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绪论 1

第1章　数学物理方程及其定解条件 8

1.1　数学物理基本方程的建立 8

1.1.1 波动方程 8

1.1.2 热传导方程和扩散方程 23

1.1.3 泊松方程和拉普拉斯方程 26

1.1.4 亥姆霍茨方程 27

1.2　定解条件 28

1.2.1　初始条件 29

1.2.2　边界条件 29

1.3　定解问题的提法 31

1.4　二阶线性偏微分方程的分类与化简解的叠加原理 32

1.4.1 含有两个自变量二阶线性偏微分方程的分类与化简 32

1.4.2 线性偏微分方程的叠加原理 38

1.5　历史注记——数学物理学家：达朗贝尔 39

1.6　例题分析 41

习题1 46

第2章　分离变量法 48

2.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法 48

2.1.1 有界弦的自由振动 48

2.1.2　有限长杆上的热传导 56

2.2　二维Laplace方程的定解问题 61

2.3　非齐次方程的解法 67

2.4　非齐次边界条件的处理 74

2.5　历史注记——数学物理学家：傅里叶 79

2.6　例题分析 82

习题2 90

第3章　二阶常微分方程的级数解法本征值问题 93

3.1 二阶常微分方程的级数解法 93

3.1.1 常点邻域内的级数解法 93

3.1.2 正则奇点附近的级数解法 95

3.2　Legendre方程的级数解 97

3.3　Bessel方程的级数解 101

3.4　Sturm-Liouville本征值问题 107

3.4.1 Sturm-Liouville方程 107

3.4.2　本征值问题的一般提法 108

3.4.3　本征值问题的一般性质 109

3.5　历史注记——数学物理学家：刘维尔 111

3.6　例题分析 113

习题3 121

第4章　Bessel函数的性质及其应用 122

4.1　Bessel方程的引出 122

4.2　Bessel函数的性质 124

4.2.1　Bessel函数的基本形态及本征值问题 124

4.2.2　Bessel函数的递推公式 126

4.2.3　Bessel函数的正交性和模方 129

4.2.4 按Bessel函数的广义Fourier级数展开 130

4.3　Bessel函数在定解问题中的应用 131

4.4　修正Bessel函数 137

4.4.1　第一类修正Bessel函数 137

4.4.2　第二类修正Bessel函数 138

4.5　可化为Bessel方程的方程 142

4.5.1 Kelvin（W.Thomson）方程 142

4.5.2　其他例子 142

4.5.3　含Bessel函数的积分 143

4.6　历史注记——天文学家、数学家：贝塞尔 144

4.7　例题分析 145

习题4 154

第5章　Legendre多项式及其应用 156

5.1　Legendre方程与Legendre多项式的引入 156

5.2　Legendre多项式的性质 159

5.2.1　Legendre多项式的微分表示 159

5.2.2　Legendre多项式的积分表示 161

5.2.3　Legendre多项式的母函数 161

5.2.4　Legendre多项式的递推公式 163

5.2.5　Legendre多项式的正交归一性 164

5.2.6　按Pn（x）的广义Fourier级数展开 166

5.2.7　一个重要公式 166

5.3　Legendre多项式的应用 167

5.4　关联Legendre多项式 172

5.4.1 关联Legendre函数的微分表示 172

5.4.2 关联Legendre函数的积分表示 172

5.4.3　关联Legendre函数的正交性与模方 173

5.4.4 按Pm l（x）的广义Fourier级数展开 173

5.4.5　关联Legendre函数递推公式 174

5.5　其他特殊函数方程简介 176

5.5.1　Hermite多项式 176

5.5.2　Laguerre多项式 178

5.6　历史注记——数学家：勒让德 179

5.7　例题分析 183

习题5 189

第6章　行波法和积分变换法 191

6.1　一维波动方程的d'Alember公式 191

6.2　三维波动方程的Poisson公式 195

6.2.1 三维波动方程的球对称解 195

6.2.2 三维波动方程的Poisson公式 196

6.2.3　Poisson公式的物理意义 199

6.3　Fourier积分变换法求定解问题 202

6.3.1 预备知识——Fourier变换及性质 203

6.3.2 Fourier变换法 205

6.4　Laplace积分变换法解定解问题 208

6.4.1　Laplace变换及其性质 208

6.4.2　Laplace变换法 209

6.5　历史注记 213

6.5.1 数学家、天文学家：拉普拉斯 213

6.5.2　数学物理学家：泊松 215

6.6　例题分析 218

习题6 227

第7章　Green函数法 229

7.1　引言 229

7.2　δ函数的定义与性质 230

7.2.1 δ函数的定义 230

7.2.2　广义函数的导数 231

7.2.3　δ函数的Fourier变换 232

7.2.4　高维δ函数 233

7.3　Poisson方程的边值问题 233

7.3.1　Green公式 234

7.3.2　解的积分形式——Green函数法 234

7.3.3　Green函数关于源点和场点是对称的 238

7.4　Green函数的一般求法 239

7.4.1　无界区域的Green函数 239

7.4.2　用本征函数展开法求边值问题的Green函数 241

7.5　用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函数 242

7.5.1　Poisson方程的Dirichlet-Green函数及其物理意义 242

7.5.2　用电像法求Green函数 244

7.6　历史注记——数学物理学家：格林 247

7.7　例题分析 251

习题7 254

第8章　积分方程和非线性微分方程简介 256

8.1 积分方程的分类及解法 256

8.1.1 积分方程的概念与分类 256

8.1.2　退化核方程的求解 257

8.1.3　积分方程的迭代解法 261

8.1.4　对称核的Fredholm方程 269

8.1.5 微分方程与积分方程的联系 271

8.2　非线性微分方程及其某些解法 273

8.2.1 求解非线性微分方程的函数变换方法 274

8.2.2 非线性偏微分方程的孤立波解 277

8.2.3　解析近似解与正则摄动法 280

8.3　历史注记——数学家：庞加莱 282

习题8 285

附录 288

附录A　正交曲线坐标系中的Laplace算符 288

附录B　Γ函数的定义和基本性质 294

附录C　通过计算留数求拉普拉斯变换的反演 295

附录D　Fourier变换和Laplace变换简表 297

参考文献 302