剖析 402

8.5.5 练习与探究 403

8.6 对称变换与实对称矩阵的对角化 403

8.6.1 研究问题 403

8.6.2 基本概念 403

8.6.3 主要结论 403

8.6.4 例子剖析 408

8.6.5 练习与探究 410

8.7 向量到子空间的距离 412

8.7.1 研究问题 412

8.7.2 基本概念 413

8.7.3 主要结果 413

8.7.4 例子剖析 417

8.7.5 练习与探究 419

8.8 酉空间简介 419

8.8.1 研究问题 419

8.8.2 基本概念 419

8.8.3 主要结论 420

8.8.4 例子剖析 424

8.8.5 练习与探究 426

第9章 双线性函数 427

9.1 线性函数 427

9.1.1 研究问题 428

9.1.2 基本概念 428

9.1.3 主要结论 428

9.1.4 例子剖析 429

9.1.5 练习与探究 431

9.2 对偶空间 431

9.2.1 研究问题 432

9.2.2 基本概念 432

9.2.3 主要结论 432

9.2.4 例子剖析 437

9.2.5 练习与探究 438

9.3 双线性函数 439

9.3.1 研究问题 439

9.3.2 基本概念 439

9.3.3 主要结论 440

9.3.4 例子剖析 442

9.3.5 练习与探究 444

9.4 对称双线性函数 445

9.4.1 研究问题 445

9.4.2 基本概念 445

9.4.3 主要结论 445

9.4.4 例子剖析 449

9.4.5 练习与探究 449

练习题答案 451

参考文献 510